精品解析：河南省许昌市建安区第三高级中学2024-2025学年八年级下学期小班月考数学试题

2024-2025学年八年级下学期小班数学月考试题 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）仅含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A选项：符合一元二次方程定义，故该选项正确； B选项：x+y=5含有两个未知数，故本选项不符合一元二次方程定义； C选项：是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合一元二次方程定义； D选项：，该方程二次项系数可能为0，故本选项不符合一元二次方程定义， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2． 2. 下列关于抛物线的说法中错误的是（ ） A. 顶点坐标是（1，3） B. 对称轴是直线 C. 开口向下 D. 可由抛物线平移得到 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线，开口方向由的大小判定，，开口向上；反之，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于轴的直线． 【详解】解：，抛物线的顶点坐标是，故选项A说法正确； ，抛物线的对称轴是，故选项B说法正确； ，由抛物线解析式可知，∴开口方向向下，故选项C说法正确； ，抛物线与的值不相等，故抛物线用平移的方法不能得到，故选项D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，需掌握对称轴及顶点坐标的求法．理解二次函数的平移规律． 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 80° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度． 解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处， ∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1， ∴BB1=AB=AB1， ∴△ABB1是等边三角形， ∴∠BAB1=60°， ∴旋转的角度等于60°． 故选B． 4. 某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均变化率公式进行计算即可． 【详解】设平均每次降价的百分率为 第一次降价后的价格为： 第二次降价后的价格为： ∴可列方程 故答案选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程与平均变化率问题．，其中a表示变化前的量，b表示变化后的量，x表示降低率，n表示变化次数． 5. 已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是（　　） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 方程有一个根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．根据图象可得出，得出，对称轴为直线，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据，得出，从而得出；根据抛物线的对称性另一个交点到的距离与到的距离相等，得出另一个根． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴，故A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故B选项错误； ∵， ∴， ∴，故C选项错误； ∵对称轴为直线，一个交点是， ∴另一个交点是， ∴方程另一个根是，故D选项正确． 故选：D． 6. 二次函数y=﹣x2+（12﹣m）x+12，时，当x＞2时，y随x的增大而减小；当x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性确定其对称轴，进而求出的值． 【详解】解：∵二次函数时，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 解得，m=8， 故选B． 【点睛】考查二次函数的性质，当二次函数开口向下时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 7. 如图，矩形的顶点分别在x轴､y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接OC， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2020次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转､规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律并总结规律． 8. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ） A. 4，-1 B. ，-1 C. 4，0 D. ，-1 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）； 若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况: 当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有， 解得：； 综上可得：的最大值和最小值分别是，． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等． 9. 如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（ ） A. ①④⑤ B. ①③④⑤ C. ①③⑤ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据对称轴x=1，确定a，b的关系，然后判定即可； ②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定； ③方程ax2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可； ④根据对称性判断即可； ⑤由图象可得，当1<x<4时，抛物线总在直线的上面，则y2<y1． 【详解】解：①∵对称轴为：x=1， ∴ 则a=-2b,即2a+b=0，故①正确; ∵抛物线开口向下 ∴a＜0 ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0 ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴c＞0 ∴abc<0,故②不正确； ∵抛物线的顶点坐标A（1,3） ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③正确； ∵抛物线对称轴是：x=1，B（4,0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）故④错误； 由图象得：当1<x<4时，有y2<y1；故⑤正确． 故答案为C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像,考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识． 10. 如图，已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，连接 AC，动点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 A→B→C 向点 C 匀速运动，同时点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 A→C→D 向点 D 匀速运动，连接 PQ，当点 P 到达终点 D 时，停止运 动，设△APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则 S 与 t 函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由矩形的性质和勾股定理，得到AC=5，则得到点P的运动时间为秒，则对运动过程进行分类讨论：①当点P从点A运动到点C的过程，即；②点P经过点C之后，点Q到达点B时，即；③点Q经过点B后，点P到达点D停止，即；分别求出S与t的关系，即可得到答案. 【详解】解：由矩形的性质，得∠B=90°，AB=DC=4，AD=BC=3， 由勾股定理，得：， ∴点P运动到点C的时间为：秒； 点P运动到点D的时间为：秒； 点Q运动到点B的时间为：秒； 根据运动的情况，可分成以下三种情况： ①当点P从点A运动到点C的过程，即， 如图，作PE⊥AB于E， ∴，， ∵PE⊥AB，BC⊥AB， ∴△APE∽△ACB， ∴， ∴， ∴△APQ 的面积为：（）； ②点P经过点C之后，点Q到达点B时，即； 如图， ∴△APQ 的面积为：（）； ③点Q经过点B后，点P到达点D停止，即；如图， 此时，，， ∴， ∴△APQ 的面积为：， ∴ （）； ∴S 与 t函数关系的图象大致为A选项中的图像； 故选：A. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，以及二次函数的性质，解题的关键是根据x的取值范围表示出S与x之间的函数关系式． 二、填空题 11. 方程的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知二次函数y=x2+bx+3，其中b为常数，当x≥2时，函数值y随着x的增大而增大，则b的取值范围是______． 【答案】b≥﹣4 【解析】 【详解】试题解析：：∵二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=-，且a=1＞0， ∴当x≥-时，函数值y随着x的增大而增大， ∵当x≥2时，函数值y随着x的增大而增大， ∴-≤2， 解得：b≥-4． 13. 如图，在中，，将绕点A旋转得到，且直线与直线相交于点F．若旋转角为，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到的长，利用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴，抛物线的对称轴为 ∴顶点坐标为，点坐标为 ∵点为线段的中点， ∴点坐标为 设直线解析式为（为常数，且） 将点代入得 ∴ 将点代入得 解得 故答案为2 【点睛】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键. 15. 如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为_____，最小值为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，发现点在以点为圆心、1为半径的圆上和点在以点A为圆心、1为半径的圆上并画出图形是解题的关键． 如图：连接，由勾股定理可得，再根据旋转的性质可得点在以点为圆心，1为半径的圆上；然后再证明可得，点在以点A为圆心，1为半径的圆上．然后画出图形，根据图形求最值即可． 【详解】解：如图：连接， ，， ． 是平面内一点，， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ，， ． 在与中， ， ， ， 点在以点A为圆心，1为半径的圆上． 如图1，当点在线段的延长线上时，最大， ∴，即的最大值为； 如图2，当点在线段上时，有最小值， ∴，即的最小值为． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用直接开平方法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 17. 如图，在边长为1个单位长度的 的小正方形网格中． （1）将向右平移5个单位长度，作出平移后的； （2）请画出，使和关于点O成中心对称； （3）在直线b上画出点 P，使得点P到点A、B的距离之和最短． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 如图，为所作； （3） 如图，点为所作． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作中心对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握平移、中心对称、轴对称的性质是解题的关键． （1）利用网格特点和平移的性质画出、、，再顺次连接即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出、、，再顺次连接即可； （3）先作出点关于直线b的对称点，然后连接交直线b于点，则点满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点B与点关于直线b对称， ∴ ∴ 根据两点之间，线段最短，所以此时点P到点A、B的距离之和最短． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于3，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1) =a2-4a+4 =(a-2)2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）a>4 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：x2-ax+a-1=0， x=， ∴x1=1，x2=a-1， ∵方程有一实数根大于3， ∴a-1>3， 解得a>4， 即a的取值范围为a>4． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根． 19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F． （1）填空：E是线段CD的 　　，点A与点F关于点 　　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　　三角形． （2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积． 【答案】（1）中点，E，等腰 （2）12 【解析】 【分析】（1）先证明△ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可； （2）由△ADE≌△FCE得到△ADE的面积等于△FCE的面积，从而得到答案． 【小问1详解】 解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段CD的中点，DE＝EC， ∵ADBC， ∴∠D＝∠DCF， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE，AD＝CF， ∴点A与点F关于点E成中心对称， ∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC， ∴AB＝BF， 则△ABF是等腰三角形． 故答案为：中点，E，等腰； 【小问2详解】 ∵△ADE≌△FCE， ∴△ADE与△FCE面积相等， ∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积， ∵四边形ABCD的面积为12， ∴△ABF的面积为12． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． 20. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 （1）商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 【答案】（1）15，； （2）当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用． （1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润=（单件利润）×销售量列出函数解析式，再根据时，利用函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 故答案为：15，； 【小问2详解】 解：设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当或38时，w最大，最大值为， ∴当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w取得最大值为3960元， ∴， 解得：． 故答案为：5． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；②石块能飞越防御墙； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于，点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标． （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，）的一个动点，请直接写出点的纵坐标的取值范围为_______． 【答案】（1），点的坐标为； （2）存在，点坐标为，面积的最大值为； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，求得直线的解析式，设点，则点，利用列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由M、N到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，可找到点M、N的横坐标，即可求得点M、N的坐标，再根据点M在点N的左侧分类讨论的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入解析式可得：， 解得， 抛物线的解析式为， ， 的坐标为； 【小问2详解】 解：存在 过点作轴交于点， 令，得， ∴点C的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，则点， 则 ， ， 当时，点坐标为，面积的最大值为； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线的对称轴为， M到对称轴的距离为4个单位， 或， 或， 点N到对称轴的距离为3个单位， 或， 或， 若，， 则， 若，， 则． 综上，点的纵坐标的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标公式以及求二次函数的函数值的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能利用分类讨论的思想解决数学问题． 23. （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 　　； （2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由； （3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为时，直接写出线段BN的长． 【答案】（1）； （2）数量关系不变． 理由：如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC． ， ， ， ∴OC平分∠ACB， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明可得结论． （2）数量关系不变．如图2中，过点O作于K，于J，连接OC．证明可得结论． （3）如图3中，过点P作于G，于H．证明，推出，设，根据，构建方程求解即可．当点M在CB的延长线上时，同法可求． 【详解】解：（1）结论：OM＝ON． 如图1中， 理由：连接OC． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）略 （3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， ∵四边形PGBH是正方形， ， ， ， ， ， ，设， ， ， ∴整理得：， 解得或（舍去）， ． 当点M在CB的延长线上时，同法可得． 综上所述，满足条件的BN的值为或． 【点睛】本题属于旋转综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期小班数学月考试题 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于抛物线的说法中错误的是（ ） A. 顶点坐标是（1，3） B. 对称轴是直线 C. 开口向下 D. 可由抛物线平移得到 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 80° 4. 某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是（　　） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 方程有一个根是 6. 二次函数y=﹣x2+（12﹣m）x+12，时，当x＞2时，y随x的增大而减小；当x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，矩形的顶点分别在x轴､y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ） A. 4，-1 B. ，-1 C. 4，0 D. ，-1 9. 如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（ ） A. ①④⑤ B. ①③④⑤ C. ①③⑤ D. ①②③ 10. 如图，已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，连接 AC，动点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 A→B→C 向点 C 匀速运动，同时点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 A→C→D 向点 D 匀速运动，连接 PQ，当点 P 到达终点 D 时，停止运 动，设△APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则 S 与 t 函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 方程的根为______． 12. 已知二次函数y=x2+bx+3，其中b为常数，当x≥2时，函数值y随着x的增大而增大，则b的取值范围是______． 13. 如图，在中，，将绕点A旋转得到，且直线与直线相交于点F．若旋转角为，则线段的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____． 15. 如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为_____，最小值为_____． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2）． 17. 如图，在边长为1个单位长度的 的小正方形网格中． （1）将向右平移5个单位长度，作出平移后的； （2）请画出，使和关于点O成中心对称； （3）在直线b上画出点 P，使得点P到点A、B的距离之和最短． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于3，求的取值范围． 19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F． （1）填空：E是线段CD的 　　，点A与点F关于点 　　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　　三角形． （2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积． 20. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 （1）商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于，点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标． （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，）的一个动点，请直接写出点的纵坐标的取值范围为_______． 23. （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 　　； （2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由； （3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为时，直接写出线段BN的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $