专题06 数的开方章末易错必刷题型专训（54题18个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版2024）

专题06 数的开方易错必刷题型专训（54题18个考点） 【易错必刷一 实数的概念与分类】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列说法正确的是（        ） A．有理数只是有限小数 B．无理数与无理数的和是无理数 C．无限小数是无理数 D．是无理数 2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 3．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）把下列各数填入相应的集合中： －3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1） （1）有理数集合：{    }； （2）无理数集合：{    }； （3）负实数集合：{    }． 【易错必刷二 实数的性质】 4．（2025·四川宜宾·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西长治·期中）的相反数是 ． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【易错必刷三 算术平方根的相关概念】 7．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·四川资阳·期中）规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是 ． 9．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为． (1)求：、的值； (2)求的算术平方根． 【易错必刷四 平方根的相关概念】 10．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B．0 C． D． 11．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则a= . 12．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知正数m的两个不同的平方根分别是和，求a和m的值． 【易错必刷五 立方根的相关概念】 13．（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列说法错误的是（    ） A．的算术平方根是1 B．9的平方根是 C．0没有平方根 D．任何实数都有立方根 14．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知x为实数，，则的平方根为 ． 15．（24-25八年级上·四川巴中·期中）解方程： (1)； (2)． 【易错必刷六 无理数及其大小估算】 16．（24-25八年级上·四川内江·期末）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 17．（24-25八年级上·四川简阳·阶段练习）若，则满足条件的最大整数a是 ． 18．（24-25八年级上·四川内江·期中）已知的平方根为，的立方根为2. (1)求，的值； (2)若是的整数部分，求的平方根. 【易错必刷七 实数大小比较】 19．（2025·四川巴中·模拟预测）下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·四川眉山·期中）比较大小： （1）4 ； （2） ． 21．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）比较大小： (1) 与4； (2)与． 【易错必刷八 平方根的计算】 22．（24-25八年级上·四川资阳·期末）已知，且，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若，那么的平方根是 ． 24．（23-24八年级上·陕西汉中·期中）若x是的小数部分，求式子的平方根 【易错必刷九 算术平方根的非负性】 25．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 26．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）若，则 ． 27．（24-25八年级上·广西防城港·期中）已知与互为相反数．求的平方根． 【易错必刷十 实数与数轴】 28．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是，则点B对应的数是（    ）． A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是 ． 30．（24-25八年级上·四川乐山·期中）作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 【易错必刷十一 实数混合运算】 31．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 32．（24-25八年级上·四川内江·期中）若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【易错必刷十二 新定义下的实数运算】 34．（23-24八年级上·河南周口·期中）定义新运算：且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 35．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①；②；③；④若，则或．其中结论正确的序号是 ． 36．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）定义一种新运算：规定，如． (1)计算的值． (2)若表示不大于的最大整数，如：，求． 【易错必刷十三 实数运算相关的规律题】 37．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．7 38．（24-25八年级上·四川简阳·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 39．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）例：；；，求： ＋……＋的值． 【易错必刷十四 算数平方根有关的规律探索题】 40．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若利用计算器求得，，则根据此值估计的平方根是 ． 42．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 【易错必刷十五 与立方根有关的规律探索题】 43．（24-25八年级上·四川资阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 45．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【易错必刷十六 实数运算的实际应用】 46．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 47．（24-25八年级上·四川内江·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 48．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【易错必刷十七 立方根的实际应用】 49．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 50．（24-25八年级·四川眉山·阶段练习）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，， (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示． 51．（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【易错必刷十八 算术平方根与立方根的综合应用】 52． （24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的平方根． 53．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 54．（24-25八年级上·四川眉山·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数的开方易错必刷题型专训（54题18个考点） 【易错必刷一 实数的概念与分类】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列说法正确的是（        ） A．有理数只是有限小数 B．无理数与无理数的和是无理数 C．无限小数是无理数 D．是无理数 【答案】D 【分析】根据实数的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故此选项说法错误，不符合题意； B、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如：，故此选项说法错误，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项说法错误，不符合题意； D、是无理数，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了实数的概念，掌握有理数和无理数概念的含义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）把下列各数填入相应的集合中： －3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1） （1）有理数集合：{    }； （2）无理数集合：{    }； （3）负实数集合：{    }． 【答案】（1）；（2）（每两个2之间依次多一个1）；（3）（每两个2之间依次多一个1） 【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可． 【详解】解：有理数集合：； 无理数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}； 负实数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}； 故答案为：； （每两个2之间依次多一个1）；（每两个2之间依次多一个1）． 【点睛】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法． 【易错必刷二 实数的性质】 4．（2025·四川宜宾·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·山西长治·期中）的相反数是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查实数和相反数的定义，理解定义是解题关键． 直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可得出答案． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】 【分析】此题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的性质解答． 【详解】； ； ； ； ． 【易错必刷三 算术平方根的相关概念】 7．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 8．（24-25八年级上·四川资阳·期中）规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义以及算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．先求出最小算术平方根，然后求出平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴最小算术平方根是6， ∴最小算术平方根的平方根是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为． (1)求：、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，求代数式的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义，列出方程，进行解答即可； （2）先求出的值，再根据算术平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：∵和是某正数的平方根， ∴， 解得：， ∵的算术平方根为， ∴， 解得：． （2）解：将，代入， 得， ∵的算术平方根为， 故的算术平方根为． 【易错必刷四 平方根的相关概念】 10．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根概念的理解，根据“任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根”即可得到答案． 【详解】解：负数没有平方根， 没有平方根， 故选：C． 11．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则a= . 【答案】3 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求解． 【详解】解：根据题意，得a-7+a+1=0， 解得a=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，并且互为相反数是解决问题的关键． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知正数m的两个不同的平方根分别是和，求a和m的值． 【答案】a的值为4，m的值为49 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴． ∴a的值为4，m的值为49． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【易错必刷五 立方根的相关概念】 13．（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列说法错误的是（    ） A．的算术平方根是1 B．9的平方根是 C．0没有平方根 D．任何实数都有立方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根的基本概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A：计算，其算术平方根为，本选项说法正确． B：若，则，因此9的平方根是，本选项说法正确． C：0的平方根是0，因此本选项说法说法错误． D：立方根的定义覆盖所有实数，正数、负数、0均有立方根，本选项说法正确． 故选：C 14．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知x为实数，，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．根据题意得：，解出，代入，求出平方根． 【详解】解：， ， 解得， ． 故答案为． 15．（24-25八年级上·四川巴中·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）移项，再利用平方根的概念解方程； （2）方程两边同时除以8，然后利用立方根的概念解方程． 【详解】（1）解： 移项得：， 解得：； （2） 方程两边同时除以8，得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 【易错必刷六 无理数及其大小估算】 16．（24-25八年级上·四川内江·期末）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再计算的值所在的区间． 【详解】∵， ∴， ∴，即该值在5和6之间． 故选C． 17．（24-25八年级上·四川简阳·阶段练习）若，则满足条件的最大整数a是 ． 【答案】8 【分析】本题考查无理数的大小估算，根据题意得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，即， ∴满足条件的最大整数a是， 故答案为：8． 18．（24-25八年级上·四川内江·期中）已知的平方根为，的立方根为2. (1)求，的值； (2)若是的整数部分，求的平方根. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得，． （2）估算出的值的范围，从而求出c的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得，； （2）∵， ∴的整数部分为3，即， 由（1）知，， ∴， ∵25的平方根为， ∴的平方根为． 【易错必刷七 实数大小比较】 19．（2025·四川巴中·模拟预测）下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，可排除A、B选项，然后比较和与的大小即可． 【详解】解：∵， ∴实数比小的是， 故选：D． 20．（24-25八年级上·四川眉山·期中）比较大小： （1）4 ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，再根据即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）比较大小： (1) 与4； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法即可得解． （1）通过比较两个数的平方大小来比较这两个数即可 （2）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，， ， ∴． 【易错必刷八 平方根的计算】 22．（24-25八年级上·四川资阳·期末）已知，且，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据得，结合，得，于是得到，求平方根解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，平方根，熟练掌握公式，平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据算术平方根以及偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根． 故答案为：． 24．（23-24八年级上·陕西汉中·期中）若x是的小数部分，求式子的平方根 【答案】 【分析】本题考查无理数的小数部分和整数部分，平方根等知识，先求出介于哪两个连续整数之间，确定整数部分，进而确定它的小数部分，从而计算出，从而得解． 【详解】解：因为， 所以，即 所以的小数部分， 所以，         所以式子的平方根是． 【易错必刷九 算术平方根的非负性】 25．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 26．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，平方的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方，掌握以上知识是解题的关键．根据平方的非负性，算术平方根的非负性，求得的值，进而根据有理数的乘方运算计算即可 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·广西防城港·期中）已知与互为相反数．求的平方根． 【答案】 【分析】由相反数的含义可得，再根据非负数的性质建立方程求解即可. 【详解】解：由题意得：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴的平方根为. 【点睛】本题考查的是相反数的含义，非负数的性质，平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键. 【易错必刷十 实数与数轴】 28．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是，则点B对应的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示无理数．计算出圆的周长即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴点B对应的数是：， 故选：C． 29．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴及无理数的估算，熟练掌握实数与数轴及无理数的估算是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由， ， 则这个被覆盖的数是． 30．（24-25八年级上·四川乐山·期中）作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、利用数轴比较有理数的大小、实数的大小比较，解题关键是熟练掌握数轴上表示数及比较大小． （1）先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为，再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时，再在数轴上找出点，点，点，点，即可得图； （2）结合数轴即可比较实数大小． 【详解】（1）解：先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为， 再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时， 再在数轴上找出点，点，点，点，即可得下图： （2）解：由（1）得，． 【易错必刷十一 实数混合运算】 31．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，熟练掌握任何非零数的零次幂都等于是解题的关键． 根据任何非零数的零次幂都等于即可得解． 【详解】解：． 故选：B． 32．（24-25八年级上·四川内江·期中）若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的含义，实数的混合运算，根据m，n都是无理数，且，结合互为相反数的两数和为0，可得答案. 【详解】解：∵m，n都是无理数，且， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． 先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷十二 新定义下的实数运算】 34．（23-24八年级上·河南周口·期中）定义新运算：且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据题意列出算式，进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故选：B． 35．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①；②；③；④若，则或．其中结论正确的序号是 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算，计算判断即可． 本题考查了新定义运算，正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故①，正确； ②；，错误； ③，错误； ④根据，解得或，正确． 故答案为：． 36．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）定义一种新运算：规定，如． (1)计算的值． (2)若表示不大于的最大整数，如：，求． 【答案】(1)3 (2)28 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题关键． 根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）． 【易错必刷十三 实数运算相关的规律题】 37．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以四次循环，再得到，结合每组尾数的和，从未可得答案． 【详解】解：∵ ∴尾数以四次循环， 而，， ∴的末位数字为0， 故选A． 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以四次循环是解本题的关键． 38．（24-25八年级上·四川简阳·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 39．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）例：；；，求： ＋……＋的值． 【答案】 【分析】根据已知式子规律，先把分数拆项，再把第2项与第3项互相抵消，第4项与第5项互相抵消，以此类推，则只剩下第1项与最后1项，据此解答即可． 【详解】解：原式＝1－… ＝1－ ＝． 【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【易错必刷十四 算数平方根有关的规律探索题】 40．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据已知条件，利用算术平方根的小数点移动规律逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 41．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若利用计算器求得，，则根据此值估计的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键． 根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 42．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 【答案】(1)4；5；20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：4；5；20； （2）解：由（1）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（2）猜想：， 故答案为：； （4）解：． 【易错必刷十五 与立方根有关的规律探索题】 43．（24-25八年级上·四川资阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 44．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 45．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 【易错必刷十六 实数运算的实际应用】 46．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 【答案】23% 【分析】根据增长率=今年的增加的支出÷去年的支出总数即可求出． 【详解】去年的支出总数=3600+1200+7200=12000元， 则今年的增加的支出=3600×10%+1200×20%+7200×30%=2760元， ∴小明家今年的总支出比去年增长的百分数=2760÷12000=23%． 故答案为23%． 【点睛】本题考查了增长率的计算．增长率=今年的增加的量÷去年的总量． 47．（24-25八年级上·四川内江·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 48．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 【易错必刷十七 立方根的实际应用】 49．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先变形为，根据平方根的定义，解方程，即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得：或； （2）解： ∴ ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 50．（24-25八年级·四川眉山·阶段练习）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，， (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解； （2）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解； （3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解； 【详解】（1）， ． （2）， ． ． （3）， ． ． ，即． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键． 51．（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1) (2)﹣ (3)当或时，；当或时，；当或时，． 【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可得，已知，若， 则的绝对值是的且符号相反； 用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3）解：，，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或时，； 当或时，． 【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． 【易错必刷十八 算术平方根与立方根的综合应用】 52．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义得出a，b的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∴， 故的平方根是． 【点睛】此题主要考查了立方根以及平方根、算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键． 53．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 【答案】9 【分析】根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 又∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，． 54．（24-25八年级上·四川眉山·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $$