专题01 基本不等式全题型与技巧归纳（专项训练11大重点题型）高一数学人教A版2019必修第一册

专题01 基本不等式全题型与技巧归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析 1 题型二、直接法求最值 2 题型三、拼凑法求最值（常考点） 2 题型四、常数代换法求最值（重点） 3 题型五、二次（一次）的商式求最值 4 题型六、消元法求最值 4 题型七、换元法求最值 5 题型八、双换元法求最值 5 题型九、利用基本不等式证明（难点） 5 题型十、实际问题中的基本不等式 6 题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题 8 B综合攻坚・能力跃升 8 题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析 1．（24-25高一上·江苏淮安·月考）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 3．（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·湖北·月考）下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C．， D． 5．（23-24高一上·福建泉州·月考）（多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 题型二、直接法求最值 1．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 2．（25-26高一上·全国·单元测试）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 5．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 6．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为 . 题型三、拼凑法求最值（常考点） 1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·月考）已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 5．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 题型四、常数代换法求最值（重点） 1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 5．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·海南海口·月考）已知正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五、二次（一次）的商式求最值 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·月考）（多选题）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 4．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 题型六、消元法求最值 1．已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 3．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）（多选题）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江湖州·月考）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 6．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知，为非负实数，且，则的最小值为 . 题型七、换元法求最值 1．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若正实数x，y满足，则的最小值是 . 3．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 . 题型八、双换元法求最值 1．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林白城·期中）（多选题）已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 3．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 4．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 题型九、利用基本不等式证明（难点） 1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知，求证 (1)； (2). 3．（24-25高一上·上海·期中）设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 4．已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 题型十、实际问题中的基本不等式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 2．（24-25高一上·广西柳州·期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要 米棚栏. 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 4．（24-25高一上·陕西渭南·月考）某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 6．（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为． (1)当，时，求甲从小岛到城镇所用时间； (2)若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，． 题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·月考）（多选题）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林长春·期中）当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 5．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 6．（24-25高一上·浙江·月考）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，恒成立，则的取值范围是 . 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 1．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一上·重庆渝北·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高一上·福建泉州·月考）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 7．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．12 8．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 9．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 10．（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·月考）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 12．已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 13．（24-25高一上·湖北荆州·月考）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·河北保定·期末）已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 16．（23-24高一上·福建南平·月考）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值是5 17．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 18．（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 20．已知，则的最小值为 . 21．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 22．（24-25高一上·天津武清·月考）已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 23．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 24．已知，则的最小值为 . 25．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 27．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 28．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，求证： (1)； (2)． 29．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 30．（24-25高一上·上海·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 31．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明： (1)； (2). 32．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 33．（24-25高一上·广西南宁·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 基本不等式全题型与技巧归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析 1 题型二、直接法求最值 4 题型三、拼凑法求最值（常考点） 6 题型四、常数代换法求最值（重点） 8 题型五、二次（一次）的商式求最值 11 题型六、消元法求最值 13 题型七、换元法求最值 16 题型八、双换元法求最值 18 题型九、利用基本不等式证明（难点） 21 题型十、实际问题中的基本不等式 25 题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题 28 B综合攻坚・能力跃升 32 题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析 1．（24-25高一上·江苏淮安·月考）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 3．（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，即或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高一上·湖北·月考）下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】A中举反例即可，B利用基本不等式等号成立条件不满足，C利用基本不等式求得最小值不是，D先平方，再利用二次函数求解即可. 【详解】对于A，，当时，，不符合要求，故A错误； 对于B：，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是，故B错误； 对于C：因为，所以， ， 当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误； 对于D：，易知，， 则， 当即或时，有最小值，即有最小值，故D对. 故选：D 5．（23-24高一上·福建泉州·月考）（多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式“，当且仅当时等号成立”逐一运算分析判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误； 故选：BC. 6．（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 题型二、直接法求最值 1．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，由均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 【答案】16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可.法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 5．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 【答案】2 【分析】由重要不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 6．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值. 【详解】由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 题型三、拼凑法求最值（常考点） 1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·月考）已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，得到，即， 当且仅当且，即时取等号，所以， 故选：C. 4．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 5．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为 ， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值是， 故选：B 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 题型四、常数代换法求最值（重点） 1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式“1”的妙用，根据展开，利用基本不等式即可得到. 【详解】， 当时取等，所以的最小值为. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 3．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得. 【详解】因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：B 5．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用配凑方法，结合基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2． 故选：B 6．（24-25高一上·海南海口·月考）已知正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据得，则，再利用基本不等式即可求解. 【详解】∵正实数满足， ∴， 则 . 当且仅当，且，即时取等号， 故选：B． 7．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 8．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立， 所以的取值范围为， 故选：C 题型五、二次（一次）的商式求最值 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先变形已知，再利用基本不等式求最值. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏·月考）（多选题）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 3．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 4．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 题型六、消元法求最值 1．已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】A 【分析】先求解，再化简，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意可知，，故， 当且仅当时，即时等号成立，取得最小值3. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）（多选题）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AC；利用二次函数的性质可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断D. 【详解】因为，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 5．（24-25高一下·浙江湖州·月考）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 6．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知，为非负实数，且，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值. 【详解】，为非负实数，且，结合目标式，有，， ，解得，，解得， ， ， 当且仅当即时等号成立， 故. 故答案为：2. 题型七、换元法求最值 1．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若正实数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】16 【分析】利用基本不等式放缩得到的不等式，运算得解. 【详解】，， ，即， 令，上式转化为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当，即时等号成立. 所以得最小值为16. 故答案为：16. 3．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 【答案】2 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键. 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式将题设方程转化成不等式，求出的范围，即得的最小值. 【详解】由，可得，当且仅当时取等号， 即， 设，则得，解得或， 因，故得，即， 由解得， 即当，时，取得最小值为. 故答案为：. 题型八、双换元法求最值 1．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高一上·吉林白城·期中）（多选题）已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】AB 【分析】利用“”的代换变形后，再利用基本不等式求出最小值，排除CD项，验证AB项可得. 【详解】令， 由题意，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 由，解得，此时，故A正确； 由，故CD错误； B项，由方程组，又， 解得，故B正确. 故选：AB. 3．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 4．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 【答案】 【分析】解法1：由题意可得，令，，得，，代入，进而利用基本不等式可求解.解法2：，令，可得，令，可得，结合基本不等式可求解. 【详解】解法1：， 令，，得，， 则， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是； 解法2：， 令，则 令，则， ， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是. 题型九、利用基本不等式证明（难点） 1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知，求证 (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. （2）解：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 3．（24-25高一上·上海·期中）设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用作差法，并结合基本不等式比较大小； （2）化简，结合已知，采用乘“1”的方法求最小值. 【详解】（1）由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以； （2）由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 4．已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 题型十、实际问题中的基本不等式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 【答案】40 【分析】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用均值不等式，即可求得和此时的值． 【详解】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则，当且仅当时，等号成立， 即当每批生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元． 故答案为：40 2．（24-25高一上·广西柳州·期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要 米棚栏. 【答案】 【分析】根据面积可得，周长为，然后根据基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，且周长是， 根据基本不等式，，当取等号， 即至少需要米棚栏. 故答案为： 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 【答案】 【分析】设蓄水池池底的一边长为，则根据题意，由基本不等式求最小值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为： 4．（24-25高一上·陕西渭南·月考）某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 【答案】元 【分析】设每天获得的利润为元，则，令，利用基本不等式可得结果. 【详解】设每天获得的利润为元，则， 令，， 则， 当且仅当，即时每天获得的利润最多， 所以销售价为元. 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)，当时，取得最小值 (2)或 【分析】（1）先根据平行得出比例关系计算得，再应用基本不等式计算即可； （2）应用已知列不等式再求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． （2）因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 6．（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为． (1)当，时，求甲从小岛到城镇所用时间； (2)若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，． 【答案】(1) (2)3小时，， 【分析】（1）分别计算小岛开往上岸点时间和上岸点到城镇所需的时间，相加即可； （2）由题意得到，结合基本不等式求解即可； 【详解】（1） 由题意知，小岛距离上岸点的距离， 小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇的距离， 上岸点到城镇所需的时间， 故甲从小岛到城镇所需的时间为． （2）小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇所需的时间， 记甲从小岛到城镇所需的时间，其中， 所以， 整理得，， 当且仅当，此时，，． 答：当，时，小岛到城镇所需时间最短，为3小时． 题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】依题意可将化为，利用基本不等式即可得到答案． 【详解】因为，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取等号， 因为存在，使得不等式能成立， 所以. 所以的最小值等于. 故选：B. 3．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·月考）（多选题）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 4．（24-25高一上·吉林长春·期中）当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 【答案】5 【分析】先将不等式变形为，然后求出在上的最小值，进而得到的最小值. 【详解】由可得. ，当且仅当，即时取等号. 因为有解，所以，即，解得. 故答案为：5. 5．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·浙江·月考）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意只需，由构造法以及基本不等式即可求解. 【详解】由题意，恒成立，故只需， 当时，， 等号成立当且仅当， 从而当时，的最小值为， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 1．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，函数， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为2. 故选：A 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 4．（23-24高一上·重庆渝北·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 6．（24-25高一上·福建泉州·月考）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解. 【详解】，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9. 故选：B. 7．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．12 【答案】D 【分析】由得，进而利用基本不等式可得. 【详解】由得， 因，，故， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：D 8．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 9．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 10．（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得.再将变形为，利用基本不等式“1”的代换即可求出最小值. 【详解】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 11．（24-25高一上·上海·月考）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 12．已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，对变形可得原式，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】，且，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C． 13．（24-25高一上·湖北荆州·月考）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值． 【详解】∵正数满足， ∴，且，则，， 设，，则，，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为． 故选：B． 14．（24-25高一上·河北保定·期末）已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知将问题化为恒成立，应用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围. 【详解】由，则恒成立，又，可得， 所以恒成立，即， 由，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 15．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出． 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 16．（23-24高一上·福建南平·月考）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值是5 【答案】CD 【分析】通过基本不等式及其适用的条件，判断选项中的最值是否成立. 【详解】对于A，因为不是定值，因此的最小值不是，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 而当时，不能取到等号，因此恒成立，B错误； 对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：CD 17．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 18．（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 19．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 20．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 21．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 22．（24-25高一上·天津武清·月考）已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 12 或1 【分析】由代入目标式，应用基本不等式求目标式的最小值，并确定取值条件. 【详解】由题设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，可得，故或时等号成立. 综上，或时目标式取最小值为12. 故答案为：12；或1 23．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由得，由基本不等式进而可得. 【详解】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 24．已知，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由题巧设，将题中复杂的二元问题巧妙进行了换元和消元成一元问题，即将所求因式变形为，再使用基本不等式即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以， 因此当且仅当，即时，取得最小值为4. 故答案为：4. 25．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 27．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 28．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 29．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，利用基本不等式可得答案； （2），利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故； （2）因为，所以， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即． 30．（24-25高一上·上海·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【答案】(1)245万元 (2)每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元 【分析】（1）根据供货价格的固定价格和浮动价格的概念，将单价售价为85元代入求解即可； （2）分类讨论，分别求出当和当时的销售量和供货价，从而可得单价利润，继而利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 31．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 32．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 33．（24-25高一上·广西南宁·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2）（i）由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立； （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$