专题5.4 二元一次方程与一次函数（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题5.4 二元一次方程与一次函数 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二元一次方程组与一次函数的关系 1 知识点梳理02：二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求一次函数解析式 2 考点2：两直线的交点与二元一次方程组的解 6 考点3：图象法解二元一次方程组 11 考点4：求直线围成的图形面积 14 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 25 基础夯实 25 培优拔高 32 知识点梳理01：二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点梳理02：二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 考点1：求一次函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【思路引导】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键： （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案； （3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值为4， 将代入， 得， 解得， 所以． （3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点， 所以． 将代入， 得， 所以点的坐标为， 所以． 因为， 所以． 因为 ， 解得， 所以点的坐标为． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象过点，求的值； (2)若图象经过第一、三、四象限，求的取值范围； (3)在(1)的条件下，若点和点在一次函数的图象上，直接写出，，0的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由图象过点，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由图象经过第一、三、四象限，则＞，且＜，进而计算可以得解； （3）依据题意，结合（1）中，，则，从而当时，，且随的增大而减小，结合，进而可以判断得解． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象过点 ， 解得. （2）一次函数的图象经过第一、三、四象限 解得 （3）由题意，由（1）可得：， ． 当时，，且随的增大而减小． 又， 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）中国是一个历史悠久的文明古国，拥有丰富多样的美食文化．旅行社计划与一家以传统美食为特色的连锁餐厅合作，该餐厅对于团购套餐推出甲、乙两种“畅享卡”：甲：按照次数收费；乙：收取会员卡费用后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．设．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求与的函数关系式，并说明和表示的实际意义； (2)旅行团消费多少次时，两种“畅享卡”花费一样？费用是多少？ (3)旅行团在一次旅行中准备了2000元的费用来该餐厅用餐，请问选择哪种“畅享卡”更划算？ 【答案】(1)，，表示的实际意义：甲种“畅享卡”餐厅收费为320元每次，表示的实际意义：乙种“畅享卡”餐厅收取会员卡费640元 (2)消费4次时，两种“畅享卡”花费一样，费用是1280元 (3)选择乙种“畅享卡”更划算，见解析 【思路引导】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取相关信息是解题的关键． （1）从函数图象获取点的坐标，再利用待定系数法求解； （2）令，列一元一次方程，求出x的值即可； （3）令，，求出对应的x的值，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：将代入，得：， 解得， ，表示的实际意义：甲种“畅享卡”餐厅收费为320元每次； 将和代入，得：， 解得， ，表示的实际意义：乙种“畅享卡”餐厅收取会员卡费640元． （2）解：令，得：， 解得， （元）， 即消费4次时，两种“畅享卡”花费一样，费用是1280元； （3）解：当时，， 解得； 当时，， 解得； ， 选择乙种“畅享卡”更划算． 考点2：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点的坐标分别为，直线与直线相交于点，且点的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． （1）利用待定系数法即可得到直线的表达式； （2）通过解方程组即可得到点的坐标； （3）设点的坐标为，依据的面积是的面积的2倍，列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：联立， 解得， ∴点的坐标为． （3）解：设直线与轴的交点为，连接，如图所示， 则， 直线的表达式为，令，则， ∴直线与轴交于点， 设点的坐标为， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线相交于点． (1)求b的值； (2)直接写出方程组的解； (3)若交x轴于点A，交x轴于点B，且，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1)3 (2) (3) 【思路引导】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数与方程组之间的关系是解题的关键． （1）已知点在上，故将点坐标代入函数解析式，即可求得的值； （2）二元一次方程组的解为与的交点坐标，根据上问求解即可直接得到方程组的解； （3）在上，求出当时，对应点的坐标，设出点坐标，利用三角形面积公式，即可求得点坐标，分别将点与点坐标代入函数式，即可求得对应函数表达式． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：点在直线上， 则， 解得； （2）解：∵， ∴交点坐标是， ∴方程组的解是； （3）解：直线中，当时，， 故点坐标为，设点坐标为， 故， 解得：， 故点坐标为， 将点、点坐标代入方程，可得：， 解得：， 故直线对应函数表达式为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)为第二象限内的直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【思路引导】（1）由待定系数法直接求解即可得到答案； （2）先求出两条直线的交点，设，由，数形结合，代值求解即可得到答案； （3）过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点，由全等三角形判定得到，求出、，由待定系数法确定函数表达式，联立求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：直线经过点，， 把点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在， 联立，解得， ∴， 设， ∵直线与轴交于点， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； （3）解：过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线， 将、代入可得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． 【考点剖析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、一次函数与三角形面积问题、一次函数图象与性质、绝对值方程、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求直线交点坐标等问题，熟记一次函数图象与性质、待定系数法求函数表达式、一次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 考点3：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 【变式训练1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【规范解答】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【变式训练2】（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是 ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】由函数和的图象交于点P得到二元一次方程组的解为；图象可得，当 时，． 【规范解答】 函数和的图象交于点P 二元一次方程组的解为 由图象可得，当 时，． 故答案为：；． 【考点剖析】本题主要考查了利用图象解二元一次方程组的问题及数形结合的数学思想，熟练掌握一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系是解题的关键． 考点4：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，直线的解析式为，直线和直线相交于点A，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点D，直线与x轴相交于点，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)9 【思路引导】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，同时考查了坐标与图形的面积，掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式； （2）首先根据两个函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出的面积即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为， ∵经过点， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）∵直线的解析式为， 当时，， ∴， 解方程组 解得， ∴， ∵， ∴， 的面积． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)28 【思路引导】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点可得一次函数的解析式； （2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案． 【规范解答】（1）解：在中，当时，， ∴， 把和代入可得， 解得， 所以一次函数的解析式为； （2）解：由题意可得， ∴， ∴，解得， 即， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)D的坐标为或 (3)存在，P的坐标为或 【思路引导】（1）用待定系数法可得直线的表达式为； （2）求出，，知，故，得，即可得D的坐标为或； （3）分两种情况：当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，证明，设，可得，从而，直线解析式为，联立，解得；当P在上方时，同理可得． 【规范解答】（1）解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴D的坐标为或； （3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 分以下两种情况讨论： 当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 同理可得， 综上所述，P的坐标为或． 【考点剖析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【规范解答】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 2．（2024·青海西宁·中考真题）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． (2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查根据函数图象得到信息，待定系数法求一次函数解析式等． （1）通过函数图象可知段横坐标即为本题答案； （2）设一次函数解析式为，再将两点坐标代入即可； （3）由（2）问解析式求出点坐标，再分别计算快速充电器和普通充电器使用时间，再利用减法即可求出本题答案． 【规范解答】（1）解：根据图象可得用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需， 故答案为：； （2）解：设一次函数解析式为， ∵， ∴将代入中得， ，解得：， ∴关于的函数解析式：， 将点纵坐标代入中得：， ∴自变量的取值范围：， ∴； （3）解：根据图象可得普通充电器从10充到100用时， 快速充电器从10充到100用时， ∴快速充电器比普通充电器少用：， 故答案为：． 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【规范解答】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 4．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【思路引导】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： (1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； (2)图中a= ，b= ，c= ； (3)求线段MN的函数解析式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】(1)1200，60 (2)900，800，15 (3)y =-20x+1200（15≤x≤20） (4)8分钟，分钟 【思路引导】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【规范解答】（1）由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； （3）由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） （4）设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【考点剖析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，过点的一次函数图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 先确定点B的坐标，再用待定系数法求解即可． 【规范解答】当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象交于点，若将点的坐标看作某个二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的解与图形交点的关系，解题关键是利用给定交点验证各选项方程组，判断该点是否同时满足两方程，从而确定正确选项．将P点坐标代入各选项方程，检验等式是否成立，最终确定唯一符合条件的方程组即可． 【规范解答】解：A．，将点代入①得，，不成立，故此选项不符合题意； B．，将点代入①得，，成立；代入②得，成立，故此选项符合题意； C．，将点代入①得，，不成立，故此选项不符合题意； D．，将点代入①得，，成立，代入②得，不成立，故此选项不符合题意 综上，只有选项B的方程组解为P点． 故选：B． 3．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知直线 与直线交于点，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．把代入求出m得到C点坐标，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【规范解答】∵点在直线 上， ∴， 解得， ∴点C的坐标为， ∴方程组  的解是 故选：B． 4．（24-25八年级下·重庆丰都·阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解决本题的关键是两函数图象的交点坐标就是对应方程组的解． 一次函数的图象交点坐标与对应的方程组的解之间存在着紧密的联系．两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个一次函数表达式组成的方程组的解． 【规范解答】解： 已知一次函数和图象相交于点． 所以方程组的解就是． 即方程组的解是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查待定系数法求一次函数解析式．把A、B两点的坐标代入函数解析式，就可得到一个关于k、b的方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得到解析式． 【规范解答】解：把和代入， 得， 解得， 则此函数的解析式为：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解． 【规范解答】解：方程组可化为：， 即坐标系中直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数，当时，． (1)求的值； (2)判断点在不在该一次函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在该一次函数的图象上 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把，代入进行计算，即可解答． （2）依题意，把代入，得，故点不在该一次函数的图象上，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵一次函数，当时，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 即， 把代入，得， ∴点不在该一次函数的图象上． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知某个一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A，B的坐标，可得，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 因为一次函数的图象经过点和点， 所以， 解得， 所以这个一次函数的表达式为； （2）在一次函数中， 当时，，当时，， 所以， 所以， 所以的面积． 9．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某物流公司引进两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于的函数解析式； (2)如果、两种机器人连续搬运5个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】(1) (2)150 【思路引导】本题考查了一次函数的应用、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出解析式． （1）设关于的函数解析式为，把E、P的坐标代入即可得到结论； （2）设关于的函数解析式为，把P的坐标代入即可得到的表达式，令，代入，令，代入，两者相减即可得到结论． 【规范解答】（1）设关于的函数解析式为（）， 由线段过点和点， 得， 解得， 所以关于的函数解析式为； （2）设关于的函数解析式为（）， 由题意，得，即， ∴； 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 10．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）已知A、B两地相距，甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，y与x的函数图象如图所示． (1)甲的速度为______； (2)求出关于x的函数关系式； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，直接写出行驶过程中，当甲、乙二人相距时的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)行驶过程中甲、乙二人在时或时相距． 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象列出关系式是关键． （1）根据“速度路程时间”可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）依据题意，分两种情形，出发后4小时前和出发后4小时后，甲、乙二人相距，从而列式计算可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意，甲的速度为， 故答案为：； （2）解：， ∴交点坐标为， 设，且图象过， ， 解得：， ∴； （3）解：由甲的速度，可得， 由题意，分两种情形： ①出发后4小时前，甲、乙二人相距， ∴， ∴， ∴， ∴此时甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人时相距； ②出发后4小时后，甲、乙二人相距， ∴， ∴， ∴， ∴此时甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人时相距， 答：甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人在时或时相距． 培优拔高 11．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）关于的一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．的值随的增大而增大 C．该函数的图象与轴的交点坐标为 D．该函数的图象可由一次函数的图象向上平移1个单位长度得到 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象平移问题）与性质（判断一次函数的增减性），求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【规范解答】解：将点代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故结论A错误； ， ∴ y的值随着值的增大而增大，故结论B正确； 令，则， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，故结论C错误； ， ∴一次函数的图象不能由一次函数的图象平移得到，故结论D错误； 故选：B． 12．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列结论错误的是（   ） … 0 1 2 … … 5 2 … A．是方程的解 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象经过第一、二、四象限 D．一次函数的图象与轴交于点 【答案】A 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：∵当时，；当时，． 将，代入，得 ． 将，，代入，得 ， 解得． ∴一次函数的表达式为． A．当时，，所以不是方程的解，该选项错误，符合题意； B．在一次函数中，，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； C．在一次函数中，，，根据一次函数的性质，当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，该选项正确，不符合题意； D．当时，，所以一次函数的图象与轴交于点，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】通过作辅助线构造全等三角形，求出点坐标，再用待定系数法求直线函数表达式．本题主要考查全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握全等三角形判定找相等线段求点坐标，及待定系数法求函数式是解题关键． 【规范解答】解：过作轴于，过作轴于． 是含角的直角三角尺，，， ，， 又， ． 在和中， ，， ， ，， ，， ∴． 设直线的解析式为，把，代入得： 两式相减得：，， 把代入得：，， 直线的解析式为， 故选C ． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，． （1）含氧量与大气压强之间的关系式是 ； （2）当大气压强是时，含氧量是 ． 【答案】 87 【思路引导】本题考查正比例函数的应用，掌握用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求解析式，求出y即可． 【规范解答】解：（1）设含氧量与大气压强的正比例函数关系为， 把，代入，得， 解得：， ∴ 故答案为：． （2）把代入 ，得 ， 故答案为：87． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某种拖拉机的油箱可储油，加满油并开始工作后，油箱中的余油量与工作时间之间为一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）与的函数关系式是 ； （2）一箱油可供拖拉机工作 小时． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用， （1）根据题意列出一次函数解析式，然后将，代入解析式即可求得答案； （2）令便可解得一箱油可供拖拉机工作的时间； 正确理解题意，确定一次函数的解析式是解题的关键． 【规范解答】解：设函数解析式为， ∵函数图象过点，， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式是， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴一箱油可供拖拉机工作小时． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线与直线关于轴对称，已知直线的函数表达式为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称，先将代入，求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，再根据点与点关于轴对称，即可得出答案． 【规范解答】解：将代入，得：， 直线的函数表达式为， 当时， 解得， 点的坐标为， 直线与直线关于轴对称， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像回答下列问题： （1）甲、乙两个机器人在测试开始后 分钟相遇； （2）当时，甲、乙两个机器人之间的距离不超过30米的时间有 分钟． 【答案】 2 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）根据题意得“全速模式”的速度为 60 米／分钟，可得线段解析式为，求出线段的解析式为，联立，即可解得甲、乙两个机器人在测试开始后分钟相遇； （2）当甲电子机器人在乙电子机器人前面 30 米时，，解得，当乙电子机器人在甲电子机器人前面 30 米时，，解得，再列式计算可得答案． 【规范解答】解：（1）根据题意，乙电子机器人“基础模式”速度为米／分钟，“全速模式”的速度为 米／分钟； ∴线段解析式为， 线段的解析式为， 联立， 解得， ∴甲、乙两个机器人在测试开始后分钟相遇； 故答案为：； （2）当甲电子机器人在乙电子机器人前面 30 米时，， 解得， 当乙电子机器人在甲电子机器人前面 30 米时，， 解得， ∵（分钟）， ∴当时，甲、乙两个机器人之间的距离不超过 30 米的时间有2分钟； 故答案为：2． 18．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到、两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．设甲果园运往仓库的苹果x吨，总运费为y元．甲、乙两果园运送苹果到、两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 A仓库 160元/吨 150元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 (1)甲果园运往仓库的苹果为______吨，乙果园运往仓库的苹果为______吨，运往仓库的苹果为______吨（用含x的代数式表示）； (2)求y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)当甲果园运往仓库吨苹果时，总运费最少，总运费最少是元． 【思路引导】本题考查了列代数式，一次函数的应用等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据甲、乙两果园今年苹果的产量以及、两个仓库存放量进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论和表格中的数据进行计算，即可解答； （3）利用一次函数的增减性进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：设甲果园运往仓库的苹果吨，则甲果园运往仓库的苹果为吨，乙果园运往仓库的苹果为吨，运往仓库的苹果为吨， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∴与之间的函数解析式：； （3）解：∵， ∴随的增大而减少， ∴当时，（元）， ∴当甲果园运往仓库吨苹果时，总运费最少，总运费最少是元． 19．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图1，直线经过两点，且与直线交于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点． ①求直线的表达式； ②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)， (2)①；②等腰直角三角形 【思路引导】此题考查一次函数的应用， （1）利用待定系数法求出函数解析式，解两直线解析式组成的方程组即可求出点的坐标； （2）①利用平行直线的性质设直线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； ②利用点P，C的坐标得到轴，，，由此得到是等腰直角三角形． 【规范解答】（1）设直线l的解析式为， 将和代入，得： ， 解得：， ∴直线l解析式为； 解方程组：， 得：， ∴； （2）解：①∵过点作直线的平行线交直线于点． ∴设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵， ∴轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 20．（24-25八年级下·重庆南川·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴和轴于点和点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，根据三角形的面积求点的坐标，位似图形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作于点，交于点，设点，则，，表示出相关线段的长度，然后利用面积公式列出关于绝对值的方程，最后进行求解即可； （3）根据同高的三角形，面积比就等于底的比，得出，继而得出，设坐标，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由可得，， ∵点为线段的中点， ∴， 当函数值为0时，即， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴直线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作于点，交于点， 设点，则，， 此时，， ∴， 整理得， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：如图所示， ∵与的高相等，且， ∴, 假设，则有， ， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 二元一次方程与一次函数 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二元一次方程组与一次函数的关系 1 知识点梳理02：二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求一次函数解析式 2 考点2：两直线的交点与二元一次方程组的解 4 考点3：图象法解二元一次方程组 5 考点4：求直线围成的图形面积 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 14 知识点梳理01：二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点梳理02：二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 考点1：求一次函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象过点，求的值； (2)若图象经过第一、三、四象限，求的取值范围； (3)在(1)的条件下，若点和点在一次函数的图象上，直接写出，，0的大小关系． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）中国是一个历史悠久的文明古国，拥有丰富多样的美食文化．旅行社计划与一家以传统美食为特色的连锁餐厅合作，该餐厅对于团购套餐推出甲、乙两种“畅享卡”：甲：按照次数收费；乙：收取会员卡费用后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．设．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求与的函数关系式，并说明和表示的实际意义； (2)旅行团消费多少次时，两种“畅享卡”花费一样？费用是多少？ (3)旅行团在一次旅行中准备了2000元的费用来该餐厅用餐，请问选择哪种“畅享卡”更划算？ 考点2：两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点的坐标分别为，直线与直线相交于点，且点的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，求出点的坐标． 【变式训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线相交于点． (1)求b的值； (2)直接写出方程组的解； (3)若交x轴于点A，交x轴于点B，且，求直线对应的函数表达式． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)为第二象限内的直线上一点，且，求点的坐标． 考点3：图象法解二元一次方程组 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【变式训练1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是 ；当时，的取值范围是 ． 考点4：求直线围成的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，直线的解析式为，直线和直线相交于点A，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点D，直线与x轴相交于点，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 2．（2024·青海西宁·中考真题）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． (2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： (1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； (2)图中a= ，b= ，c= ； (3)求线段MN的函数解析式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，过点的一次函数图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象交于点，若将点的坐标看作某个二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知直线 与直线交于点，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆丰都·阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数，当时，． (1)求的值； (2)判断点在不在该一次函数的图象上． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知某个一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为坐标原点，求的面积． 9．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某物流公司引进两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于的函数解析式； (2)如果、两种机器人连续搬运5个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 10．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）已知A、B两地相距，甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，y与x的函数图象如图所示． (1)甲的速度为______； (2)求出关于x的函数关系式； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，直接写出行驶过程中，当甲、乙二人相距时的时间． 培优拔高 11．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）关于的一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．的值随的增大而增大 C．该函数的图象与轴的交点坐标为 D．该函数的图象可由一次函数的图象向上平移1个单位长度得到 12．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列结论错误的是（   ） … 0 1 2 … … 5 2 … A．是方程的解 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象经过第一、二、四象限 D．一次函数的图象与轴交于点 13．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，． （1）含氧量与大气压强之间的关系式是 ； （2）当大气压强是时，含氧量是 ． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某种拖拉机的油箱可储油，加满油并开始工作后，油箱中的余油量与工作时间之间为一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）与的函数关系式是 ； （2）一箱油可供拖拉机工作 小时． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线与直线关于轴对称，已知直线的函数表达式为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 17．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像回答下列问题： （1）甲、乙两个机器人在测试开始后 分钟相遇； （2）当时，甲、乙两个机器人之间的距离不超过30米的时间有 分钟． 18．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到、两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．设甲果园运往仓库的苹果x吨，总运费为y元．甲、乙两果园运送苹果到、两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 A仓库 160元/吨 150元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 (1)甲果园运往仓库的苹果为______吨，乙果园运往仓库的苹果为______吨，运往仓库的苹果为______吨（用含x的代数式表示）； (2)求y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 19．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图1，直线经过两点，且与直线交于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点． ①求直线的表达式； ②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由） 20．（24-25八年级下·重庆南川·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴和轴于点和点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是直线上一点，且，求点的坐标． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$