第一章《特殊的平行四边形》综合试题　　2025－2026学年北师大版九年级数学上册

九年级数学试卷 第一章 特殊的平行四边形 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列说法中不正确的是（　　） A．菱形的四条边相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直 2．如图，要使▱ABCD成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．∠BAC＝90° D．AC＝BD 3．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（　　） A．135° B．120° C．112.5° D．67.5° 4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，已知AB＝1，则BD的长度是（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是（﹣3，4），则顶点B的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（2，3） D．（3，2） 6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝3，则S菱形ABCD为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 8．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 10．如图，四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为四边上的点，以下说法： ①若AE＝DF＝CG＝BH，则四边形EFGH为正方形； ②若EG＝HF，则必有EG⊥HF； ③若HF⊥EG，则必有EG＝HF． 正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，D为AB中点，连接CD，则CD＝　 　 ． 12．已知菱形ABCD，两条对角线AC＝6cm，DB＝8cm，则菱形的周长是　 　 cm． 13．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2．若EC平分∠BED，则BC的长为 　 　 ． 14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，菱形ABCD的周长是20，BD＝6．则菱形ABCD的高DE的长为 　 　 ． 15．如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F；连接EF，则EF的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正方形的面积分别为S1＝9，S2＝3，求阴影部分的面积． 17．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，求证：▱ABCD是菱形． 18．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛，学生会提出两个方案： 方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为S1； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为S2；具体数据如图所示． （1）图2长方形的长是 　 　 ，宽是 　 　 ； （2）试比较S1与S2的大小关系． 19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E．同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t（s） （0＜t＜5）． （1）当t为何值时，四边形PFCE是矩形？ （2）当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时，求出t的值． 20．如图，四边形BCED是平行四边形，延长BD至点A，使点D为AB的中点．连接AE，AC，CD，已知AC＝BC． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若还满足AC⊥BC，则四边形ADCE的形状为　 　 ． 21．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，CF＝AE，连接AF （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，CD是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线． （1）若BD＝ED，求证：∠A＝30°； （2）若AD＝4BD＝8，求CD的长． 23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 24．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）过点B作BE⊥AC于点E，若∠ABE：∠CBE＝2：3，求∠OBE的度数． 25．（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．求证：EF＝BE+DF． （2）如图②，当点E，F分别在线段BC和CD的延长线上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A C C C A D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2.5． 12．20． 13．10． 14．． 15．2． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：如图， ∵两个正方形的面积分别是S1＝9，S2＝3， ∴，， ∴， ∴阴影矩形的面积． 17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形． 18．解：（1）根据题意得， 图2矩形的长是，宽是a﹣b， 故答案为：a+b，a﹣b； （2）S1＞S2，理由如下： 由图可知，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2， ∴S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2） ＝a2﹣b2﹣a2+2b2 ＝b2＞0， ∴S1＞S2． 19．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵PE∥BC， ∴， ∴， ∴PE（10﹣2t），AE（10﹣2t） 当PE＝CF时，四边形PECF是矩形， ∴t（10﹣2t）， 解得t． （2）∵当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时， ∴24＝5[8（10﹣2t）] ∴t 20．（1）证明：∵边形BCED是平行四边形， ∴BD＝CE，AB∥CE， ∵点D为AB的中点， ∴BD＝AD， ∴AD＝CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵点D为AB的中点， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：∵AC＝BC，AC⊥BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点D为AB的中点， ∴CD＝AD， ∵四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形， 故答案为：正方形． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥EB，AB＝CD， 又∵CF＝AE， ∴DF＝BE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． （2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB， ∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∵DF＝5， ∴AD＝FD＝5， ∵AE＝CF＝3，DE⊥AB， ∴， ∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20． 22．（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线， 则CEAB＝EB＝AE， ∵BD＝ED，CD⊥EB， ∴CE＝CB， ∴CE＝BE＝CB， ∴△CBE为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°； （2）解：∵4BD＝8， ∴BD＝2， ∴AB＝AD+BD＝10， 由（1）可知：CE＝BEAB＝5， ∴DE＝BE﹣BD＝3， 由勾股定理得：CD4． 23．（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 24．（1）证明：在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形； （2）解：∵∠ABE：∠CBE＝2：3， ∴设∠ABE＝2α，∠CBE＝3α， ∴∠ABE+∠CBE＝5α， ∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°， ∴5α＝90°， 解得：α＝18°， ∴∠ABE＝36，∠CBE＝54°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣54°＝36°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴∠BCE＝∠OBC＝36°， ∴∠OBE＝∠CBE﹣∠OBC＝54°﹣36°＝18°． 25．（1）证明∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠ABG＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∵BG＝DF， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF＝45°， 在△AGE和△AFE中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）解：EF＝BE﹣DF，理由如下： 如图2，在BC上截取BG＝DF，连接AG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADC＝∠ADF＝90°， ∵BG＝DF， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠DAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF＝45°， 在△AGE和△AFE中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$