第1章 勾股定理 单元练习卷-2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第1章勾股定理练习卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•伊宁县期中）下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，4，5 2．（2025春•攸县期末）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝3，b＝4，c＝5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2﹣b2＝c2 3．（2024春•新市区校级月考）若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025春•中山市校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（　　） A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16 5．（2024春•肇庆月考）如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　） A．0.4米 B．0.5米 C．0.6米 D．0.7米 6．（2025春•广水市期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处．这棵大树在折断前的高度为（　　）m． A．5 B．7 C．8 D．9 7．（2024秋•观山湖区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2024春•汕尾期末）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 9．（2024•永昌县三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．4π C．8π D．8 10．（2024春•西秀区期中）已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 二．填空题（共6小题） 11．（2025春•清城区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 　 　 是直角． 12．（2025春•新邵县期末）如图在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 　 　 m． 13．（2025春•伊通县期末）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距　 　 海里． 14．（2025春•怀宁县期末）如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝　 　 ． 15．（2025春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，△BDE周长为8，AC＝10，则△ABC的周长是 　 　 ． 16．（2025春•广东校级期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 　 　 m，却踩伤了花草． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•云岩区校级月考）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？ 18．（2025春•内丘县期末）如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9 （1）求CD的长； （2）求AD的长； （3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 19．（2025春•榕江县校级期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20．（2025春•天河区校级期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝4，CD＝2，BC＝6．求∠ADC的度数． 21．（2024春•济南期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1），进行了如下操作：①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如图2，小明想让风筝沿CD方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 22．（2023秋•兰州期末）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，AD． （1）求CD、BD的长； （2）求证：△ABC是直角三角形． 第1章勾股定理练习卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A C D B A C 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•伊宁县期中）下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，4，5 【解答】解：A、∵1.52+22＝6.25≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵72+242＝625＝252，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵62+82＝100＝102，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（2025春•攸县期末）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝3，b＝4，c＝5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2﹣b2＝c2 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形； B、∵32+42＝52，∴△ABC为直角三角形； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形； D、∵a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，故△ABC为直角三角形． 故选：C． 3．（2024春•新市区校级月考）若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：当x为斜边时，x； 当5为斜边时，x4． ∴x的可能值有2个：或4； 故选：B． 4．（2025春•中山市校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（　　） A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16 【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h＝24﹣8＝16； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， ∴AB17（cm）， ∴此时h＝24﹣17＝7， 所以h的取值范围是7≤h≤16． 故选：D． 5．（2024春•肇庆月考）如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　） A．0.4米 B．0.5米 C．0.6米 D．0.7米 【解答】解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝22﹣1.22＝2.56（平方米）， ∴AC＝1.6米， ∵BD＝0.4米， ∴CD＝1.6米． 在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝22﹣1.62＝1.44（平方米）， ∴EC＝1.2米， ∴AE＝AC﹣EC＝1.6﹣1.2＝0.4（米）． 故选：A． 6．（2025春•广水市期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处．这棵大树在折断前的高度为（　　）m． A．5 B．7 C．8 D．9 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m， ∴BC5（m）， ∴这棵树原高：3+5＝8（m）， 故选：C． 7．（2024秋•观山湖区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）． 故选：D． 8．（2024春•汕尾期末）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD． 故选：B． 9．（2024•永昌县三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．4π C．8π D．8 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2 2×4π（AC2+BC2﹣AB2） ＝4， 故选：A． 10．（2024春•西秀区期中）已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0， ∴a﹣2＝0，a＝2；b﹣2＝0，b＝2；c﹣20，c＝2． ∵22+22， 即：a2+b2＝c2， ∴所以此三角形是直角三角形． 又∵a＝b， ∴故此三角形是等腰直角三角形． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2025春•清城区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 　∠B　 是直角． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边关系为a2+c2＝b2， ∴∠B是直角． 故答案为：∠B． 12．（2025春•新邵县期末）如图在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 　15　 m． 【解答】解： 设树高为x m，则CD＝x﹣10， 则题意可知BD+AB＝10+20＝30， ∴AC＝30﹣CD＝30﹣（x﹣10）＝40﹣x， ∵△ABC为直角三角形， ∴AC2＝AB2+BC2，即（40﹣x）2＝202+x2， 解得x＝15，即树高为15m， 故答案为：15． 13．（2025春•伊通县期末）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距　30　 海里． 【解答】解：如图，由已知得，OB＝16×1.5＝24海里，OA＝12×1.5＝18海里， 在△OAB中 ∵∠AOB＝90°， 由勾股定理得OB2+OA2＝AB2， 即242+182＝AB2， AB30（海里）． 故答案为：30． 14．（2025春•怀宁县期末）如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝　45°　 ． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4， ∴∠ABC＝45°，BC＝4， ∵BD＝7，DC＝9， ∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2， ∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°， ∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°， 故答案为：45°． 15．（2025春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，△BDE周长为8，AC＝10，则△ABC的周长是 　28　 ． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∵△BDE周长为8， ∴DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8， ∵在Rt△ADC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）， ∴AE＝AC＝10， ∴△ABC的周长为： AC+BC+BE+AE＝8+10+10＝28． 故答案为：28． 16．（2025春•广东校级期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 　4　 m，却踩伤了花草． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵AC＝6米，BC＝8米， ∴AB10（米）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故答案为：4． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•云岩区校级月考）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？ 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°， 在Rt△CDB中，∠BCD＝45°， ∴∠CBA＝∠BCD， ∴BD＝CD． 在Rt△ACD中，∠CAB＝30°， ∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x km， ∴AC＝2x km．由勾股定理得ADx． ∵AD+DB＝2， ∴x+x＝2， ∴x1＞0.7， ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园． 18．（2025春•内丘县期末）如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9 （1）求CD的长； （2）求AD的长； （3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 【解答】解：（1）在RT△BCD中，∵∠CDB＝90°，BC＝15，BD＝9， ∴CD12； （2）在RT△ACD中，∵∠CDA＝90°，AC＝20，CD＝12， ∴AD16； （3）在△ABC中，∵AC＝20，BC＝15，AB＝AD+DB＝16+9＝25， ∴AC2+BC2＝400+225＝625＝252＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 19．（2025春•榕江县校级期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：24（米）； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 根据勾股定理得：25， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 20．（2025春•天河区校级期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝4，CD＝2，BC＝6．求∠ADC的度数． 【解答】解：连接BD， ∵∠A＝90°，AD＝AB＝4， ∴∠ADB＝45°， 在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2＝16+16＝32， 在△CDB中，CB2﹣DC2＝62﹣22＝32， ∴CB2﹣DC2＝BD2， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°． 21．（2024春•济南期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1），进行了如下操作：①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如图2，小明想让风筝沿CD方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD15（米）， ∵DE＝AB＝1.5米， ∴CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米）， 答：风筝的高度CE为16.5米； （2）由题意得，CM＝9米， ∴DM＝CD﹣CM＝15﹣9＝6（米）， 在Rt△BDM中，由勾股定理得：BM10（米）， ∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米）， 答：小明应该往回收线7米． 22．（2023秋•兰州期末）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，AD． （1）求CD、BD的长； （2）求证：△ABC是直角三角形． 【解答】（1）解：在Rt△ACD中，CD， 在Rt△BCD中，BD； （2）证明：AB＝AD+BD5， ∵AC2+BC2＝42+32＝25， AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$