精品解析：2025年浙江省杭州市开元中学中考数学模拟预测题（一）

2025年浙江省杭州市中考模拟试题 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）. A. B. C. D. 4. 将59800000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为： A. 米 B. 米 C. 3 米 D. 米 9. 若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是(　　　) A. 18 B. 50 C. 12 D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 不等式组的解集是__________． 14. 如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则_______． 15. 一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_____cm2． 16. 如图，切于点A，交于点，点在上，，则的度数是__________． 17. 一组有规律的图案如图所示，第①个图案有4个五角星，第②个图案有7个五角星，第③个图案有10个五角星，……，第⑥个图案有_________个五角星． 18. 在中，点E在直线AD上，，连接BE、AC，BE与对角线AC交于M，则的值是_________． 19. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 20. 如图，在中，，E为的中点，D在上，，，，则线段的长为_________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由个边长为的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． （1）在图中，画出四边形，满足对角线平分，直接写出四边形的面积； （2）在图2中，画出的中线． 23. 随着中考的时间越来越近，学生的压力也越来越大．某校为了解本校九年级学生的压力情况，设计了一份调查问卷，对该校所有九年级的学生进行调查，并随机抽取部分调查结果，通过分析可将本校九年级学生的压力情况归纳为A（非常大），B（比较大），C（正常），D（没有压力）四种类型．具体分析数据如下统计图： （1）本次抽查的学生总人数为__________，在扇形统计图中，__________°． （2）请把条形统计图补充完整． （3）若感觉压力非常大的同学中有两名女同学，三名男同学，从中随机抽取两名同学进行心理疏导，求抽到的两名同学恰好是一男一女的概率． 24. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，AC平分，． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条与线段AG相等的线段（线段AG除外）． 25. 我省的冰雪旅游已进入爆发式增长，某旅游商品经销店欲购进A，B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． (1)求A，B两种纪念品的进价分别为多少? (2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A，B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于257元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 26. 为的直径，点C、D为上的点，交于P，． （1）如图1，求证：C为的中点； （2）如图2，于E，交于G，连接并延长交于F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的面积． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． （1）如图1，求直线BC的解析式； （2）如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省杭州市中考模拟试题 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.该选项图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B. 该选项图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项图形，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图形，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】左视图是从左面观察几何体，据此即可判断. 【详解】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形， 故选B． 【点睛】本题主要考查几何题的三视图，准确理解三视图是的含义是解题的关键. 4. 将59800000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可得最简公分母为，去分母化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，去分母得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，解题思路是按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解，最后进行检验． 7. 已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8. 如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为： A. 米 B. 米 C. 3 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形． ∵cos45°=， ∴AO＝； 而cos60°=， ∴BO=． ∴AB=AO+BO=+=． 故选A． 【点睛】由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形，我们所要求的AO、BO都是已知角45°、60°的邻边，所以可根据余弦定义解题．首先求出AO，BO，然后求出AB．此题主要考查余弦定义，在本题中用了两次余弦定义. 9. 若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， 即：， 当时，， 即：，∴， ∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大， 综上所述，A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键 10. 如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是(　　　) A. 18 B. 50 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，得到△OAE∽△OCF，设点A（m，n），求出AB和BC，利用矩形ABCD的面积为8求出mn，即k值. 【详解】解：过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F， ∴AE∥CF， ∴△OAE∽△OCF， ∵OC：OA=5：3， ∴OF：OE=CF：AE=5：3， 设点A（m，n），则mn=k， ∴OE=m，AE=n， ∴OF=，CF=， ∴AB=OF-OE=，BC=CF-AE=， ∵矩形ABCD的面积为8， ∴AB·BC=×=8， ∴mn=18=k， 故选A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出线段的长. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】函数是分式形式时，分式的分母是不能为0的，所以x＋2≠0，即可求得x的取值范围． 【详解】由题意可知：x＋2≠0， 解得：x≠−2； 所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠−2． 故答案为：x≠−2 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围.（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0. 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 直接提取公因，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 故答案为：． 13. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即为不等式组的解集. 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定两个不等式解集的公共部分是解题的关键. 14. 如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则_______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查三角板中得角度计算，几何题中得角度计算等．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_____cm2． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】设扇形的半径为Rcm， ∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm， ∴=3π， 解得：R=4， 所以此扇形的面积为=6π（cm2）， 故答案为6π． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键． 16. 如图，切于点A，交于点，点在上，，则的度数是__________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】连接OA．根据切线的性质可知，从而可求出．再根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】如图，连接OA． ∵切于点A， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键． 17. 一组有规律的图案如图所示，第①个图案有4个五角星，第②个图案有7个五角星，第③个图案有10个五角星，……，第⑥个图案有_________个五角星． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 根据第①个图案有4个五角星，第②个图案有个五角星，第③个图案有个五角星，依次类推，可得数字变化的规律，进而解答即可． 【详解】解：第①个图案有4个五角星； 第②个图案有个五角星； 第③个图案有个五角星； ， 依次类推， 第⑥个图案有个五角星. 故答案为：19． 18. 在中，点E在直线AD上，，连接BE、AC，BE与对角线AC交于M，则的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答的关键是分情况讨论，作出图形更形象直观． 分点E在线段上和不在线段上两种情况，利用相似三角形对应边成比例求出，然后求解即可． 【详解】解：如图，点E在线段上时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴； 点E不在线段上时， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 19. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 20. 如图，在中，，E为的中点，D在上，，，，则线段的长为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形和利用三角函数建立等式求解． 首先设，得出，延长、交于，推出．然后作辅助线、，证明和，得到．接着设，，利用角的关系和勾股定理得出，再结合三角函数求出的值，最终算出的长． 【详解】解：设．则．延长交于M． ， ， 过C作于点H，过A作，交延长线于点I． ． ，， ． ． ， ． ． 设，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ． 解得或（舍）． ． ，． ． ． 在中，， ． 在中，． ． ， ． ， 在中，． ． ． ． 故答案为：15． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先用分式的四则混合运算法则化简，再根据特殊角的三角函数值求出x，然后把x的值代入化简后的最简分式中求解； 【详解】解：原式 ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的法则，属于中考常考题型 22. 如图是由个边长为的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． （1）在图中，画出四边形，满足对角线平分，直接写出四边形的面积； （2）在图2中，画出的中线． 【答案】（1） 四边形即为所求， 四边形的面积为 （2） 如图即为所求， 【解析】 【分析】（1）取格点，连接、、； （2）根据矩形的性质作图即可； 本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例，解题关键是理解题意，运用所学知识解题． 【小问1详解】 解：四边形即为所求， ∵， ， ∴四边形是菱形，， 是直角三角形，对角线平分， ； 【小问2详解】 解：如图即为所求， 由网格可作矩形，根据矩形的对角线互相平分，为中点，连接，则为的中线． 23. 随着中考的时间越来越近，学生的压力也越来越大．某校为了解本校九年级学生的压力情况，设计了一份调查问卷，对该校所有九年级的学生进行调查，并随机抽取部分调查结果，通过分析可将本校九年级学生的压力情况归纳为A（非常大），B（比较大），C（正常），D（没有压力）四种类型．具体分析数据如下统计图： （1）本次抽查的学生总人数为__________，在扇形统计图中，__________°． （2）请把条形统计图补充完整． （3）若感觉压力非常大的同学中有两名女同学，三名男同学，从中随机抽取两名同学进行心理疏导，求抽到的两名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50；108 （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，根据扇形统计图的意义解答即可． （2）利用频数之和等于样本容量计算即可． （3）利用画树状图计算即可． 【小问1详解】 本次抽样调查的样本容量是， 故答案为：． 参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为； 故答案为：． 【小问2详解】 B（比较大）的人数为（人）. 补全条形统计图略； 【小问3详解】 设三个女生分别为，两个男生分别为，画树状图如下： ∴恰好取到一男和一女的概率是． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． 24. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，AC平分，． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条与线段AG相等的线段（线段AG除外）． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）AE，ED，EC，FC 【解析】 【分析】（1）根据先证明，推出，易证四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义结合，推出，推出，即可证明； （2）根据，结合四边形是菱形，推出，易证都是等边三角形，得到，再根据，利用等腰三角形三线合一，可推出是的垂直平分线，得到，，利用菱形的性质得到，，求出，结合，易证是等腰直角三角形，推出，再利用三角形内角和定理求出，进而求出，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：，四边形是菱形， ， 都是等边三角形， ， ， 是的垂直平分线，是的角平分线， ，， 四边形是菱形， ，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 25. 我省的冰雪旅游已进入爆发式增长，某旅游商品经销店欲购进A，B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． (1)求A，B两种纪念品的进价分别为多少? (2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A，B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于257元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 【答案】（1）A､B两种纪念品的进价分别为20元，30元；（2）该经销店最多可购进A种纪念品21件． 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品的进价为x元、B种纪念品的进价为y元，件数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解方程组即可． （2）获利=利润×件数，设购买A商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，由A商品利润+B商品利润≥257可得到一个不等式，解不等式即可． 【详解】解：(1)设A､B两种纪念品的进价分别为x元､y元． 由题意得 解得 答:A､B两种纪念品的进价分别为20元､30元． (2)设该经销店购进A种纪念品a件,则购进B种纪念品件, 由题意,得 解 答:该经销店最多可购进A种纪念品21件． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，及一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组的应用，及一元一次不等式的应用，利用了总获利=A利润×A件数+B利润×B件数构造不等式，利用件数×进价=付款，列二元一次方程组是解题关键． 26. 为的直径，点C、D为上的点，交于P，． （1）如图1，求证：C为的中点； （2）如图2，于E，交于G，连接并延长交于F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接． ， ． ． ． 为中点； （2） 证明：， ． ． 由（1）知． ． ． ， ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，则，再由弧与圆心角的关系即可证明； （2）证明即可； （3）设,过P作于H，交于M，证明，则，由求出 ，可求．过F作于点T，则由，，再由勾股定理及三角形面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ． 设． ．过P作于H，交于M． ． ， ． ． , ， ． , ． ， ． ． 或（舍去）． ． ． 过F作于点T． ． ，． ． ． ． ． ． ． 即的面积为． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． （1）如图1，求直线BC的解析式； （2）如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于一次函数与几何综合问题，主要考查了一次函数的性质、旋转模型、特殊角的三角函数值等知识，构造合适的辅助线成为解答本题的关键． （1）先根据题意表示出点C和点B的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）过D作交AB于M，可得出，建立等式，即可求出的值； （3）过E作于点I，可得可求出，即可得到．设交于点R，过R作于N，根据三角函数可得，过H作轴于点K．再利用相似求出点H的坐标． 【小问1详解】 解：令，则． ． 当时，． ． ， ． ． 设直线BC的解析式为． 由题意，得 ∴直线BC的解析式为． 【小问2详解】 过D作交AB于M． ， ． ． ． 即 ， ． ． ． ．即． ， ．即． 【小问3详解】 ． ． ． ． ． ． 过E作于点I．则． ． ．即． ． ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 设交于点R，过R作于N，则 ． ． 设． ． ． ． ． ．在中， ． ． 过H作轴于点K． ． ． ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $