精品解析：甘肃省张掖市山丹县大马营中学2025年中考三模数学试卷

2025年初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数（k为常数，）的图象一定经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第三、四象限 C. 第二、三象限 D. 第一、四象限 7. 如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：x2﹣x=______． 10. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 11. 如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____． 12. 反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 13. 如图，在与中，，B，C，E三点在同一条直线上，且，连接，P，Q分别是，的中点，连接，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在内求作一点P，使点P到边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，线段，互相平分，交点为O，连接．求证：． 19. 校园农场有一块菜地，平均分成四个小方块，分别标记为1号、2号、3号、4号．实践小组想通过抽取卡片的方式确定西红柿种植到哪个地块，为此，组长准备了4张小卡片，小卡片正面分别写有1号、2号、3号、4号，4张小卡片除正面外其余完全相同，将小卡片背面朝上，洗匀． （1）若西红柿需要种植到一个小方块中，甲同学随机抽取卡片一次，则抽中1号地块的概率是______． （2）若西红柿需要种植到两个小方块中，乙同学负责抽取卡片两次，他先随机抽取卡片一张，不放回，再随机抽取卡片一张，请利用画树状图或列表的方法，求正好抽中1号、2号地块的概率． 20. 随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 21. 如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 22. 某同学家购买了一款加湿器，随着加湿器的运作，房间湿度随之发生变化．房间湿度为，其中y与运作时间t（单位：h）呈现一次函数关系．若加湿器在运作前，房间湿度为（房间初始湿度为），经过1小时40分钟后，房间湿度为． （1）求y与t之间的函数关系式． （2）加湿器一直在运作中，问再经过多长时间，房间湿度达到？ 23. 赤霉素是一类重要的植物激素，广泛参与种子萌发、茎的伸长及开花调控等过程．为探究赤霉素对水稻幼苗茎伸长的促进作用，某生物兴趣小组将若干株长势相近的水稻幼苗随机分为实验组与对照组．实验组用赤霉素溶液处理，对照组用等量蒸馏水处理，培养条件保持恒温、12小时光照/12小时黑暗循环．3天后测量茎的伸长量，记录并绘制成如下统计图．实验组数据（单位：）整理如下： 18（2株）、20（3株）、22（5株）、24（7株）、26（3株）． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）实验组水稻幼苗茎伸长量（单位：）的众数是______，中位数是______． （2）求实验组茎伸长量的平均值． （3）若用相同方法处理500株同品种水稻幼苗，估计茎伸长量至少达到的植株数量． 24. 如图，为的外接圆，，D为上一点，过点D作的切线，与的延长线交于点E，． （1）连接，求证：平分． （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴负半轴交于点C，且． （1）求抛物线L的表达式． （2）设抛物线L的顶点坐标为D，E为抛物线L上一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接．若，求点E的坐标． 26. 问题提出 （1）如图1，在四边形中，，M为的中点，猜想与四边形的面积关系，并说明理由． 问题解决 （2）如图2，现有一块半径为的圆形材料，工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形．四边形需要满足，且面积最大．请探究四边形面积最大的实施方案，并求出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：它的主视图是， 故选A． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方．利用幂的乘方和积的乘方法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故选：D． 4. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 5. 如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，，进而推出，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， 则有， ∵， ∴， ∵将直角三角形沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 6. 一次函数（k为常数，）的图象一定经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第三、四象限 C. 第二、三象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一次函数的图象的性质，根据题意得到一次函数图象与y轴交点坐标为，进而求解即可． 【详解】解：当时，，即图象与y轴交点坐标为 ∴一次函数（k为常数，）的图象一定经过第三、四象限． 故选：B． 7. 如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，然后在和中，利用勾股定理可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 8. 将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为：，再根据平移后的抛物线与抛物线重合，得出，求出结果即可． 【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：x2﹣x=______． 【答案】x（x﹣1） 【解析】 【详解】分析：提取公因式x即可． 详解：x2−x＝x（x−1）． 故答案为x（x−1）． 点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 10. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 11. 如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____． 【答案】15° 【解析】 【详解】分析：根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可． 详解：∵OA=OB，OA=AB， ∴OA=OB=AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥OB， ∴∠COB=90°， ∴∠COA=90°-60°=30°， ∴∠ABC=15°， 故答案为15° 点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 12. 反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 13. 如图，在与中，，B，C，E三点在同一条直线上，且，连接，P，Q分别是，的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、三角形中位线定理、勾股定理，解直角三角形得出，从而可得，，连接，取的中点，连接，．由中位线定理可得，，，，证明为直角三角形，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 如图：连接，取的中点，连接，． ， ∵P，Q分别是，的中点，是的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算以及零次幂，根据实数的性质以及任何非零数的零次幂为1求解即可． 【详解】解：原式． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 当时，原式． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在内求作一点P，使点P到边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的构造方法以及尺规作图的基本技巧．解题的关键在于利用角平分线的性质确定点P的位置，并通过构造角来验证点P的正确性．首先画角平分线，再过点A画的垂线，两线交于点P，则P点就是所要求作的点． 【详解】略 18. 如图，在中，，线段，互相平分，交点为O，连接．求证：． 【答案】 证明：线段，互相平分， ∴，． 在与中， ， ∴， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明得出，再由等边对等角可得，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 19. 校园农场有一块菜地，平均分成四个小方块，分别标记为1号、2号、3号、4号．实践小组想通过抽取卡片的方式确定西红柿种植到哪个地块，为此，组长准备了4张小卡片，小卡片正面分别写有1号、2号、3号、4号，4张小卡片除正面外其余完全相同，将小卡片背面朝上，洗匀． （1）若西红柿需要种植到一个小方块中，甲同学随机抽取卡片一次，则抽中1号地块的概率是______． （2）若西红柿需要种植到两个小方块中，乙同学负责抽取卡片两次，他先随机抽取卡片一张，不放回，再随机抽取卡片一张，请利用画树状图或列表的方法，求正好抽中1号、2号地块的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：甲同学从四张卡片中随机抽取卡片一次，则抽中1号地块的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 标号 1号 2号 3号 4号 1号 － （1号，2号） （1号，3号） （1号，4号） 2号 （2号，1号） － （2号，3号） （2号，4号） 3号 （3号，1号） （3号，2号） － （3号，4号） 4号 （4号，1号） （4号，2号） （4号，3号） － 由上表可知，共有12种等可能的结果，正好抽中1号、2号地块的结果有2种， （抽中1号、2号地块）． 20. 随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设平均季度增长率为，根据题意列出一元二次方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设平均季度增长率为． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为． 21. 如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 【答案】大树比小树约高2m 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长与交于点，与交于点，过点作于点，设，分别解，列出方程求出的值，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长与交于点，与交于点，过点作于点，则四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴，，，， ∴． 设，则， ． 又 ， ． 又， ． ，解得， 大树比小树约高2m． 22. 某同学家购买了一款加湿器，随着加湿器的运作，房间湿度随之发生变化．房间湿度为，其中y与运作时间t（单位：h）呈现一次函数关系．若加湿器在运作前，房间湿度为（房间初始湿度为），经过1小时40分钟后，房间湿度为． （1）求y与t之间的函数关系式． （2）加湿器一直在运作中，问再经过多长时间，房间湿度达到？ 【答案】（1） （2）再经过房间湿度达到 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）设y与t之间的函数关系式为，把代入建立方程组求解即可； （2）把代入，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：设y与t之间的函数关系式为， 根据题意可知在函数图象上． 解得 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当房间湿度为时，， 解得，， 再经过房间湿度达到． 23. 赤霉素是一类重要的植物激素，广泛参与种子萌发、茎的伸长及开花调控等过程．为探究赤霉素对水稻幼苗茎伸长的促进作用，某生物兴趣小组将若干株长势相近的水稻幼苗随机分为实验组与对照组．实验组用赤霉素溶液处理，对照组用等量蒸馏水处理，培养条件保持恒温、12小时光照/12小时黑暗循环．3天后测量茎的伸长量，记录并绘制成如下统计图．实验组数据（单位：）整理如下： 18（2株）、20（3株）、22（5株）、24（7株）、26（3株）． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）实验组水稻幼苗茎伸长量（单位：）的众数是______，中位数是______． （2）求实验组茎伸长量的平均值． （3）若用相同方法处理500株同品种水稻幼苗，估计茎伸长量至少达到的植株数量． 【答案】（1）， （2） （3）250 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）利用加权平均数的公式计算即可； （3）用500乘以样本中伸长量达到的植株所占的比即可得解． 本题考查了众数，中位数，平均数的计算，以及用样本估算整体，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知,出现次数最多的数为, ∴实验组水稻幼苗茎伸长量的众数是， 一共抽取了株, 中位数． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：． 答：实验组茎伸长量的平均值为． 【小问3详解】 解：（株）． 答：估计茎伸长量至少达到的植株数量为250． 24. 如图，为的外接圆，，D为上一点，过点D作的切线，与的延长线交于点E，． （1）连接，求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的外接圆，， 为的直径． ，为的切线， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明为的直径．可得，可得，进一步可得结论； （2）证明为等腰直角三角形，可得，．如图，过点作于点，则四边形为矩形，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， 为等腰直角三角形， ， ． 在中，． 如图，过点作于点，则四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴负半轴交于点C，且． （1）求抛物线L的表达式． （2）设抛物线L的顶点坐标为D，E为抛物线L上一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接．若，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出顶点的坐标为．设点．求出，根据得到，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得点的坐标为． 设抛物线的表达式为． 将点代入表达式，解得， ， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． 设点． ， ． ， . ， ， ， 或， 解得或（不符题意，舍去）或， 点的坐标为或． 26. 问题提出 （1）如图1，在四边形中，，M为的中点，猜想与四边形的面积关系，并说明理由． 问题解决 （2）如图2，现有一块半径为的圆形材料，工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形．四边形需要满足，且面积最大．请探究四边形面积最大的实施方案，并求出面积的最大值． 【答案】 （1）， 理由：如图1，延长，，交点为． ， ∵， ． 为的中点， ． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （2）如图2，取的中点，连接，，． ， ， ， ， 为的中点， 结合（1）中结论可知，即当的面积最大时，四边形的面积最大． 连接，，，，过点作于点，过点作于点． 为的中点， ， ． ， ， ． ， 当，，三点共线时，，的面积最大，此时四边形为矩形． ， ． 【解析】 【分析】（1）延长，，交点为．证明，得出，即可得出，再结合，即可得证； （2）取的中点，连接，，．结合（1）中结论可知，即当的面积最大时，四边形的面积最大．连接，，，，过点作于点，过点作于点．求出、的长，当，，三点共线时，，的面积最大，此时四边形为矩形，由此即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $