学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（全国通用，人教A版2019选择性必修第一册第1～2章：空间向量与立体几何+直线与圆）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________、__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 4．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）   A．，， B．，， C．，， D．，， 5. 已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 6.如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）   A． B． C． D． 7．[新题型·数学文化题]战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 8．[新题型·知识交汇题]如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 11．[新题型·学科交叉题]六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于轴的对称点是，则 13．过点作圆的切线，则切线方程为 . 14．[新题型·社会热点题]如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16．（15分） 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 17．（15分） 已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. 18．（17分） 如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 19．（17分） 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 4．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）   A．，， B．，， C．，， D．，， 5. 已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 6.如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）   A． B． C． D． 7．[新题型·数学文化题]战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 8．[新题型·知识交汇题]如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 11．[新题型·学科交叉题]六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于轴的对称点是，则 13．过点作圆的切线，则切线方程为 . 14．[新题型·社会热点题]如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16．（15分） 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 17．（15分） 已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. 18．（17分） 如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 19．（17分） 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 3．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 3．【答案】B 【解析】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 4．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）   A．，， B．，， C．，， D．，， 4．【答案】C 【解析】因为，则，即， 因是的中点，则， 所以. 故选：C． 5. 已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 5.【答案】C 【解析】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即， 解得：. 故选：C. 6.如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）   A． B． C． D． 6.【答案】D 【解析】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.    故选：D 7．[新题型·数学文化题]战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 7．【答案】A 【解析】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为， 则反射光线经过点，且与圆相切， 若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，反射光线所在直线的斜率存在， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为：， 即， 圆的圆心为，半径，则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即，解得：或， 故选：A. 8．[新题型·知识交汇题]如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．【答案】B 【解析】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以， 所以，因为，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．【答案】ABC 【解析】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件， 故A、B正确； 若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件， 故C正确，D错误. 故选：ABC 10．已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 10．【答案】AC 【解析】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 11．[新题型·学科交叉题]六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 11．【答案】ACD 【解析】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令， 则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于轴的对称点是，则 12．【答案】 【解析】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴的对称点是， 可得. 13．过点作圆的切线，则切线方程为 . 13．【答案】或 【解析】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 14．[新题型·社会热点题]如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .    14．【答案】 ， 【解析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ， 设成功点，则，即， 化简得，因为点在矩形场地内，所以， 所以点的轨迹方程是.    当与圆相切时，则有， 所以，所以，又， 若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 15.（13分） 【解析】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， （5分） 所以所求直线方程为，整理得.(6分) （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； （8分） 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或．（13分） 16．（13分） 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 16.（15分） 【解析】（1）证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//，（3分） 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形，（5分） 所以，又平面，不在平面内， 所以平面.(6分) （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故，（11分） 点到平面的距离为：，（13分） 解得， 故正四棱柱的高为.（15分） 17．（15分） 已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. 17．（15分） 【解析】（1）设圆的半径为， 圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即， 所以圆的方程为.（5分） （2）圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则， 即，解得，（8分） 由得两圆公共弦所在直线方程为，（10分） 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且，即， 所以，解得或， 又，所以，经检验符合题意， 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2.（15分） 18．（17分） 如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 18．（17分） 【解析】（1）由条件可知，，，， 所以，所以， 又因为是直角三角形，所以， 取的中点，连结，则，（2分） 所以，，且， 所以，则，且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面.(5分) （2）以点为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，，令，则， 即平面的法向量为，（8分） 平面的法向量为， 因为二面角的正切值为，所以二面角的夹角的余弦值为， 则，，解得：， 所以.(12分) （3）如图，以为轴，将和展开，与在同一平面，点分成和，当四点共线时，为的周长的最小值， 设，，，则， 所以， ，(15分) ， 所以.（17分） 所以周长的最小值为.(17分) 19．（17分） 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 19．（17分） 【解析】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为（4分） （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． （6分） ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或．（10分） （3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得，解得或， 则点的坐标为， （12分） 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，，（14分） 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为．（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 、__________________ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 16.（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15 分） 18.（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 、__________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________、__________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C C D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．或 14．， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， （5分） 所以所求直线方程为，整理得.(6分) （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； （8分） 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//，（3分） 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形，（5分） 所以，又平面，不在平面内， 所以平面.(6分) （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故，（11分） 点到平面的距离为：，（13分） 解得， 故正四棱柱的高为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设圆的半径为， 圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即， 所以圆的方程为.（5分） （2）圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则， 即，解得，（8分） 由得两圆公共弦所在直线方程为，（10分） 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且，即， 所以，解得或， 又，所以，经检验符合题意， 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由条件可知，，，， 所以，所以， 又因为是直角三角形，所以， 取的中点，连结，则，（2分） 所以，，且， 所以，则，且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面.(5分) （2）以点为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，，令，则， 即平面的法向量为，（8分） 平面的法向量为， 因为二面角的正切值为，所以二面角的夹角的余弦值为， 则，，解得：， 所以.(12分) （3）如图，以为轴，将和展开，与在同一平面，点分成和，当四点共线时，为的周长的最小值， 设，，，则， 所以， ，(15分) ， 所以.（17分） 所以周长的最小值为.(17分) 19．（17分） 【解析】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为（4分） （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． （6分） ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或．（10分） （3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得，解得或， 则点的坐标为， （12分） 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，，（14分） 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$