精品解析：2025年山东省青岛市李沧区青岛志远中学中考三模数学试卷

2025年志远中学模拟考试数学（三）试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. “慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列关于的说法错误的是（ ） A. 绝对值是 B. 相反数是 C. 倒数是 D. 平方是2 5. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ） A. 32° B. 38° C. 46° D. 48° 7. 如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 12 C. 10 D. 5 8. 计算的结果是（　　） A. B. 3 C. D. 9. 如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：___________． 12. 在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有____________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 13. 小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下的时间里，小明每天至少要读____页．（假定小亮每天读书页数是整数） 14. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则可列出方程__________． 15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 16. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：为锐角三角形． 求作：在右上方确定点，使，且． 18. （1）化简：； （2）解不等式组． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 试估算口袋中黑球有______只，白球有______只，并运用所估计结论，用画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 20. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：，，，，，．随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是___________．； （2）补全图2中的频数分布直方图；在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是___________分； （3）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 表3 （4）若该校八年级共有300人，在展演阶段90及90分以上为优秀，估计该年级共有多少人优秀？ 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22. 乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个（如图2），已知原来七巧板拼成正方形的边长为4； （1）图2中小正方形②的边长________；线段________； （2）求对角线的长. 23. 已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动． （1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式； （2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是_____ （3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的倍，求小明返回到A地所需时间． 24. 如图，的对角线与相交于点，点为的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）从①②中任选一个并证明： ①当满足时，说明四边形为什么特殊四边形，并证明； ②当满足时，说明四边形为什么特殊四边形，并证明． 25. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 26. 如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设的面积为S，求出S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年志远中学模拟考试数学（三）试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据已知几何体可得，左视图为一个矩形里有一条横向的实线和两条横向的虚线，据此即可解答． 【详解】解：如图所示零件的左视图是： ． 故选：D 3. “慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较小的数的方法． 根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法求解． 【详解】解：米 =米， 故选：D． 4. 下列关于的说法错误的是（ ） A. 绝对值是 B. 相反数是 C. 倒数是 D. 平方是2 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查实数的运算，包括绝对值，相反数、倒数及平方，熟练掌握这些基础性质是解题关键． 【详解】解：A、绝对值是，选项正确，不符合题意；． B、相反数是，选项正确，不符合题意； C、倒数是，选项不正确，符合题意； D、平方是2，选项正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据P1与P2关于原点对称，即可解决问题． 详解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1． ∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6）． ∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6）． 故选A． 点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ） A. 32° B. 38° C. 46° D. 48° 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，首先求出正五边形的内角，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示， ∵是正五边形， ∴内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的内角和，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 12 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 8. 计算的结果是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，解题关键是注意运算顺序． 先计算二次根式的乘除法与负整数指数幂，最后计算减法即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 9. 如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， ∵AP、BP是切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠ADB=55°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB． 10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论． 【详解】如图， 在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°， ∴BD=2， 连接DE， ∵∠BDC=90°，点D是BC中点， ∴DE=BE=CE=BC=2， ∵∠DCB=30°， ∴∠BDE=∠DBC=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠BDE， ∴DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2， ∴AB=3， ∴， ∴， ∴DF=， 故选D． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】依据单项式乘法法则，把系数与系数相乘，同底数幂相乘，对于相同的字母，按照同底数幂的乘法规则进行运算，最后将所得结果相乘． 本题主要考查了单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘等运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有____________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是掌握定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．利用方差公式计算，然后比较大小即可． 【详解】解：首发5名队员身高为：211，180，182，190，175， 由身高的14号和身高的10号上场，换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高为：201，180，182，190，185， 首发5名队员身高的波动大， 首发5名队员身高的方差大于此时5名队员身高的方差． 故． 故答案为：． 13. 小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下的时间里，小明每天至少要读____页．（假定小亮每天读书页数是整数） 【答案】8 【解析】 【分析】设以后每天读页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，可列出不等式求解． 【详解】解：设以后每天读页， ， ． 故小明每天至少读8页才能读完． 故答案为：8 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出每天读多少页，以总页数作为关系式列不等式求解． 14. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则可列出方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“总售价=每棵的售价×棵数”列方程即可． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 16. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_____． 【答案】② ③ ⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．利用抛物线的开口方向得到，根据对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴有两个交点，对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则，把代入得到，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断；利用抛物线在轴上方对应的自变量范围可对⑤进行判断． 【详解】解：由图象可知，，，， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线对称轴为，与轴交于， ，， ，， ，故③正确； 、为函数图象上的两点，又点、点到对称轴的距离相等， ，故④错误； 抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴另一个交点是 由图象可知，时，，故⑤正确． ② ③ ⑤正确， 故答案为：② ③ ⑤． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：为锐角三角形． 求作：在右上方确定点，使，且． 【答案】 图形如图所示： 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 在是上方作，过点C作于点即可． 【详解】略 18. （1）化简：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，解不等式组，熟练掌握分式混合运算法则，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 试估算口袋中黑球有______只，白球有______只，并运用所估计结论，用画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 【答案】2，3；这两只球颜色不同的概率为． 【解析】 【分析】此题考查频率估计概率，树状图或列表法求概率，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数；列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 【详解】解：当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以可估计口袋中白球的个数（个），黑球（个）． 列表得： 黑1 黑2 白1 白2 白3 黑1 （黑1，黑2） （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，白3） 黑2 （黑2，黑1） （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，白3） 白1 （白1，黑1） （白1，黑2） （白2，白2） （白1，白3） 白2 （白2，黑1） （白2，黑2） （白2，白1） （白2，白3） 白3 （白3，黑1） （白3，黑2） （白3，白1） （白3，白2） 共有20种等可能结果， 这两只球颜色不同的概率是：． 故答案为：2，3； 20. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：，，，，，．随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是___________．； （2）补全图2中的频数分布直方图；在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是___________分； （3）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 表3 （4）若该校八年级共有300人，在展演阶段90及90分以上为优秀，估计该年级共有多少人优秀？ 【答案】（1） （2）补全频数分布直方图，如图所示： （3） 甲：， 乙：， ∵， ∴乙将获得“环保之星”称号． （4）60 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，用样本估计总体，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答． （）直接即可； （）根据“”组求出n的值，然后求出展演成绩中B组人数，再补全条形统计图即可，根据中位数定义求出结果即可； （）根据加权平均数的公式求出甲、乙两位同学的成绩，然后进行判断即可； （）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：“组”所对应的扇形的圆心角是： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 展演成绩中B组学生人数为： （人）， 将抽取的名学生的笔试成绩从小到大进行排序，排在第，位的平均数为， 即n名学生笔试成绩的中位数是； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该年级共有60人优秀． 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】信号塔的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，同时涉及矩形的判定与性质，勾股定理等知识，延长交直线于点B，过点E作于点G，证明四边形是矩形，根据坡比先求出 ，，再根据，问题即可得解 【详解】解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图， 根据题意有：，，，，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：信号塔的高为米． 22. 乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个（如图2），已知原来七巧板拼成正方形的边长为4； （1）图2中小正方形②的边长________；线段________； （2）求对角线的长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出结果即可； （2）延长，过点A作于点E，根据七巧板的特点求出， ，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 即小正方形②的边长为， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：延长，过点A作于点E，如图所示： 根据七巧板的特点可知，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和七巧板的特点． 23. 已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动． （1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式； （2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是_____ （3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的倍，求小明返回到A地所需时间． 【答案】（1） （2）12：00 （3）8小时 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间列出函数关系式即可； （2）根据题意可知，据此根据（1）所求求出即可得到答案． （3）设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为小时，然后根据返回的速度比他出发的速度每小时快10千米列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：∵从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴， ∴， ∴， ∴小明从A地到B地最少需要4小时， ∴小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是8+4=12点， 故答案为：12：00 【小问3详解】 解：设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为小时， 由题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴小明返回A地的时间为8小时． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 24. 如图，的对角线与相交于点，点为的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）从①②中任选一个并证明： ①当满足时，说明四边形为什么特殊四边形，并证明； ②当满足时，说明四边形为什么特殊四边形，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） ①当时，四边形是矩形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ②当时，四边形是菱形．理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，从而证得，得到，根据平行四边形的性质可得，进而得到，因为，可以证得四边形是平行四边形； （2）①根据平行四边形的性质得到，从而由直角三角形斜边上的中线性质得到，由菱形的判定定理即可得出结论； ②根据平行四边形的性质得到，从而根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】（1）y关于x的关系式为 （2）动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 （3）①运动员甲不能成功完成此动作；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； 【小问3详解】 解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 26. 如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设的面积为S，求出S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是存在，当时，，，三点在同一条直线． 【解析】 【分析】（1）利用两边平行且相等的四边形为平行四边形可得，以此建立方程求解即可； （2）根据勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得，由平行线的性质得，则，，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，，易得四边形为平行四边形，于是，，进而算出，，由等面积法可求出，再根据三角形的面积公式代入计算即可； （3）连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点，由平行线分线段成比例和线段中点定义可得，，由同角的余角相等得，于是，，再利用平行线分线段成比例可得，求出，，以此即可求解． 【小问1详解】 解： ， 当时，四边形为平行四边形时， 由题意可得，，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 是边上的中点， ， ， ， 在中，，，， ，，， ， ，， 如图，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； 即； 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 如图，连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点， 则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 当时，，，三点在同一条直线． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、几何动点问题、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $