精品解析：四川省达州市大竹县庙坝中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学测试题

四川省达州市大竹县庙坝中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学测试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 4. a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（ ） A. a2b（a2﹣6a+9） B. a2b（a﹣3）（a+3） C. b（a2﹣3）2 D. a2b（a﹣3）2 5. 某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将平行四边形绕点C顺时针旋转一定角度后，得到平行四边形，若与在同一条直线上，点D在上，则旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象经过点、，正比例函数的图象过点，的解集为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_______ 10. 若关于x的不等式的解集如图所示，则______． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B．则点B的坐标是________． 12. 已知，一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围是______． 13. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，2），B（﹣4，5），C（﹣3，3）． （1）画出△ABC． （2）画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称； （3）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A2B2C2，请画出平移后的△A2B2C2． 16. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将x轴所在直线绕点A顺时针旋转交y轴于点B，再将线段绕点A顺时针旋转得到线段． （1）求直线的表达式； （2）若点Q为平面直角坐标系内一点，且满足四边形为平行四边形，求点Q的坐标． 18. 在中，，点D是线段上的动点，交于点E，分别交射线、射线于点F、G，连结． （1）如图1，若点G恰好平分，判断四边形的形状并证明； （2）如图2，设的长为x，的面积为y，求出y关于x的函数关系式； （3）当时，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知：，则______． 20. 如图，在中，，，，则的度数为______． 21. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为_____． 22. 如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 __________． 23. 如图，在中，，E是的中点，平分，，连接，．若，则的周长为 _________ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等． （1）求每个足球和每个篮球的价格； （2）学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为． （1）求点D的坐标； （2）直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 平行四边形中，连接，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）求的面积； （2）如图1，连接，点是的中点，求的长； （3）如图2，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县庙坝中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学测试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原变形错误； B、∵， ∴，原变形错误； C、∵， ∴，原变形错误； D、∵， ∴，原变形正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； 故选：D． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件；根据分式的值为0即分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：． 故选：A． 4. a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（ ） A. a2b（a2﹣6a+9） B. a2b（a﹣3）（a+3） C. b（a2﹣3）2 D. a2b（a﹣3）2 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式a2b，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2． 故选D． 5. 某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】加工600个零件，新工艺前加工时间为；新工艺加工时间为，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：加工600个零件，新工艺前加工时间为；新工艺加工时间为， 根据题意得． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键在于读懂题意并根据题中所给的条件列出正确的方程． 6. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，运用勾股定理得到，运用勾股定理求得即可． 【详解】∵平行四边形，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 7. 如图，将平行四边形绕点C顺时针旋转一定角度后，得到平行四边形，若与在同一条直线上，点D在上，则旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质等，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由旋转的性质得到，，可推出，再由平行四边形的性质推出，从而证出，结合三角形内角和定理即可得到，从而得到答案． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即旋转的角度为， 故选：D． 8. 如图，一次函数的图象经过点、，正比例函数的图象过点，的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式可变形为，然后结合图象写出答案即可． 【详解】解：不等式可变形为， 两函数的图象都经过点A， 的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，将不等式变形是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_______ 【答案】9 【解析】 【分析】设多边形的边数为n，先根据多边形的内角和求出多边形的边数，再根据周长即可求出边长． 【详解】设多边形的边数为n，由题意得 (n－2)·180°=900° 解得n=7， 则它的边长是63÷7=9． 故答案为：9 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，解答的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：(n－2)·180°． 10. 若关于x的不等式的解集如图所示，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集，以及解集的数轴表示，先解不等式得，然后根据数轴得该不等式的解集为，然后得到求解即可． 【详解】解：解不等式得， 由数轴得不等式的解集为， ∴，解得， 故答案为：7． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B．则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知“右移加，左移减，上移加，下移减”是解题的关键．利用点平移的坐标规律，点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B的坐标． 【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 12. 已知，一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，由一次函数中，值随值的增大而减少，可得，进而即可求解． 【详解】解：一次函数中，值随值的增大而减少， ， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可知用MN垂直平分AC，则EA=EC，利用等线段代换得到△BCE的周长=AB+BC，然后根据平行四边形的性质AD＝BC可确定答案． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， 由题可知，MN是AC的垂直平分线， ∴CE=AE， ∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AB=14， ∵BC=AD=6， ∴CD=AB=14−6=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质，做题的关键是证明EA=EC，将△CDE的周长转化为AB+BC． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1）;（2），2 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，解得x的值，再进行检验即可 （2）先根据分式的混合运算化简，然后求得不等式的整数解，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：（1） 方程变形为：， 方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：把代入， 是方程的解， 原方程的解是； （2） , 又， 由①解得: ， 由②解得: ， 不等式组的解集为， 其整数解为， 当时，原式． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，2），B（﹣4，5），C（﹣3，3）． （1）画出△ABC． （2）画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称； （3）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A2B2C2，请画出平移后的△A2B2C2． 【答案】 解：（1）如图，△ABC为所作； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）如图，△A2B2C2为所作． 【解析】 【分析】（1）描点、连线即可； （2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （3）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【答案】 （1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC． 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF． ∴AF=BC． ∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA， ∴△AFE≌△BCA（HL）． ∴AC=EF． （2）证明：∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD． ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°． ∴EF//AD． ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD． ∴四边形ADFE是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，可得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF． （2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF//AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将x轴所在直线绕点A顺时针旋转交y轴于点B，再将线段绕点A顺时针旋转得到线段． （1）求直线的表达式； （2）若点Q为平面直角坐标系内一点，且满足四边形为平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 轴绕点顺时针旋转交轴于点， ， ∴， 点， ， ，， ， 点绕点顺时针旋转得到点， ，， 过点作轴于点， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ； 【小问2详解】 设， 四边形为平行四边形， 、为平行四边形的对角线， 的中点，的中点， ，， ，， ． 【点睛】本题考查一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 在中，，点D是线段上的动点，交于点E，分别交射线、射线于点F、G，连结． （1）如图1，若点G恰好平分，判断四边形的形状并证明； （2）如图2，设的长为x，的面积为y，求出y关于x的函数关系式； （3）当时，求的长． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， 证明：∵点G恰好平分， ∵ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2） （3）的长为或2 【解析】 【分析】（1）由证明可得即可证明四边形是平行四边形； （2）表示出，，根据面积公式即可求解； （3）分两种情况：当点F在线段的延长线上时；当点F在线段上时，过点D作，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∵ ，， ∴ ； 【小问3详解】 当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴为等腰梯形 ∵ ∵ 由（2）可知，当时， 解得： ； 当点F在线段上时，过点D作 ∵ ∵ ∴四边形为平行四边形 ，解得 综上：的长为或2； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30度角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、三角形面积的计算、分类讨论等知识：本题综合性强，熟练掌握含30度角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知：，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】将已知变形为，代入所求式子，计算可得结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了完全平方公式和整式的加减，熟练掌握完全平方公式是关键． 20. 如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形等边对等角的性质，设出相关角，再结合三角形内角和定理，通过角度之间的关系求出的度数．本题主要考查等腰三角形的性质（等边对等角）以及三角形内角和定理，熟练掌握利用设未知数，结合角度关系求解角的度数是解题的关键． 【详解】解：设，． ， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即 ， 又 ， 故答案为： ． 21. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，， 解得， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为，它们的和是， 故答案为：． 22. 如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，，，在中，应用勾股定理，列出一元二次方程，求解即可，本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，解题的关键是：根据一次函数图象上点的坐标表示出线段长． 【详解】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点， 直线是两坐标轴夹角的角平分线， 点与点关于直线成轴对称， ， ， 将点代入， ， 点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， 则，， 四边形是平行四边形， ， 轴，， 在中，，即：， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 23. 如图，在中，，E是的中点，平分，，连接，．若，则的周长为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点G，可证明，得，，由，，，得，则，求得，则，，所以， ，则的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点G， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等． （1）求每个足球和每个篮球的价格； （2）学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？ 【答案】（1）每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元 （2）最多购买足球个，资金总额最少为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和分式方程的应用，熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据题意列关于的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为元，写出关于的函数，根据该函数的增减性，确定当取何值时取最小值，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的根，且满足题意， ， ∴每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元； 【小问2详解】 解：设购买足球个，则购买篮球个， 根据题意，得， 解得， 设花费的资金总额为元，则， ， 随的增大而减小， 且为整数， 当时，取最小值，， 要想花费的资金总额最少，则最多购买足球个，资金总额最少为元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为． （1）求点D的坐标； （2）直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、平行四边形的性质与中点公式， 有题意求得点A、B的坐标分别为∶、，结合点C的坐标求得，平行四边形的性质得，即可求得点D； 有题意得，设点，利用面积公式，解得，设直线l的表达式为∶ ，将点代入上解得即可； 设点、点，当为对角线时，由中点坐标公式得∶，求得x，当或为对角线时，同理可得∶或，求得对应的x即可； 【小问1详解】 解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B， 则点A、B的坐标分别为∶、， ∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 即点； 【小问2详解】 解：∵点M是的中点， ∴则点， 则， 设点， 则的面积，解得∶， 则点， 设直线l的表达式为∶ ， 将点的坐标代入上式得∶ ，解得， 则直线l的表达式为∶ ； 【小问3详解】 存在，理由∶ 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式得∶，即， 则点； 当或为对角线时，同理可得∶或，则， 即点或， 综上，点P的坐标为∶ 或或； 26. 平行四边形中，连接，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）求的面积； （2）如图1，连接，点是的中点，求的长； （3）如图2，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； 【小问3详解】 解：如图，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合，连接， ∴,,,， ∴共线， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $