第二十二章二次函数 单元练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 3．若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 5．设二次函数（为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 6．定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 8．设二次函数（m为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（　　） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 二、填空题 9．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则 ． 10．当时，直线与抛物线有2个不同交点，则的取值范围是 ． 11．抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ． 12．如果抛物线y＝﹣m（x+1）2﹣m+1的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的开口方向 ． 13．二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p的最大值为 ． 14．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为 ． 15．某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ． 16．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有 秒时间，完成规定的翻腾动作． 三、解答题 17．已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线． (1)该函数的图象与轴的公共点的个数是________． A．0    B．1    C．2 (2)当时，试说明． (3)若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 18．抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于C点，点D为顶点． (1)求二次函数解析式及B点坐标； (2)第一象限内，抛物线上有一动点，过点作轴于，连接交于点，当取最大值时，求点的坐标； (3)过点D作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，点G在线段上，点I在线段上，若，求的最小值及此时G点的坐标． 19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为，面积为． (1)设，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交点的纵坐标为，且抛物线与x轴只有一个交点． (1)求k、b的值； (2)求方程的根； (3)抛物线与直线相交，m是它们交点的横坐标，求代数式的值． 21．如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 22．如图，抛物线与 x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的 左边），与y 轴交于点 C，且 OB=OC=3．点 P 是直线 上一动点（点 P 不与点 B ，点 C 重合），过 P 作 x轴的垂线交抛物线于点 M，连接 ．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点 P 在线段上运动，且 与相似时，求此时的面积； (3)点 P在直线上运动的过程中，将沿对折，如果点 P的对应点 N 恰好落在y 轴上，请直接写出此时点 P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C D D A C 1．D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； B．，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意； C．，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； D．，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值． 【详解】解：抛物线过点、， 对称轴是直线， 又抛物线与轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得： ， 即． 故选：A． 4．C 【分析】】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A不符合题意． B．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中一次函数和二次函数，对称轴得到，故C符合题意． D．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧得到，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及解不等式组，用表示、，再根据条件求的范围即可得出答案，解题的关键是用的代数式表示、． 【详解】解：二次函数（为实数）的图象过点，，，， 代入变形可得，，，， ，， ，， A、若，且，则①，且②， 由①得，由②得， ，故A不符合题意； B、若，且，则③，且④， 由③得，由④得， ，故B不符合题意； C、若，且，则⑤，且⑥， 由⑤得或，由⑥得， ，故C不符合题意； D、若，且，则⑦，且⑧， 由⑦得或，由⑧得， ，故D符合题意， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 先联立并转化为一元二次方程，利用根的判别式得到，再表示交点的坐标，利用确定，最后把转化为，求解即可． 【详解】由题意得方程组只有一组实数解， 消去y得， 由题意， ∴， ∴， ∴用方程可以化为， ∴， ∴， ∵且， ∴或， 解得：或， ∵点C在第一象限， ∴， ∵ ∵ ∴． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 8．C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解一元一次不等式组，先将点代入函数解析式，进而求出的值，再根据题干给的条件，列出不等式组，求解后逐一进行判断即可． 【详解】解：将代入得． 将代入得， 将代入得， 将代入得， ∴， ， ∴； 若，且，则，且， ∴， 解得， 若，且，则，且， ∴， 解得， 若，且，则， ∴， 解得， 若，且，则， ∴， 解得， 故选：C． 9．-12 【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值． 【详解】解：∵点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上， ∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12， 故答案为：-12． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 10． 【分析】如图，由题意知，，在与二次函数图象有两个交点，此时当直线向右平移，与二次函数图象有一个交点时，此时，，求解的值，进而可知的取值范围． 【详解】解：如图， 由题意知，，在与二次函数图象有两个交点，此时 当直线向右平移，与二次函数图象有一个交点时，此时，，解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于明确函数图象有两个交点的情况． 11．x＜-3或x＞1 【分析】先由抛物线的对称轴及已知交点（1，0）的坐标得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，则根据二次函数与不等式的关系可得答案． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0） 又∵抛物线开口向上 ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜-3或x＞1． 故答案为：x＜-3或x＞1． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数的相关性质及二次函数与不等式的关系是解题的关键． 12．向上 【分析】根据抛物线的顶点坐标求出m的值，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，2）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的开口向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于能够根据题意求出m的值． 13．3 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，从而可得其顶点纵坐标的值，再利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】解：二次函数， 其顶点纵坐标， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 14．7 【分析】把阴影部分面积用x表示出来，再利用二次函数的性质求解最值． 【详解】设阴影部分的面积为，其中， 则， 当时，有最小值为7， 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，考查了二次函数的性质，根据解析式求二次函数的最值是解题的关键． 15． 【分析】某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案. 【详解】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 故答案为： 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键. 16．/1.5 【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可． 【详解】依题意 整理得 即 解得（不符合题意，舍） 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键． 17．(1)C (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据二次函数的图象经过，两点，得到，再计算的值，根据其值的属性，判定函数的图象与轴的公共点的个数即可． （2）根据（1）得，计算抛物线的对称轴为，结合，得，结合对称轴为直线即可得证． （3）根据前面的解答，抛物线的解析式可以表达为，把点，分别代入解析式，结合，分类解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴ ， ∴函数的图象与轴的公共点的个数为2个， 故选：C． （2）解：根据（1）得， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． （3）解：根据， 得抛物线的解析式可以表达为，把点，分别代入解析式，得，， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 当，且时， ∴，且 解得， 且； 此时得解为； 当时， ∴， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求对称轴，用一个字母表示其余字母，一元二次方程根的判别式的应用，分类思想求不等式的解集，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与方程的关系，抛物线与不等式的关系是解题的关键． 18．(1)， (2) (3)最小值， 【分析】（1）将点A坐标代入即可得解； （2）设出M的坐标为，将和用含有m的式子表示，得到，进而根据二次函数的最值求解即可； （3）由题易知为等腰直角三角形，所以，得到，过点作轴，在上取，构造得出，进而推出当在上时有最小值，再过点向作垂线，垂足为，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 故二次函数解析式为， 令，得， 解得，， 故； （2）解：由在抛物线上，且在第一象限内，设； 轴于， ， 把代入得， ， 设，代入，， 得， 解得， 即， 交于点， ， ， 由，当时，有最大值4，此时； （3）解：点为抛物线的顶点， 故，，， 故，即， 由轴交直线于点，轴交直线于点，则，， 在等腰直角中，，， ，； 又， ，故， 过点作轴，在上取， 有，， ，， 则，， 故在上时有最小值， 此时，过点向作垂线，垂足为， 在中，，，， 在，， 中，，， ， 即， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征、二次函数的最值问题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．(1)； (2)花圃的宽为； (3)能，花圃的长为、宽为，这时有最大面积． 【分析】（）利用篱笆的长表示出的长，由墙的最大长度为即可求出自变量的取值范围； （）根据矩形面积公式即可得出，求出的值并检验即可； （）根据矩形面积公式即可得出，则，再根据自变量的取值范围得出符合条件的方案； 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， ， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：花圃的宽为； （3）解：能，理由： ， ∴当时，有最大值为， 故能围成面积比更大的花圃， 围法：， 即花圃的长为、宽为，这时有最大面积． 20．(1)． (2)，． (3)或． 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象交点问题． （1）求出直线解析式为，再由抛物线的对称轴为，则，得到答案； （2）得到抛物线的解析式为，解方程，即．即可得到答案； （3）根据题意得到．由解得得，．即可得到答案． 【详解】（1）∵直线经过点 ∴，解得， 直线解析式为．　 将代入得，解得， ∵抛物线的对称轴为，则， ∴； （2）由（1）知， ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 则，解得． ∴抛物线的解析式为． ∴为， 即． 解得，． （3）由题知，抛物线的解析式为， 直线的解析式为． ∵抛物线与直线相交，m是它们交点的横坐标， ∴，即，则有，． ∴，整理得． ∴ ． ∴． ∵解得， ∴． ∴的值为或． 21．(1)； (2)3 (3)存在点，使得和面积相等，坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，， ∴；， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 22．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）在抛物线中，先得到点、坐标，然后根据待定系数法求解析式即可； （2）先求直线的解析式，然后设点坐标为，则，分两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可； （3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵OB=OC=3， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 代入可得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为， 设直线解析式为， ∵， ∴，解得 ∴直线解析式为： ， 设点坐标为 ∵轴， ∴， ， ； ， ， ， ， ， 若和相似，分两种情况： ①当， 即 解得： ，； ∴； ②当 即 解得： ，； ∴； 综上所述，的面积为或； （3）设点坐标为，当点在的上方时，由（2）知，，     沿对折，点的对应点恰好落在轴上， ， 轴， ， ， ， ， 整理得： 解得：(舍去)， ， ∴当 时， ， ， 当点在点下方时，， 同理可得， 解得 (舍去)， ， ， 综上所述，点的坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质， 二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$