专题02 一元二次不等式、分式、绝对值不等式（专项训练8大重点题型）高一数学人教A版2019必修第一册

专题02 一元二次不等式、分式、绝对值不等式 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 1 题型三、分式不等式（含高次不等式） 2 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 2 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 3 题型六、一元二次不等式有解问题 4 题型七、一元二次不等式与实际问题 5 题型八、绝对值不等式 5 B综合攻坚・能力跃升 6 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 1．解关于的不等式：（其中）． 2．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 题型三、分式不等式（含高次不等式） 1．解下列不等式： (1)； (2)． 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 3．求不等式的解集． 4．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式； （2）； （3）. 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 1．若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 2．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ） A．16 B．25 C．9 D．8 3．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为或 4．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）（多选题）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选题）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（多选题）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 1．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北邢台·月考）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南驻马店·期中）“，”的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 题型六、一元二次不等式有解问题 1．（24-25高一上·四川成都·月考）命题是真命题，则实数的取值范围是 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 4．（23-24高一上·天津和平·开学考试）若存在，使得成立，则实数m的取值范围是 ． 5．（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 6．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 题型七、一元二次不等式与实际问题 1．（24-25高一上·上海·月考）某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 3．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 4 ．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 题型八、绝对值不等式 1．（24-25高一上·河南洛阳·月考）不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西玉林·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集是 ． 6．（2025高一·全国·专题练习）解不等式： 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁·月考）对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 6．（23-24高一上·河北沧州·期中）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 7．（多选题）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．－1 8．不等式的解集为 . 9．（23-24高一上·天津和平·月考）已知关于x的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 11．（24-25高一上·天津西青·期中）求解下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 12．解下列关于的不等式． (1)； (2)． 13．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 14．（24-25高一上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)若，求不等式7的解集； (2)若0，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 16．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次不等式、分式、绝对值不等式 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 2 题型三、分式不等式（含高次不等式） 5 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 8 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 11 题型六、一元二次不等式有解问题 15 题型七、一元二次不等式与实际问题 18 题型八、绝对值不等式 20 B综合攻坚・能力跃升 22 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)无解． 【分析】（1）（2）分解因式后可解不等式；（3）由二次不等式对应二次函数图象与x轴的交点情况可解不等式. 【详解】（1）原不等式可化为，所以不等式的解为； （2）原不等式可化为，所以原不等式的解为； （3）原不等式可化为，，则图象恒在x轴上方，则原不等式无解． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 1．解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 2．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）因式分解，比较两根大小，分别求出不等式解集； （2）根据系数进行分类讨论，分别解出不等式解集； （3）用根的判别式进行分类讨论，分别求出不等式解集． 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、及，结合一元二次不等式的解法计算即可得； （2）计算，分及，结合一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型三、分式不等式（含高次不等式） 1．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即可； （2）移项通分得到即可求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将原不等式等价转化为，再结合一元二次不等式的解法即可求解； （2）先将原不等式等价转化为，再等价转化为，再结合一元二次不等式的解法即可求解； （3）先判断分母大于0，再将原不等式等价转化为，再结合一元二次不等式的解法即可求解． 【详解】（1）原不等式，解得， 所以原不等式的解集为． （2）原不等式 ， 解得， 所以原不等式的解集为． （3）由， 则原不等式， 解得或， 所以原不等式的解集为． 3．求不等式的解集． 【答案】或 【分析】解法一：根据符号法则列出式子计算；解法二：将式子因式分解然后利用穿针引线计算即可. 【详解】解法一：原不等式同解于下列两个不等式组： ①或者② 解①得；解②得． 综上所述，原不等式的解集是或． 解法二：原不等式可化为． 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图1所示（数轴标根法）．        由此得到原不等式的解集是或． 4．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （2）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （3）将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得； 【详解】（1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2） ，即， 令，有或或， 又恒成立， 故该不等式的解集为； （3） ，即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 1．若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 【答案】B 【分析】由含参一元二次不等式解集及根与系数关系列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题设，可得，故. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ） A．16 B．25 C．9 D．8 【答案】A 【分析】首先根据值域得，再利用韦达定理代入即可得到方程，解出即可. 【详解】因为y的取值范围是，则，且，解得， 因为不等式的解集为， 则令，即，两根， 则， 即，且判别式， 解得， 故选：A. 3．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】由已知得，且和3是方程的两个实数根，由韦达定理求出，对选项逐个判断即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，故A正确. 由题意得，和3是方程的两个实数根， 所以，即. 因为，，所以，故B错误. ，故C正确. 由得，即，解得，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）（多选题）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意知是方程的两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入各项即可判断． 【详解】一元二次不等式的解集为或， 则是方程的两根，且， 则，得； 则错误； ，B正确； ，C正确； ，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确. 故选：BCD 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选题）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 6．（多选题）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，得 当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需； 综上所述：实数的取值范围是. 对选项逐一检验，只有，符合. 故选：BD 7．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 1．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 2．（24-25高一上·河北邢台·月考）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 3．（24-25高一上·河南驻马店·期中）“，”的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为，而是或（把看成的一次函数），所以只需满足或即可. 【详解】若函数在上恒成立， 则只需， 解得，即的取值范围是， 故“，”的一个充分条件可以是“”. 故选：B 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 7．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 题型六、一元二次不等式有解问题 1．（24-25高一上·四川成都·月考）命题是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用根的判别式得到不等式，求出答案． 【详解】由题意知，解得 故答案为：． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解二次不等式与一次不等式，结合题意得到的取值范围，从而得解. 【详解】解不等式可得， 由可得， 若关于的不等式组没有实数解， 则. 故答案为：. 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可； 【详解】由题意可得命题“，使得”为真命题， 即在上有解， 令，，则， 在为减函数，所以， 所以，即实数a的范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·天津和平·开学考试）若存在，使得成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得能成立，再由二次函数最小值可得范围. 【详解】∵， ∴原不等式可化为， ∴由题意得，不等式有解， 令，则， ， 故要使有解，则， 的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 6．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 题型七、一元二次不等式与实际问题 1．（24-25高一上·上海·月考）某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 【答案】 【分析】由题可得关于的不等式，解一元二次不等式即可得答案. 【详解】由题，商品的年销量为件，又每件售价80元， 则，即， 所以，所以，解得. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】或 【分析】利用三角形相似将表示出来，再由面积大于32可列出不等式，结合实际意义可得的范围. 【详解】设的长为x（）m，则的长为m. 易知，所以， 所以矩形的面积. 由矩形的面积大于，得. 又，所以，解得或， 即DN的长的取值范围是. 3．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 4．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 题型八、绝对值不等式 1．（24-25高一上·河南洛阳·月考）不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值非负的性质即可得解. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 则的解集为. 故选：B. 2．（24-25高一上·福建莆田·月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解二次不等式与绝对值不等式化简集合，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·广西玉林·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】公式法解绝对值不等式，根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系. 【详解】由，则或，解得或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】直接解不等式结合集合的描述法即可得结果. 【详解】由可得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】把不等式两边平方，化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式，即， 化简得，解得或. 故答案为：. 6．（2025高一·全国·专题练习）解不等式： 【答案】 【分析】分和时，将不等式去绝对值后求解不等式从而可得解. 【详解】由题意可得当时，原不等式可化为，解得：，所以可得时不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得：； 综上所述：所以原不等式的解为：. 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，则得，即可得到取值范围. 【详解】时，不等式恒成立， 即，即，解得， 所以取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高一上·辽宁·月考）对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由参变量分离法可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得， 令，则， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 6．（23-24高一上·河北沧州·期中）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求出的关系，即可判断，根据一元二次不等式解法即可判断. 【详解】因为的不等式的解集为， 所以，故正确； 因为的两个根是 所以，， 所以，故错误； ，故正确； 将，代入得， 因为，得， 解得：，故正确. 故选：. 7．（多选题）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．－1 【答案】AD 【分析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可． 【详解】关于的不等式的解集中恰有4个整数， 所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个． 不等式，对应的方程为：， 方程的根为：和； 由题意知，，则，解得； 当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意． 当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意． 当时，不等式的解集是,，此时， 解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意． 当时，不等式的解集是,，， 解集中含有整数个数多于4个，不满足题意． 综上知，的值可以是和． 故选：AD 8．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案. 【详解】根据不等式整理可得， 即，等价于， 解得； 所以不等式的解集为 故答案为： 9．（23-24高一上·天津和平·月考）已知关于x的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对二次项系数和进行分类讨论，并利用二次函数性质得出实数满足的不等式，即可解出实数的取值范围. 【详解】根据题意易知当，即或时， 当时，不等式化为，显然解集为空集，符合题意； 当时，不等式化为，解集不为空集，不合题意； 当时，满足题意的实数a需，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，按分类求出解集，进而求出的值. 【详解】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 故答案为：5 11．（24-25高一上·天津西青·期中）求解下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）（2）因式分解即可求解； （3）去绝对值即可求解； （4）原不等式等价于，且，即可求解. 【详解】（1）由可得，即， 解得或， 故原不等式的解集为或. （2）由可得： 解得：， 所以不等式的解集为：. （3）由原不等式可得：可得：或， 解得或， 故原不等式的解集为：或 （4）由可得， 即：，且， 解得， 故原不等式的解集为. 12．解下列关于的不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2) 或 或 【分析】（1）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解. （2）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于， 所以， 如图所示： 解得或且， 所以原不等式解集为或或. （2） 由得，， 原不等式等价于，即， 如图所示： 解得 或 或， 所以原不等式的解集为 或 或． 13．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）分，和讨论即可； （2）计算得，分和或讨论即可； （3）因式分解得，分 ，和讨论即可； （4）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 14．（24-25高一上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)若，求不等式7的解集； (2)若0，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解一元二次不等式即可； （2）根据二次函数图象，利用根的判别式解不等式即可； （3）利用分离参数法，求出函数最值即可解决恒成立问题. 【详解】（1）当时，由可得，即， 解得或， 所以，不等式的解集为. （2）由题意，恒成立， 因为二次函数图象开口向上，则，解得， 所以，实数的取值范围是. （3）由题意，恒成立，又， 所以在恒成立； 由于，当时等号成立. 所以， 即实数的取值范围为. 15．（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)从第3年该设备开始盈利 (3)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）利用总盈利减去总的维修费与购买生产设备的费用即可得答案； （2）结合（1），解一元二次不等式即可求得该设备从第几年开始盈利； （3）利用基本不等式以及二次函数分别求出两种方案盈利的最大值，并求出盈利最大时需要的年数，比较后可得结论． 【详解】（1） （2）令，得， ，故， 故从第3年该设备开始盈利； （3）按照方案①计算， 当且仅当时，即时等号成立． 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元 按照方案②计算，当时，． 故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元． 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 16．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$