精品解析：2025年甘肃省张掖市肃南县祁丰学校中考一模数学试卷

第一次模拟考试数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 9. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在实数范围内因式分解：________ 12. 已知代数式，则代数式的值是_____． 13. 二次根式有意义，则的取值范围是__________ 14. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______ 15. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点在的边上． （1）使用直尺和圆规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： 作的平分线： 作线段的垂直平分线，与的平分线交于点： 连接并延长交于点． （2）若，，，求的长． 21. 为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是________； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22. 如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点，底座BC的长为米斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点H在支架上，篮板部支架，于点，支架与所成的角． （1）求竖直支架的长度； （2）求篮板底部点到地面的距离（结果保留位小数）．（参考数据：，，） 四、解答题：（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1和2所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为__________，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占__________％，所对应的圆心角度数是__________； （3）若该校七年级一共有1200名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 24. 一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围． 25. 如图，为上一点，点在直径的延长线上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 26. 如图1为正方形和正方形，连接． （1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； （2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 27. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次模拟考试数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方等基本法则．根据并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C正确． 选项D：，故D错误． 故选：C． 5. 一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主看列找最大，可知，主视图有3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个，第3列有3个，据此进行判断即可． 【详解】解：从正面看到的这个几何体的形状图是 故选C． 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出． 【详解】解：如图： ，， ， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键． 7. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先由，得到函数的两个分支分别位于二、四象限，再由得到位于第四象限，位于第二象限，即可得出答案，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴函数的两个分支分别位于二、四象限， ∵， ∴位于第四象限，位于第二象限， ∴， 故选：B． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 9. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由是等腰三角形，，则，即，分和两种情形，分别根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质求解即可．正确分类是解题的关键 【详解】解：∵和相似， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，即， ∴， ②当时，， ∴， 故选：C． 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在实数范围内因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，平方差公式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再用平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知代数式，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 二次根式有意义，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 14. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______ 【答案】##13厘米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故答案为． 15. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】在中求得的长，根据菱形面积公式求得的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、菱形的性质及面积公式、勾股定理，根据直角三角形的性质求得的长是解题的关键． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则，分别计算每一部分，再进行加减计算即可． 【详解】解： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，根据分式的四则混合运算法则化简，然后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图，点在的边上． （1）使用直尺和圆规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： 作的平分线： 作线段的垂直平分线，与的平分线交于点： 连接并延长交于点． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线和线段垂直平分线的作法，按要求作图即可； （2）由角平分线的定义和线段垂直平分线的性质，结合已知，可得，用勾股定理解三角形即可． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，与，相交，分别以交点为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，过点与该交点作射线，则为的平分线；分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两个交点作直线，即为线段的垂直平分线，交于点，连接并延长，交于点． 【小问2详解】 解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 答：的长为． 【点睛】本题考查作角平分线，作线段垂直平分线，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，勾股定理，解题的关键是熟练掌握作图原理． 21. 为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是________； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2）小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 【解析】 【分析】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． 【小问1详解】 解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 小明 小亮 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 22. 如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点，底座BC的长为米斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点H在支架上，篮板部支架，于点，支架与所成的角． （1）求竖直支架的长度； （2）求篮板底部点到地面的距离（结果保留位小数）．（参考数据：，，） 【答案】（1）竖直支架的长度为米； （2）篮板底部点到地面的距离为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据题意作辅助线构造直角三角形． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点，过点作，垂足为，先在中利用三角函数求出，即可求出，证明四边形为矩形，得出，利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得（米） 答：竖直支架的长度为米． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，过点作，垂足为， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴（米）， 答：篮板底部点到地面的距离为米． 四、解答题：（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1和2所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为__________，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占__________％，所对应的圆心角度数是__________； （3）若该校七年级一共有1200名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 【答案】（1）50， 条形统计图，如图所示， （2）10， （3）估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有720人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，熟知条形统计图和扇形统计图的特征及如何利用样本估测总体是解题的关键． （1）根据所抽取的样本内选择“无人机”的人数及所占百分比即可解决问题； （2）根据（1）中计算的结果即可解决问题； （3）先求出样本内选择“创客”和“人工智能”课程的学生所占比例，再结合全校的七年级人数即可解决问题． 【小问1详解】 解：（1）由题知，问卷调查的学生中选择“无人机”课程的学生人数为15，且所占百分比为， 所以（名）， 即问卷调查的学生人数为50名， ∴选择“人工智能”课程的学生人数为：（名）， 【小问2详解】 ， ， 即选择“航模”课程的学生占，所对应的圆心角度数为． 故答案为：10，； 【小问3详解】 人， 人， 选择“创客”和“人工智能”课程的学生有人 24. 一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2）12 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用： （1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出，再根据三角形的面积公式求出即可； （3）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得：， ∴点， 把点，点代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点，轴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或． 25. 如图，为上一点，点在直径的延长线上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 直线与相切，理由： 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）连接，可得，由直径所对的圆周角为直角，等量代换，可得，即可证得与相切． （2）由正切值可得，根据三角形相似的判定与性质，结合已知，可得线段的长度，从而可得的长度，进而可得的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对圆周角是直角，等边对等角，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关的判定与性质定理． 26. 如图1为正方形和正方形，连接． （1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； （2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【答案】（1） ，，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2） ，，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形证明，得到，； （2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，，； （3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 27. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）四边形的最大面积为，点的坐标为； （3）在抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法进行求解即可； （2）首先得点，待定系数法得直线的解析式，过点作于，设，，利用面积公式计算即可； （3）设出点P坐标，分别表示出、、，进而利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线为， ∴对称轴为， ∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴， 当时，， ∴,， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作于点， 设，，点到的距离为， ∴，， ∴， ， ∴， ∴当时，取得最大值， 此时，， ∴， 答：四边形的最大面积为，点的坐标为． 【小问3详解】 解：在抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形， 设，则，，， 当时，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， 当时，则， ∴， 解得，， ∴， 当，则， ∴， 解得，，不合题意， ∴这种情况不存在， 答：在抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，解题的关键是会利用待定系数法求函数的解析式，理解坐标与图形性质，灵活应用三角形的面积公式，学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $