第1章特殊的平行四边形 单元练习卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第1章特殊的平行四边形练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•新野县期末）如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025春•仁寿县期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 3．（2025•新宾县校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 4．（2025春•平武县期末）如图，已知菱形ABCD的面积为24，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，则菱形的边长为（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 5．（2025•冷水滩区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•开州区期中）如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠EDF＝α，则∠CEF的度数为（　　） A．α B．45°﹣α C．60°﹣2α D．90°﹣3α 7．（2025•开州区二模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE＝AF，∠CPD＝α，则∠CEF的度数为（　　） A．α﹣45° B．135°﹣α C．2α﹣180° D．180°﹣α 8．（2025•浑南区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•宝坻区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是　 　 ． 10．（2025•南海区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝　 　 ． 11．（2025春•蓝山县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AEB＝　 　 ． 12．（2025春•西和县期末）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F，下列条件：①∠ACB＝90°；②CD平分∠ACB；③AC＝BC，AD＝BD．选择条件 　 　 能使四边形DECF是菱形． 13．（2025•昭通模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠AFE的度数为 　 　 度． 14．（2025春•依兰县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 　 　 ． 15．（2025•港北区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为AD上一点，连接BF，交AE于点H，∠ABF＝∠DAE，取BH的中点G，连接AG，则AG的长度为 　 　 ． 16．（2025•清镇市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别是AB，BC的中点，连接DE，点G在线段DE上，若∠FGE＝45°，则FG的长为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•山阳县期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形． 18．（2025春•石鼓区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF． 19．（2025•建水县模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 20．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 21．（2025•市北区校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由． 22．（2024春•息县校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 第1章特殊的平行四边形练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C D D B A B 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•新野县期末）如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图所示： 以AB为对角线的格点矩形有3个， 以AB为边的格点矩形有1个， ∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个， 故选：D． 2．（2025春•仁寿县期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠BAE＝53°， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝180°﹣45°﹣53°＝82°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CEB＝82°， ∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝180°﹣82°﹣82°＝16°， 故选：D． 3．（2025•新宾县校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE∠ABC，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（90°）﹣（90°）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 4．（2025春•平武县期末）如图，已知菱形ABCD的面积为24，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，则菱形的边长为（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝ODBD，AO＝OCAC＝4，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， ∴AC•BD＝24， ∴BD＝6， ∴BO＝3， ∴AB5， ∴菱形的边长为5． 故选：D． 5．（2025•冷水滩区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025春•开州区期中）如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠EDF＝α，则∠CEF的度数为（　　） A．α B．45°﹣α C．60°﹣2α D．90°﹣3α 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是正方形． ∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD， ∴∠DOF＝∠COE＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵EF∥BC， ∴∠OEF＝∠OBC＝45°， ∵∠COE＝90°， ∴∠OFE＝90°﹣∠OEF＝90°﹣45°＝45°， ∴OE＝OF， 在△ODF和△OCE中， ， ∴△ODF≌△OCE（SAS）， ∴∠OCE＝∠EDF＝α， ∵EF∥BC， ∴∠CEF＝∠BCE， ∵∠OCB＝∠BCE+∠OCE， ∴∠BCE＝∠CEF＝∠OBC﹣∠OCE＝45°﹣α， 故选：B． 7．（2025•开州区二模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE＝AF，∠CPD＝α，则∠CEF的度数为（　　） A．α﹣45° B．135°﹣α C．2α﹣180° D．180°﹣α 【解答】解：如图，连接AP， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠DAF+∠EAD＝90°， 即∠EAF＝90°， ∵P为EF中点， ∴APEF， ∵∠ECF＝90°，P为EF中点， ∴CP＝PFEF， ∴AP＝CP， 在△APD和△CPD中， ， ∴△APD≌△CPD（SSS）， ∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP， ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDP＝45°， ∴∠DAP＝∠PCD＝180°﹣∠CPD﹣∠CDP＝135°﹣α， ∵∠EAF＝90°，AE＝AF，P为EF中点， ∴∠PAE＝45°， ∴∠DAE＝∠PAE+∠PAD＝180°﹣α， ∴∠AEB＝∠DAE＝180°﹣α， ∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣（180°﹣α）﹣45°＝α﹣45°， 故选：A． 8．（2025•浑南区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：∵四边形ADCB为菱形， ∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE， ∵∠FOC＝∠AOE， △CFO≌△AEO（ASA）， ∴S△CFO＝S△AOE， ∴S△CFO+S△BOF＝S△BOC， ∴S△BOCSABCDAC•BD6×8＝6， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•宝坻区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是　AB＝BC（答案不唯一）　 ． 【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB＝BC（答案不唯一）． 10．（2025•南海区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD， ∴BD＝2BO＝8， ∵S菱形ABCDAC×BD＝24， 即：AC×8＝24， ∴AC＝6， ∴COAC6＝3， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC5， ∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24， 即：5×AH＝24， ∴AH． 故答案为：． 11．（2025春•蓝山县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AEB＝　30°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形， ∴AD＝CD＝DE；∠ADE＝90°+60°＝150°， ∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°． 同理可得∠CEB＝15°， ∴∠AEB＝∠DEC﹣∠DEA﹣∠CEB＝30°． 故答案为：30°． 12．（2025春•西和县期末）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F，下列条件：①∠ACB＝90°；②CD平分∠ACB；③AC＝BC，AD＝BD．选择条件 　②③　 能使四边形DECF是菱形． 【解答】解：选择条件②， ∵DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F， ∴四边形DECF是平行四边形，∠FCD＝∠CDE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠ECD， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形DECF是菱形， 选择条件③， ∵DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F， ∴四边形DECF是平行四边形，∠FCD＝∠CDE， ∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠ECD， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形DECF是菱形， 故答案为：②③． 13．（2025•昭通模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠AFE的度数为 　60　 度． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BAC＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴AB＝AE，∠BAE＝150°， ∴∠ABE＝15°， ∴∠AFE＝∠ABE+∠BAC＝15°+45°＝60°， 故答案为：60． 14．（2025春•依兰县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 　2.5　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝10，BO＝DOBD， ∴ODBD＝5， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQDO＝2.5． 故答案为：2.5． 15．（2025•港北区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为AD上一点，连接BF，交AE于点H，∠ABF＝∠DAE，取BH的中点G，连接AG，则AG的长度为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠FAB＝∠EDA＝90°， ∵∠ABF＝∠DAE， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE， ∵E为CD中点，CD＝AD＝4， ∴DE＝2， ∴AF＝2， ∵AB＝AD＝4， ∴BF， ∵△ABF≌△DAE， ∴∠ABH＝∠FAH， ∵∠BAH+∠FAH＝90°， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， ∴∠AHB＝90°＝∠BAF， ∵∠ABH＝∠FBA， ∴Rt△ABF∽Rt△HBA， ∴， ∴， ∵G为BH中点， ∴， ∴S△ABFAH•BFAB•AF， ∴， ∴AG． 故答案为：． 16．（2025•清镇市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别是AB，BC的中点，连接DE，点G在线段DE上，若∠FGE＝45°，则FG的长为 　　 ． 【解答】解：连接EF，DF，过点F作FH⊥DE于点H，如图， 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别是AB，BC的中点， ∴AE＝BE＝2，BF＝FC＝3， ∴DE2， ∵S△DEF＝S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△DCF﹣S△BEF， ∴DE•FH＝AB•BCAD•AECF•CDBE•BF， ∴2•FH＝4×62×63×43×2， ∴FH． ∵∠EGF＝45°，FH⊥DE， ∴GH＝FH， ∴FG． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•山阳县期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形． 【解答】证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形， 又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB ∴∠EBC＝∠ECB＝45° ∴∠BEC＝90°，BE＝CE ∴四边形BECF是正方形． 18．（2025春•石鼓区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF． 【解答】证明：∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°， 又∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴BE＝CF， 在△CEB和△DFC中， ， ∴△CEB≌△DFC， ∴CE＝DF． 19．（2025•建水县模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE， 在Rt△AEC中，AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OEAC． 20．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【解答】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 21．（2025•市北区校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴ND∥AM． ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME ∵点E是AD中点，∴DE＝AE ∵在△NDE和△MAE中， ∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，DE＝AE， ∴△NDE≌△MAE（AAS）． ∴ND＝MA ∴四边形AMDN是平行四边形． （2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝2． ∵AMAD＝1，∠DMA＝90°， ∴∠ADM＝30° ∵∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝90°， ∴平行四边形AMDN是矩形． 22．（2024春•息县校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$