学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（上海专用，沪教版九上相似三角形+求锐角三角比的值）

11 2025-2026学年九级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题 (本大题共6题，每题4分，共24分) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1 2 3 4 5 6 A A D C B C 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7. 8. 9. 10. 11. 12. 10 13. 14. 15. 9． 16. 17. 18. 或． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分） 【详解】 ······（5分） ······（7分） ······（8分） ······（10分） 20．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的长为2；······（5分） （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为6．······（10分） 21．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ． 故答案为：，······（5分） （2）∵ ∴AF//BC、 ∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE， ∵AD＝3，AF＝2DF， ∴AF＝2， ∴BC＝8， 在Rt△ABF中， BF＝＝2， 又∵， ∴△ABF∽△BCA， ∴∠ABF＝∠BCA， ∴△ABF∽△ECB， ∴， ∴， ∴BE＝．······（10分） 22.(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 【详解】（1）证明：∵， ∴；······（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．······（10分） 23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∴；······（5分） （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ， ∵点为中点， ∴， ∴．······（12分） 24．(本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为；······（4分） （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点， ∴；······（8分） （3）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， 如图所示，当时， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 如图所示，当时， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在第三象限， ∴， ∴； 综上所述，的值为或．······（12分） 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，；······（4分） （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵折叠，且在射线上， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，如图所示， ∴的长为5或；······（9分） （3）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴与相似时，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴．······（14分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年上学期第一次月考卷 九年级数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：每小题4分，共48分。 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 17．____________________ 18．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年上学期第一次月考卷 九年级数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4分，共 24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：每小题 4分，共 48分。 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 17．____________________ 18．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：共 78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分） 20．（10分） 21．（10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24章~25.2（相似三角形+求锐角三角比的值）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知在 中, , 那么 的长为（   ） A． B． C． D． 3．如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（   ） A． B． C． D． 4．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 5．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．若，且，那么 ． 8．在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是 ． 9．已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 10．已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 11．如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值为____________． 12．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 13．两直角边之比为，如果与相似，最短边长为20，那么的斜边长为 ． 14．已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是 ． 15．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 16．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝ ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：. 20．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 如图，已知，与相交于点O． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 21．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝． (1)设＝，＝，用向量、表示向量＝　 　，＝　 　． (2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长． 22.(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)如果，，求的值． 23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，求证：． 24．(本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分) 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 如图，在直角梯形中，，点E为边上任意一点（点E与点B不重合），点F在射线上，且，与相交于点G． (1)如果，求边的长； (2)将沿直线翻折，如果点C的对应点M恰好落在射线上，求的长； (3)在（1）条件下，连接．如果与相似，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24章~25.2（相似三角形+求锐角三角比的值）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴A、，正确，符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意； 故选：A ． 2．已知在 中, , 那么 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知， ∵， ∴BC=． 故选：A． 3．如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为 故选D 4．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选项A，B，D不符合题意； 不一定相等，故选项C符合题意； 故选C． 5．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 6．如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，，四边形是四边形，， ，，， ，，，． 故选：C． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．若，且，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是 ． 【答案】 【详解】解：设A、B两地实际距离为， 依题意得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 9．已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【详解】解：依题意，厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：． 10．已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 【答案】 【详解】解：点是线段的黄金分割点（），如果， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值为____________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点 ∵ ∴ ∵，，， ∴ ∵， ∴ 故填：． 12．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 13．两直角边之比为，如果与相似，最短边长为20，那么的斜边长为 ． 【答案】 【详解】解：两直角边之比为，与相似， 是直角三角形，且两直角边之比为， 设一条直角边为，则另一条直角边为， 由勾股定理得斜边为：， ∵最短边长为20， ∴， 解得：， 的斜边长为， 故答案为：． 14．已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过重心点作，交于点，过点作，交于点， ∵点是的重心， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以，点到斜边的距离是， 故答案为：． 15．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 【答案】9 【详解】过点E作，交于点F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：9． 16．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得，经检验是分式方程的解， 边上的高的长是， 故答案为：． 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝ ． 【答案】或． 【详解】解：①如图，作DF⊥AB于F，连接AA′ 在Rt△ACB中，BC6， ∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°， ∴△AFD∽△ACB， ∴， ∴， ∴DF，AF， ∵A′E⊥AB， ∴∠AEA′＝90°， 由翻折不变性可知：∠AED＝45°， ∴EF＝DF， ∴AE＝A′E， ∴AA′； ②如图，作DF⊥AB于F，当 EA′⊥AB时 同①的方法可得AE，AA′AE． 故答案为或． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：. 【详解】 ······（5分） ······（7分） ······（8分） ······（10分） 20．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 如图，已知，与相交于点O． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的长为2；······（5分） （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为6．······（10分） 21．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝． (1)设＝，＝，用向量、表示向量＝　 　，＝　 　． (2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ． 故答案为：，······（5分） （2）∵ ∴AF//BC、 ∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE， ∵AD＝3，AF＝2DF， ∴AF＝2， ∴BC＝8， 在Rt△ABF中， BF＝＝2， 又∵， ∴△ABF∽△BCA， ∴∠ABF＝∠BCA， ∴△ABF∽△ECB， ∴， ∴， ∴BE＝．······（10分） 22.(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴；······（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．······（10分） 23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∴；······（5分） （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ， ∵点为中点， ∴， ∴．······（12分） 24．(本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分) 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为；······（4分） （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点， ∴；······（8分） （3）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， 如图所示，当时， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 如图所示，当时， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在第三象限， ∴， ∴； 综上所述，的值为或．······（12分） 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 如图，在直角梯形中，，点E为边上任意一点（点E与点B不重合），点F在射线上，且，与相交于点G． (1)如果，求边的长； (2)将沿直线翻折，如果点C的对应点M恰好落在射线上，求的长； (3)在（1）条件下，连接．如果与相似，求的长． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，；······（4分） （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵折叠，且在射线上， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，如图所示， ∴的长为5或；······（9分） （3）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴与相似时，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴．······（14分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24章~25.2（相似三角形+求锐角三角比的值）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知在 中, , 那么 的长为（   ） A． B． C． D． 3．如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（   ） A． B． C． D． 4．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 5．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．若，且，那么 ． 8．在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是 ． 9．已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 10．已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 11．如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值为____________． 12．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 13．两直角边之比为，如果与相似，最短边长为20，那么的斜边长为 ． 14．已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是 ． 15．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 16．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝ ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：. 20．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 如图，已知，与相交于点O． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 21．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝． (1)设＝，＝，用向量、表示向量＝　 　，＝　 　． (2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长． 22.(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)如果，，求的值． 23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，求证：． 24．(本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分) 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 如图，在直角梯形中，，点E为边上任意一点（点E与点B不重合），点F在射线上，且，与相交于点G． (1)如果，求边的长； (2)将沿直线翻折，如果点C的对应点M恰好落在射线上，求的长； (3)在（1）条件下，连接．如果与相似，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年九级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题(本大题共 12题，每题 4分，共 48分) 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 一、选择题 (本大题共 6题，每题 4分，共 24分) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 7题，共 78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！