专题5.6 二元一次方程组（章节复习）知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题5.6 二元一次方程组（章节复习） （知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 2 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 3 知识点梳理03：二元一次方程（组）与一次函数 3 知识点梳理04：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理05：三元一次方程组 5 优选题型 考点讲练 6 考点1：已知二元一次方程组的解求参数 6 考点2：根据实际问题列二元一次方程组 7 考点3：根据几何图形列二元一次方程组 7 考点4：代入消元法 8 考点5：加减消元法 8 考点6：二元一次方程组的特殊解法 9 考点7：二元一次方程组的错解复原问题 10 考点8：构造二元一次方程组求解 10 考点9：已知二元一次方程组的解的情况求参数 11 考点10：方程组相同解问题 12 考点11：方案问题（二元一次方程组的应用） 13 考点12：行程问题（二元一次方程组的应用） 14 考点13：工程问题（二元一次方程组的应用） 15 考点14：数字问题（二元一次方程组的应用） 15 考点15：年龄问题（二元一次方程组的应用） 16 考点16：分配问题（二元一次方程组的应用） 16 考点17：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 18 考点18：和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 19 考点19：几何问题（二元一次方程组的应用） 20 考点20：图表信息题（二元一次方程组的应用） 21 考点21：古代问题（二元一次方程组的应用） 22 考点22：开放型问题（二元一次方程组的应用） 22 考点23：其他问题（二元一次方程组的应用） 23 考点24：求一次函数解析式 24 考点25：两直线的交点与二元一次方程组的解 25 考点26：图象法解二元一次方程组 27 考点27：求直线围成的图形面积 29 考点28：三元一次方程组的定义及解 30 考点29：三元一次方程组的应用 31 中考真题 实战演练 32 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 34 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 知识点梳理03：二元一次方程（组）与一次函数 1.交点坐标的求法： （1）直线与坐标轴交点：直线与轴的交点，与轴的交点, 直线与轴交点横坐标方程的解. （2）一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。两直线的交点横纵坐标两直线解析式联立解方程组的解， 2.与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 已知面积反求高时注意分类讨论。 （1）割补法——铅垂法求面积： 转化法——借助平行线转化： 在上找一点，得 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 知识点梳理04：实际问题与二元一次方程组 知识点梳理05：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 考点1：已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】（23-24八年级上·重庆荣昌·开学考试）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）． 例如：，已知，． (1)求，的值． (2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 考点2：根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，由若干长方体材料和长方体材料搭建的实物图，第一组实物图中实物高度为，第二组实物图中实物高度为． （材料：高，材料：高） (1)分别求出材料和材料的高度； (2)现用材料，共10个，按实物图的搭建方式进行搭建，若材料有个，搭建物高度为，请直接写出与的关系式，并求出当时，的值． 【变式训练】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）若设门的高和宽分别是尺和尺，则下面所列方程组正确的是（    ） 今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一仗．问户高、广各几何？《九章算术》 A． B． C． D． 考点3：根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23七年级下·山东泰安·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且比小．若设，，则可得到的方程组为（    ）    A． B． C． D． 考点4：代入消元法 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）由方程组可得出与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 考点5：加减消元法 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）（1）计算：； （2） 解方程组：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，满足 考点6：二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得，即．③ ，得．④ ，得，从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【变式训练】（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 ． 考点7：二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 考点8：构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·期中）某小区在改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲小组每小时铺设路面的长度是米，乙小组每小时铺设路面的长度是米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)m的值为________． (2)求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． (3)当甲、乙小两组铺设路面的总长度为米时，直接写出此时甲组比乙组多铺设的路面长度． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 考点9：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知有理数a，b满足，且， 求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组 ，再根据方程求出k的值． 乙同学：先解方程组 求出a，b的值，再根据方程求出k的值． 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，用含k的式子表示，再根据方程求出k 的值． 根据上述三种不同思路，完成下列任务： (1)正确的打“√”，错误的打“×”． 甲同学的思路 ；乙同学的思路 ；丙同学的思路 ． (2)试选择其中一个你认为正确的思路，求出a，b，k的值． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 考点10：方程组相同解问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知关于，的方程组与的解相同，求，的值． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 考点11：方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·假期作业）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨． (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向该机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b． (3)机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 A型 20万元/台 按原价购买 打九折 B型 12万元/台 按原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，则如何购买能使得总费用最少？此时需要多少万元？ 考点12：行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）一辆汽车从A地驶往B地，前的路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从A地到B地共行驶．请根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”提出一个问题：______； 解答上述提出的问题． 【变式训练】（24-25七年级下·河南焦作·期末）数学活动：轮胎换位问题 户外骑自行车进行锻炼是我们日常生活中常见的一种锻炼方式，深受大众欢迎．在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 【问题解决】 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的里程数最大值是_________． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以同样的轮胎放在后轮损耗会大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使两个轮胎行驶的里程数最大． （1）一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________． （2）在（1）的条件下，设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，则这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？行驶的里程数为多少时交换前后轮胎？ 考点13：工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（23-24七年级下·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【变式训练】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 考点14：数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·河北承德·期末）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息求（   ） A． B． C．0 D．1 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 考点15：年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 考点16：分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题： (1)求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆； (2)现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用． 【变式训练】（2025·河南信阳·模拟预测）寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表． 普通间（元/人/天） 三人间 50 双人间 70 单人间 100 宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠． 已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满． (1)若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数； (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (3)小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用． 考点17：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025·湖北·一模）某文具店销售A，B两种款式的文件夹，下表为其中两次的销售情况． 销售记录 销售数量(个) 销售总额(元) A款式 B款式 第一次 10 15 510 第二次 15 20 720 (1)求A，B两款文件夹的销售单价； (2)若该文具店进货时，A款式文件夹的成本为每个20元，B款式文件夹成本为每个15元，求该文具店两次销售后的总利润． 【变式训练】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． (1)每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ (2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 考点18：和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）【新考向】对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变的值，代数式A，B有不同的取值，如表： 0 1 2 0 3 8 15 0 3 8 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为，求代数式； (2)若代数式参照代数式的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·期中）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 考点19：几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期末）小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．40 考点20：图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式训练】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 考点21：古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】24-25九年级下·湖北襄阳·期中）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南安阳·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 考点22：开放型问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【变式训练】已知关于x，y的方程组 (1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值； (3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解． (4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 考点23：其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】22-23八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【变式训练】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答） (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？ 考点24：求一次函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点． (1)求点坐标； (2)求一次函数的函数解析式； (3)求面积． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）小明从家乘出租车前往学校，出发后，发现自己未带数学作业，于是立即让司机掉头按原路原速返回（不计掉头时间），到家后，司机在小区门口等候，小明回家寻找作业，后重新上车，由于时间原因，故以原先速度的1.5倍赶往学校（匀速），最终到达，出租车行驶路程与行驶时间）的函数图象如图所示． (1)填空：______，______，______； (2)写出小明取到作业重新上车后，出租车行驶路程s与行驶时间t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)已知出租车收费情况如下： 里程费：3公里以内，车费8元；3公里以上，超过3公里的部分，每公里2元； 等候费：5分钟内不收费，超过5分钟的部分每分钟1元． 则小明应付多少元车费？ 考点25：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图1，直线经过两点，且与直线交于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点． ①求直线的表达式； ②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由） 【变式训练】（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 考点26：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·山东泰安·期中）【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 考点27：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知直线与直线交于点，点的纵坐标为1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)连接，求． 考点28：三元一次方程组的定义及解 【典例精讲】（20-21六年级下·上海闵行·期中）解方程组. 【变式训练】（22-23七年级下·云南德宏·期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 考点29：三元一次方程组的应用 【典例精讲】（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小天：利用消元法解方程组，得，的值后，再代入求和的值； 小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①﹣②可得，由可得； 李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论为何值，的值始终不变； (3)八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果） 【变式训练】（20-21八年级下·广东江门·开学考试）在新冠肺炎疫情防控期间，某工厂准备购买一批口罩供职工返工期间使用，计划用元购进一批型口罩，用元购进一批型口罩，已知购进的型口罩的数量正好是型口罩数量的倍，且型口罩的单价比型口罩单价少元． (1)求，两种口罩的单价； (2)由于实际情况，需要增加购买单价为元的型口罩至少个，于是工厂又花了元购买，，三种口罩共个，其中型口罩至少购买个，则型口罩购买了多少个？ 1．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北黄冈·中考真题）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． (1)求两种型号垃圾桶的单价； (2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）二元一次方程的非负整数解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·全国·期末）关于x的方程的两个解是和，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D．1 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）正比例函数的图象经过点，则函数的表达式为 ． （2）直线经过点，则这条直线的函数表达式为 ． （3）写出一个一次函数，使它的图象经过点： ． 4．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知与x成正比例，且当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)求当时，x的值． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． (1)求骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式； (2)请求出A，B两种品牌收费相差1元时x的值． 培优拔高 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在中国数学著作《九章算术》中，有这样一个问题∶“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：“今有人合伙买牛，如果每7家共出190元，还缺少330元；如果每9家合伙出270元，又多了30元．问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？“若设共有x户人家，每头牛的价钱为y元，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“奇妙点”．已知一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是 ． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）周末，小丽和爸爸两人分别从家和人民公园同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，跑一段时间后改为散步，到达人民公园一共用了，爸爸从人民公园以的速度骑共享单车回家．两人离家的距离与运动的时间之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)小丽家离人民公园的路程为_______m，点的横坐标为________； (2)设图中段所表示的函数关系式为，请求出该函数关系式，并说明表示的实际意义； (3)与的交点为，请求出点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (4)当两人的距离不超过时，可以用对讲机联系，请直接写出两人能用对讲机联系时的取值范围． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段一个端点，直线经过另一个端点．直线与的交点称为线段的“双线关联点”． (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线关联点”； (2)，是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，且点的纵坐标为6，求点的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，其中．当点，运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.6 二元一次方程组（章节复习） （知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 2 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 3 知识点梳理03：二元一次方程（组）与一次函数 3 知识点梳理04：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理05：三元一次方程组 5 优选题型 考点讲练 6 考点1：已知二元一次方程组的解求参数 6 考点2：根据实际问题列二元一次方程组 7 考点3：根据几何图形列二元一次方程组 8 考点4：代入消元法 10 考点5：加减消元法 10 考点6：二元一次方程组的特殊解法 11 考点7：二元一次方程组的错解复原问题 13 考点8：构造二元一次方程组求解 14 考点9：已知二元一次方程组的解的情况求参数 16 考点10：方程组相同解问题 19 考点11：方案问题（二元一次方程组的应用） 20 考点12：行程问题（二元一次方程组的应用） 22 考点13：工程问题（二元一次方程组的应用） 24 考点14：数字问题（二元一次方程组的应用） 25 考点15：年龄问题（二元一次方程组的应用） 27 考点16：分配问题（二元一次方程组的应用） 28 考点17：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 31 考点18：和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 32 考点19：几何问题（二元一次方程组的应用） 36 考点20：图表信息题（二元一次方程组的应用） 37 考点21：古代问题（二元一次方程组的应用） 39 考点22：开放型问题（二元一次方程组的应用） 40 考点23：其他问题（二元一次方程组的应用） 41 考点24：求一次函数解析式 43 考点25：两直线的交点与二元一次方程组的解 45 考点26：图象法解二元一次方程组 48 考点27：求直线围成的图形面积 52 考点28：三元一次方程组的定义及解 54 考点29：三元一次方程组的应用 56 中考真题 实战演练 58 难度分层 拔尖冲刺 61 基础夯实 61 培优拔高 64 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 知识点梳理03：二元一次方程（组）与一次函数 1.交点坐标的求法： （1）直线与坐标轴交点：直线与轴的交点，与轴的交点, 直线与轴交点横坐标方程的解. （2）一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。两直线的交点横纵坐标两直线解析式联立解方程组的解， 2.与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 已知面积反求高时注意分类讨论。 （1）割补法——铅垂法求面积： 转化法——借助平行线转化： 在上找一点，得 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 知识点梳理04：实际问题与二元一次方程组 知识点梳理05：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 考点1：已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2028 【思路引导】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值： （1）把代入方程组，进而解关于的方程组即可； （2）把的值代入，计算即可． 【规范解答】（1）解：把代入关于的二元一次方程组 ，得，解得． 把代入①，得，解得， ． （2）由（1），得， ． 的值为2028． 【变式训练】（23-24八年级上·重庆荣昌·开学考试）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）． 例如：，已知，． (1)求，的值． (2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)． 【思路引导】（）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到，的值； （）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组组的解法即可求解； 本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【规范解答】（1）根据题意得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （2）将代入原方程组得：， 得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴的值为． 考点2：根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，由若干长方体材料和长方体材料搭建的实物图，第一组实物图中实物高度为，第二组实物图中实物高度为． （材料：高，材料：高） (1)分别求出材料和材料的高度； (2)现用材料，共10个，按实物图的搭建方式进行搭建，若材料有个，搭建物高度为，请直接写出与的关系式，并求出当时，的值． 【答案】(1)设材料的高度为，材料的高度为 (2)， 【思路引导】（1）设材料的高度为，材料的高度为，列方程组解答即可； （2）根据题意，得材料有个，材料有个，搭建物高度为，后求函数值即可． 【规范解答】（1）解：设材料的高度为，材料的高度为， 根据题意，得， 解得， 答：设材料的高度为，材料的高度为． （2）解：根据题意，得材料有个，材料有个，搭建物高度为， 当时，． 【变式训练】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）若设门的高和宽分别是尺和尺，则下面所列方程组正确的是（    ） 今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一仗．问户高、广各几何？《九章算术》 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 【规范解答】解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 考点3：根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 【变式训练】（22-23七年级下·山东泰安·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且比小．若设，，则可得到的方程组为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据平角的定义可得，再由比小，即可列出对应的方程组． 【规范解答】解：设，， 由题意得，，即 故选D． 【考点剖析】本题主要考查了列二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 考点4：代入消元法 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）由方程组可得出与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把②代入①，方程组消去m即可得到x与y的关系式． 【规范解答】解：， 把②代入①得：， 整理得：， 故选A． 【变式训练】（13-14七年级下·天津·期末）用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【思路引导】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易． 本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法． 【规范解答】解：观察可知，②中的系数为，由②得代入后化简比较容易，故D正确． 故选：D． 考点5：加减消元法 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2；（2） 【思路引导】本题主要考查实数的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）先算算术平方根，负整数指数幂，绝对值，最后算加减即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【规范解答】解：（1） ． （2） ，得， 解得． 将代入①，得， 所以该方程组的解为． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，满足 【答案】， 【思路引导】此题考查整式的化简求值，解二元一次方程组，先计算整式的混合运算，解方程组求出解，再将字母的值代入整式化简后的结果求值． 【规范解答】解：原式． 解方程组 解得 ∴原式． 考点6：二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得，即．③ ，得．④ ，得，从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【答案】 【思路引导】本题考查通过观察方程组系数特点，利用加减消元法解二元一次方程组，需严格按照题干示例的方法进行求解． 两个方程相减，再乘以2，结合题干给出的方法求解即可． 【规范解答】解法一： ，得， 即．③ ，得 ． 把代入③，得 ． 所以原方程组的解为 解法二： ，得，即 ， 所以．③ 把③代入②，得 ， 解得． 把代入③，得 ． 所以原方程组的解为 【变式训练】（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，对方程组进行整体换元是解题的关键．将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想得：，从而得出答案． 【规范解答】解：由题意可知，关于x、y的方程组可得到 ， ∴． 故答案为：． 考点7：二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组错题复原问题．根据没看错的方程和方程的解代入可求得的值，然后还原方程组，根据加减或代入消元法求解即可． 【规范解答】解：由题意得，解得， ，解得， 代入可得， 解得． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【规范解答】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 考点8：构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·期中）某小区在改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲小组每小时铺设路面的长度是米，乙小组每小时铺设路面的长度是米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)m的值为________． (2)求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． (3)当甲、乙小两组铺设路面的总长度为米时，直接写出此时甲组比乙组多铺设的路面长度． 【答案】(1) (2) (3)米 【思路引导】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）由图象可知，甲小组3小时铺设路面，根据“铺设长度铺设速度铺设时间”计算出m的值即可； （2）利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，并标明自变量的取值范围即可； （3）求出铺设完路面总长度为米时，根据“铺设长度铺设速度铺设时间”求出乙小组铺设路面的长度，从而求出甲小组铺设路面的长度，相减即可． 【规范解答】（1）解∶由图象可知，甲小组3小时铺设路面m， (米)， 故答案为∶． （2）解：设乙小组加入后，y与x之间的函数关系式为 (k、b为常数，且)． 将坐标和代入，得： 解得， ∴乙小组加入后，y与x之间的函数关系式为 ． （3）解：当甲、乙小两组铺设路面的总长度为米时， ， ∴当时，得，解得． 其中乙小组铺设路面(米)， 则甲小组铺设路面(米)， 甲组比乙组多铺设的路面长度：(米)． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【答案】(1) (2)①4，12；②， 【思路引导】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与、之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． （1）由图1中空白部分面积大长方形面积阴影部分面积个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得； （2）由长方形的长和宽可列出关于、的方程组，解关于、即可解答． 【规范解答】（1）解：由图可知：，， ，， ， （负值舍去）； （2）解：①， ，的值有无数组； ，， ，； ②， ，的值不存在． ，， ，； 故答案为：4，12；，． 考点9：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知有理数a，b满足，且， 求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组 ，再根据方程求出k的值． 乙同学：先解方程组 求出a，b的值，再根据方程求出k的值． 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，用含k的式子表示，再根据方程求出k 的值． 根据上述三种不同思路，完成下列任务： (1)正确的打“√”，错误的打“×”． 甲同学的思路 ；乙同学的思路 ；丙同学的思路 ． (2)试选择其中一个你认为正确的思路，求出a，b，k的值． 【答案】(1)√；√；√ (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． （1）根据二元一次方程组的性质和解法即可判断； （2）根据甲，乙，丙三位同学的思路求解即可得． 【规范解答】（1）解：甲同学的思路正确，乙同学的思路正确，丙同学的思路正确； 故答案为：√；√；√； （2）解：甲同学：， ①②，得， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ， ，即， 解得：， ，； 乙同学： ， ①②，得， 解得：， 将代入①得：， ， ， 解得：； 丙同学：， ①②，得，即， ， ， 解得； ∴原方程组为， ①②，得，解得； 把代入中， 得， 解得． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的解求参数等内容，解题的关键是掌握加减法． 两方程相加得到，然后利用根的和进行求解即可． 【规范解答】解： ①+②得， ∴， 解得， 故选：C． 考点10：方程组相同解问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知关于，的方程组与的解相同，求，的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．根据方程组与的解相同，联立，求出方程组的解，然后将解代入，得出a、b的方程组，解关于a、b的方程组即可． 【规范解答】解：联立， 解得， 将代入中，得， 解得． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的同解问题，解题关键是重新组合方程构成新的方程组并求解． （1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【规范解答】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 考点11：方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)A型号的汽车进价为25万元、B型号的汽车的进价为10万元 (2) 共有三种购买方案：①A型号购买2辆，B型号购买15辆；②A型号购买4辆，B型号购买10辆；③A型号购买6辆，B型号购买5辆 【思路引导】（1）根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”列方程组求解； （2）根据“正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列方程，并求出正整数解． 本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设型号的汽车进价为万元、型号的汽车的进价为万元， 则：， 解得：， 答：型号的汽车进价为25万元、型号的汽车的进价为10万元； （2）解：设型号购买辆，型号购买辆， 则：， 方程的正整数解为：，，， 共有三种购买方案： ①型号购买2辆，型号购买15辆； ②型号购买4辆，型号购买10辆； ③型号购买6辆，型号购买5辆． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·假期作业）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨． (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向该机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b． (3)机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 A型 20万元/台 按原价购买 打九折 B型 12万元/台 按原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，则如何购买能使得总费用最少？此时需要多少万元？ 【答案】(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨 (2) (3)购买A型机器人35台，B型机器人（台）时，总费用最少，此时需要918万元 【思路引导】（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，依题意得：，解方程组可得； （2）根据“每小时一共能分拣垃圾20吨”可得，从而求解； （3）根据题意分三种情况①当时，②当时，③当时，分别列出w与a的函数关系式，再根据一次函数的性质求最小值. 【规范解答】（1）解：设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨． 由题意可知，， 解得． 1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨． （2）解：由题意可知，， ． （3）解：①当时，，． 当时，w取得最小值， 此时． ②当时，， ， 当时，w取得最小值， 此时． ③当时，， ． 当时，w取得最小值， 此时． ， 购买A型机器人35台，B型机器人（台）时，总费用最少，此时需要918万元． 【考点剖析】本题考查一次函数应用，理解题意，列出方程组和一次函数是关键，要注意熟记一次函数的性质. 考点12：行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）一辆汽车从A地驶往B地，前的路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从A地到B地共行驶．请根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”提出一个问题：______； 解答上述提出的问题． 【答案】求A地到B地的路程； 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，根据时间路程÷速度，列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 提出问题：求、两地间的路程？ 设A地到B地的普通公路长，高速公路长，则，再根据时间路程÷速度，由汽车从A地到B地共行驶，即可得出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，进而可求解． 【规范解答】解：求A地到B地的路程（答案不唯一） 设A地到B地的普通公路长，高速公路长，根据题意，得 ，解得， 所以． 答：A地到B地的路程是． 【变式训练】（24-25七年级下·河南焦作·期末）数学活动：轮胎换位问题 户外骑自行车进行锻炼是我们日常生活中常见的一种锻炼方式，深受大众欢迎．在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 【问题解决】 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的里程数最大值是_________． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以同样的轮胎放在后轮损耗会大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使两个轮胎行驶的里程数最大． （1）一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________． （2）在（1）的条件下，设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，则这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？行驶的里程数为多少时交换前后轮胎？ 【答案】问题一：4000千米；问题二：（1），；（2）行驶的里程数为1875千米时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米 【思路引导】本题考查二元一次方程组、一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找准等量关系，准确列出方程及方程组求解是解决问题的关键． 问题一，由题意直接求解即可得到答案； 问题二：（1）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，根据一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米求解即可得到答案； （2）设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，根据题意得，从而得到；设行驶的里程数为千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了千米，装在后轮上就行了千米，由题意列方程组求解即可得到答案． 【规范解答】解：问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的里程数最大值是4000千米， 故答案为：4000千米； 问题二：（1）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，根据题意得 ， 两式相加得， 则， 设行驶的里程数为千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了千米，装在后轮上就行了千米， ， 解得， 答：行驶的里程数为1875千米时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米． 考点13：工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】23-24七年级下·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【答案】(1) (2)见详解 【思路引导】本题考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意，可以列出方程，本题得以解决； （2）根据题意，可以列出方程组，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米． 【变式训练】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【答案】(1) (2)甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【思路引导】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可； 【规范解答】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则 ， （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则 ，整理得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【考点剖析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 考点14：数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·河北承德·期末）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息求（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【思路引导】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设如图所示位置上的数分别是m，n， 根据题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【规范解答】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 考点15：年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【答案】28 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【规范解答】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【规范解答】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 考点16：分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题： (1)求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆； (2)现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用． 【答案】(1)大卡车8辆，小卡车7辆 (2)（，且x为整数） (3)5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数解决实际问题． （1）设大卡车有辆，小卡车有辆，根据“配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和，大卡车和小卡车共15辆”列出方程组，求解即可； （2）根据运费等于单辆车运费乘以卡车数量即可列出函数解析式； （3）根据题意求出x的取值范围，根据一次函数的增减性即可求解． 【规范解答】（1）解：设大卡车有辆，小卡车有辆，根据题意得 解得 答：大卡车有8辆，小卡车有7辆． （2）解： ， ∵x应满足， ∴， ∴与的函数解析式为（，x为整数） （3）解：由题意，得， ∴， ∵ ，且为整数 ∵在函数中，随减小而减小， ∴当时，y有最小值，为， 此时，，． 答：5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元． 【变式训练】（2025·河南信阳·模拟预测）寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表． 普通间（元/人/天） 三人间 50 双人间 70 单人间 100 宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠． 已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满． (1)若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数； (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (3)小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用． 【答案】(1)选择三人间20间，选择两人间20间 (2)，且x是6的倍数， (3)2640 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确立即题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设选择三人间x间，选择两人间y间，根据共有100名学生且费用为3000元列出方程组求解即可； （2）设三人间共住了人，则三人间有间，双人间有间，据此分别求出双人间和三人间的费用，二者求和再加上一个单人间的费用即可求出对应的函数关系式，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设选择三人间x间，选择两人间y间， 由题意得，， 解得， 答：选择三人间20间，选择两人间20间； （2）解：由题意得， ， ∵每个客房都正好住满， ∴是正整数，且也是正整数， ∴必须是2的倍数， ∴且x是6的倍数， （3）解：由（2）可知， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当x最大时，y有最小值， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：一天的最小费用为2640元． 考点17：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025·湖北·一模）某文具店销售A，B两种款式的文件夹，下表为其中两次的销售情况． 销售记录 销售数量(个) 销售总额(元) A款式 B款式 第一次 10 15 510 第二次 15 20 720 (1)求A，B两款文件夹的销售单价； (2)若该文具店进货时，A款式文件夹的成本为每个20元，B款式文件夹成本为每个15元，求该文具店两次销售后的总利润． 【答案】(1)A，B两款文件夹的销售单价分别为24元和18元 (2)该文具店两次销售后的总利润为205元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用．根据题意找到相等关系，并能正确建立方程组是解题的关键． （1）设A，B两款文件夹的销售单价分别为x元和y元，根据表格内容列方程组，解方程组即可； （2）根据利润的计算方法列式计算即可． 【规范解答】（1）解：设A，B两款文件夹的销售单价分别为x元和y元，则 解得 ， 答：A，B两款文件夹的销售单价分别为24元和18元． （2）由题意，得 (元) ∴该文具店两次销售后的总利润为205元． 【变式训练】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． (1)每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ (2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 【答案】(1)每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元 (2)当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元 【思路引导】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，找到等量关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元”列方程组求解； （2）先根据“、的利润和等于总利润”列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【规范解答】（1）解：设每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元， 由题意得： 解得：， 答：每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元； （2）设利润为元，种盆景盆， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，最大值为：元， 答：当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元． 考点18：和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）【新考向】对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变的值，代数式A，B有不同的取值，如表： 0 1 2 0 3 8 15 0 3 8 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为，求代数式； (2)若代数式参照代数式的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1) (2)相应的延后值为 (3) 【思路引导】本题主要考查了代数式的运算，完全平方公式，二元一次方程组的应用，熟练掌握对“取值延后”概念的理解是解题的关键． （1）根据取值延后的定义，已知延后值为，即当中取某值时，中取该值加时两者结果相等，由此构造的表达式． （2）先设出延后值，根据取值延后的定义列出等式，然后通过等式恒成立求出延后值． （3）根据取值延后的定义列出等式，然后通过等式恒成立求出、、的值，进而求出的值． 【规范解答】（1）解：代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为 当时，； （2）解：设相应的延后值为 代数式参照代数式取值延后 等式恒成立 由得 将代入得，等式成立 相应的延后值为 （3）解：设相应的延后值为 代数式参照代数式取值延后 展开左边得 合并同类项得 等式恒成立 将代入得： 将，代入得： 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·期中）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 (2) (3)购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【思路引导】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； （2）购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，根据一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． （2）解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 ，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ∴，即， 解得， ∴， ∵为非负整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 考点19：几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期末）小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 【答案】每个小长方形的长为，宽为 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握利用二元一次方程组解决图形面积问题是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图的长方形的对边相等可得：，由图的信息可得：，再解方程组，从而可得答案． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得： 解得 ∴每个小长方形的长为，宽为． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．40 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，全等三角形的性质．首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【规范解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 根据图1得：， 根据图2得：， 联立解得， ∴， 则． 故选：A． 考点20：图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【思路引导】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键． 【规范解答】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得 ， 解得， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【思路引导】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 考点21：古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据快的人追上时两者的路程关系及时间相等建立方程组，即可 ． 【规范解答】解：设走路快的人走步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步． 根据题意得， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·河南安阳·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意引入合适的未知数，建立二元一次方程组是解题的关键．本题需要通过两次不同的出钱方式建立方程组，求解人数和物价，再判断选项的正误．解题步骤分为建立方程、解方程、验证选项． 【规范解答】解：设共有人，物品价格为钱． A．根据“每人出8钱，盈3钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； B．根据“每人出7钱，不足4钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； C．联立方程组：将两方程相加，消去得：，正确，故本选项不符合题意； D．将代入，得，解得，因此，物品价格为53钱，选项D中“52钱”错误，故本选项符合题意． 故选：D． 考点22：开放型问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨. 【思路引导】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可． 【规范解答】解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一) 设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨． 根据题意,得， 解得. 则x+y=4+2.5=6.5(吨). 答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨． 【变式训练】已知关于x，y的方程组 (1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值； (3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解． (4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 【答案】（1）， （2）m=（3）（4） 【思路引导】（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解； （2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值； （3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可； （4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可. 【规范解答】（1）                     （2）                    解得 把代入，解得m= （3） （4） ①+②得： 解得， ∵x恰为整数，m也为整数， ∴2+m=1或2+m=-1, 解得 考点23：其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（22-23八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元 (2)，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可． 【规范解答】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 【变式训练】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答） (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？ 【答案】(1)该班胜9场，负3场 (2)该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：胜场数负场数场，胜场的得分负场的得分分，列方程组，即可求解； （2）不等关系式：3分线外投篮得分在3分线内（含3分线）投篮得分分，列出不等式，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设该班胜x场，负y场，根据题意得 解得： 答：该班胜9场，负3场 （2）解：设该班在这场比赛中投中了m个得3分的球，则投中个得2分的球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为4． 答：该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球． 考点24：求一次函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点． (1)求点坐标； (2)求一次函数的函数解析式； (3)求面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】本题考查了两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）将代入可以求得点的坐标； （2）根据待定系数法即可求得一次函数的函数解析式； （3）求得、、的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【规范解答】（1）解：点在一次函数上， ， 点的坐标为； （2）解：将，代入得， 解得， 一次函数的函数解析式为； （3）解：将代入得， ， 将代入得， ， ， 将代入得，解得， ， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）小明从家乘出租车前往学校，出发后，发现自己未带数学作业，于是立即让司机掉头按原路原速返回（不计掉头时间），到家后，司机在小区门口等候，小明回家寻找作业，后重新上车，由于时间原因，故以原先速度的1.5倍赶往学校（匀速），最终到达，出租车行驶路程与行驶时间）的函数图象如图所示． (1)填空：______，______，______； (2)写出小明取到作业重新上车后，出租车行驶路程s与行驶时间t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)已知出租车收费情况如下： 里程费：3公里以内，车费8元；3公里以上，超过3公里的部分，每公里2元； 等候费：5分钟内不收费，超过5分钟的部分每分钟1元． 则小明应付多少元车费？ 【答案】(1)4；20；10 (2) (3)22元 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，正确理解题意和函数图象是解题的关键； （1）根据题中条件，结合图象，可求a，b，c的值； （2）根据题中条件，求出小明重新上车后，出租车的速度，再求出租车行驶路程s与行驶时间t之间的函数关系式； （3）先求出租车行驶的总路程，再计算车费． 【规范解答】（1）解：由题知，小明从乘出租车前往学校，到返回家找作业，用时，所以， 小明回家寻找作业，后重新上车，所以， 小明到达学校，所以． 故答案为：4；20；10． （2）出租车原先的速度为， 小明重新上车后，出租车的速度为． 重新上车后，与之间的函数关系式为． （3）将代入， 得． 车费为元． 答：小明应付车费22元． 考点25：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图1，直线经过两点，且与直线交于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点． ①求直线的表达式； ②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)， (2)①；②等腰直角三角形 【思路引导】此题考查一次函数的应用， （1）利用待定系数法求出函数解析式，解两直线解析式组成的方程组即可求出点的坐标； （2）①利用平行直线的性质设直线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； ②利用点P，C的坐标得到轴，，，由此得到是等腰直角三角形． 【规范解答】（1）设直线l的解析式为， 将和代入，得： ， 解得：， ∴直线l解析式为； 解方程组：， 得：， ∴； （2）解：①∵过点作直线的平行线交直线于点． ∴设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵， ∴轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 【答案】(1)4；9 (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象可知甲5小时匀速行驶了20千米，得到其速度为；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为； （2）乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据函数图象，先求出甲离开A地的距离与时间函数关系式与乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式，然后求出它们的交点，即可求出相遇的时间． 【规范解答】（1）解：根据图象可知甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 故答案为：4；9； （2）设乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：， 由（1）可得：函数过，， ∴，解得：， ∴乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； （3）由（2）知乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； 设甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 由图象可知：函数关系式经过， ∴，解得, ∴甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 联立：，解得：， ∴时，甲、乙二人相遇． 考点26：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【规范解答】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 【变式训练】24-25七年级下·山东泰安·期中）【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 【答案】（1）见详解；（2），（3）无解， （4）4 【思路引导】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据两点确定一条直线即可画出函数图象； （2）根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解； （3）根据图象即可确定方程组解的情况； （4）根据方程组无解，可知两条直线平行，即k值相等，进而可得出a的值． 【规范解答】解：（1），取点， 则以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象如下： （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是 （3）根据函数图象可知，两直线平行， ∴方程组二元一次方程组的解是无解． （4）∵二元一次方程组无解，即，即， ∴二元一次方程图象和二元一次方程图象平行， ∴ ∴ 考点27：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由解析式得到点B的坐标，根据三角形面积求出点A的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此直接解答． 【规范解答】（1）解：当时，，则． 当时，，解得，则． 因为的面积为10，所以， 解得，所以这条直线的表达式为． （2）因为关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， 所以将直线沿轴翻折，翻折后得到的直线的表达式为，即． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知直线与直线交于点，点的纵坐标为1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)连接，求． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查平面直角坐标系中直线解析式和所围成三角形面积的求解，熟练掌握性质，即可解题． （1）先求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，求出k的值，即可； （2）求出点B，C，D的坐标，再根据，解答即可． 【规范解答】（1）解：因为点在直线上，点的纵坐标为1， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 因为点在直线上， 所以， 解得， 所以直线的表达式为． （2）解：令， 解得， 所以． 同理， 所以， 所以， 所以． 考点28：三元一次方程组的定义及解 【典例精讲】（20-21六年级下·上海闵行·期中）解方程组. 【答案】 【思路引导】首先将方程组中的①-②消去得, 然后可以通过②和③消去，最后转化为二元一次方程组，解这个二元一次方程组即可得到x和y的值，把和的值代入①中即可算出的值. 【规范解答】 得,④, 得, ⑤， 得, , 即: ， 得, , , 得, , , 把代入①得, , , ∴原方程组的解为 【考点剖析】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握消元法解三元一次方程组是解题的关键. 【变式训练】（22-23七年级下·云南德宏·期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，得，． 【规范解答】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得，， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入，得， 得，． 【考点剖析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 考点29：三元一次方程组的应用 【典例精讲】（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小天：利用消元法解方程组，得，的值后，再代入求和的值； 小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①﹣②可得，由可得； 李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论为何值，的值始终不变； (3)八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果） 【答案】(1)，3 (2)理由见解析 (3)70元 【思路引导】（1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）利用加减消元法即可求出为固定值，不受的影响； （3）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解． 【规范解答】（1）解： 得，， ． 得，． 故答案为：，3． （2）解：， 得，， ． 无论为何值，的值始终不变． （3）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意得： 得，， 购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元． 故答案为：70元． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想． 【变式训练】（20-21八年级下·广东江门·开学考试）在新冠肺炎疫情防控期间，某工厂准备购买一批口罩供职工返工期间使用，计划用元购进一批型口罩，用元购进一批型口罩，已知购进的型口罩的数量正好是型口罩数量的倍，且型口罩的单价比型口罩单价少元． (1)求，两种口罩的单价； (2)由于实际情况，需要增加购买单价为元的型口罩至少个，于是工厂又花了元购买，，三种口罩共个，其中型口罩至少购买个，则型口罩购买了多少个？ 【答案】(1)型口罩的单价为元，型口罩的单价为元 (2)型口罩购买了个或个 【思路引导】（1）设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进型口罩个，型口罩个，型口罩个，根据题意列出三元一次方程组，根据由，，为正整数，，，得出的值，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 则， 答：型口罩的单价为元，型口罩的单价为元 （2）设购进型口罩个，型口罩个，型口罩个， 由题意，得， 由，，为正整数，，， 可以求得，，，或，，， 型口罩购买了个或个． 【考点剖析】本题考查了分式方程的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程或方程组是解题的关键． 1．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【规范解答】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 2．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【规范解答】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【规范解答】解： 满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 4．（2023·湖北黄冈·中考真题）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． (1)求两种型号垃圾桶的单价； (2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【答案】(1)A，B两种型号的单价分别为60元和100元 (2)至少需购买A型垃圾桶125个 【思路引导】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 【规范解答】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元， 由题意：， 解得：， ∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个， 由题意：， 解得：， ∴至少需购买A型垃圾桶125个． 【考点剖析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【规范解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）二元一次方程的非负整数解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键． 先用y表示x，再去求非负整数解即可． 【规范解答】解：， ． 已知x、y都是非负整数， 当时，； 当时，； y取其它的非负整数得到的x不为非负整数， 即方程有两个非负整数解∶或． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）关于x的方程的两个解是和，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】本题考查的知识点是二元一次方程和二元一次方程组的求解及绝对值的计算，解题的关键在于利用给定的解代入原方程，形成含有未知系数的方程组，通过解方程组确定系数的具体值，进而计算所需表达式的值．将两个解代入、建立方程组、解方程组，最后计算绝对值即可． 【规范解答】解：将代入方程，得（1）， 将代入得： （2） （1）（2）得，解得， 将代入（1）：，解得， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）正比例函数的图象经过点，则函数的表达式为 ． （2）直线经过点，则这条直线的函数表达式为 ． （3）写出一个一次函数，使它的图象经过点： ． 【答案】 （答案不唯一） 【思路引导】本题考查了一次函数图象上的点坐标特征，掌握利用待定系数法求解析式是解本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式，可求一次函数解析式； （3）写出一个符合题意的一次函数解析式即可． 【规范解答】解：（1）设正比例函数的表达式为， 把代入，得 ，解得：， ∴函数的表达式为， 故答案为：； （2）一次函数的图象经过点； ， ， 一次函数解析式：； 故答案为：； （3）根据题意得： （答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知与x成正比例，且当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)求当时，x的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由与x成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）把y的值代入解析式求出x的值即可； 【规范解答】（1）解：与成正比例， 设， 又时，， ， 解得， ， 即． 故与之间的函数关系式； （2）解：把代入，得，则． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． (1)求骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式； (2)请求出A，B两种品牌收费相差1元时x的值． 【答案】(1) (2)x的值为15或25 【思路引导】（1）设骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式为，选择两个点坐标代入解方程组即可； （2）求出的解析式，分和，两种情况解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，分类计算，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 即骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式为． （2）解：设， 点在该函数图象上， ， 解得， 故骑行A品牌的电动车的函数解析式为， 由题意可得：或， 解得或， 即A，B两种品牌收费相差1元时x的值为15或25． 培优拔高 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在中国数学著作《九章算术》中，有这样一个问题∶“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：“今有人合伙买牛，如果每7家共出190元，还缺少330元；如果每9家合伙出270元，又多了30元．问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？“若设共有x户人家，每头牛的价钱为y元，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，是明确题意、找到等量关系是解题的关键． 分别根据两种情况下牛价与家数的关系列出方程，构成方程组即可解答． 【规范解答】解：设共有户人家，牛价为元． 第一种情况：每7家出190元，总钱数为元，还缺少330元．因此，牛价等于总钱数加上不足的330元，即：； 第二种情况：每9家出270元，总钱数为元，但多出30元．因此，牛价等于总钱数减去多余的30元，即：； 综上，方程组为：． 故选A． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了新定义问题，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．根据新定义可得，，分别整理联立方程解出即可． 【规范解答】解：根据新运算可得：，即， 整理得：， ，即， 整理得：， 联立，得， ①+②，得， 解得：， 将代入②，得， 即； 所以． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“奇妙点”．已知一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入，求出b值，进而可得出一次函数的解析式，结合“奇妙点”的定义可求出另一“奇妙点”的横坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出结论． 【规范解答】解：∵一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． ∵， ∴， 解得：或． 当时，， ∴一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）周末，小丽和爸爸两人分别从家和人民公园同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，跑一段时间后改为散步，到达人民公园一共用了，爸爸从人民公园以的速度骑共享单车回家．两人离家的距离与运动的时间之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)小丽家离人民公园的路程为_______m，点的横坐标为________； (2)设图中段所表示的函数关系式为，请求出该函数关系式，并说明表示的实际意义； (3)与的交点为，请求出点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (4)当两人的距离不超过时，可以用对讲机联系，请直接写出两人能用对讲机联系时的取值范围． 【答案】(1)4000， (2)，表示的实际意义为小丽散步的速度为 (3)，它表示的实际意义为当出发时，爸爸和小丽在离家的地方相遇 (4) 【思路引导】（1）根据图象直接得出小丽家离人民公园的路程，根据速度、路程、时间的关系，求出爸爸从人民公园骑车到家所用时间，即可得出点D的横坐标； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出段的函数解析式和段的函数解析式，再解方程组得出答案即可； （4）分四种情况：当时，当时，当时，当时分别求出两人的距离不超过时，x的取值范围，最后得出答案即可． 【规范解答】（1）解：根据图可知：小丽家离人民公园的路程为， 爸爸从人民公园以的速度骑共享单车回家， 点的横坐标为：； 故答案为：4000，； （2）解：将点代入，得： ， 解得：， ∴段的函数关系式为， k表示的实际意义为小丽散步的速度为． （3）解：设段的函数关系式为，将点代入，得： ， 解得：， ∴． 设段的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴， 解方程组得： ， ∴点， 它表示的实际意义为当出发时，爸爸和小丽在离家的地方相遇． （4）解：当时，令， 解得：， ∴由题图可知，当时，两人的距离不超过； 当时，， ∴两人的距离不超过； 当时，令， 解得， ∴由题图可知，当时，两人的距离不超过； 当时，，所以两人的距离超过． 综上所述，两人能用对讲机联系时的取值范围为． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象中获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段一个端点，直线经过另一个端点．直线与的交点称为线段的“双线关联点”． (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线关联点”； (2)，是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，且点的纵坐标为6，求点的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，其中．当点，运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与是线段的“双线关联点” (2)①点的横坐标为或；② 【思路引导】（1）分类讨论：直线经过点，直线经过点，求出两直线的解析式联立求交点，直线经过点，直线经过点，再求出两直线的解析式联立求交点即可； （2）先表示出A，B两点坐标，分情况：直线经过点，直线经过点，直线经过点，直线经过点，联立求解即可解答； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则，，得出两条直线，根据正方形的运动轨迹分情况讨论即可得出结果． 【规范解答】（1）解：若直线经过点，直线经过点， ，， ， 解得：； 若直线经过点，直线经过点， ，， ， 解得：； 与是线段的“双线关联点”； （2）①将，代入， 得，， ，， 若直线经过点，直线经过点， 代入得：，， 解得：，， 直线，直线， ， 解得：， ， 解得：， ； 若直线经过点，直线经过点， 代入得：，， 解得：，， 直线，直线， ， 解得：， ， 解得：， ； 综上所述点的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则，， 由①， 消去m得：， ∴点M在直线上运动； 同理可求点N在直线， 线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， 正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图， 随着t增大，当点落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图， 则解得， 解得：； 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图， 当t继续增大，直至点落在直线， 则， 解得：，此时有3个交点，不符合题意，如图， ∴满足2个交点，则； 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图， 综上，． 【考点剖析】本题考查了一次函数的综合应用，主要考查新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$