专题05 数的开方章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版2024）

专题05 数的开方章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 实数的取值范围问题 题型四 平方根、立方根的规律探究 题型五 平方根、立方根的实际应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． (1)填空： ， ． (2)试探寻规律，找出的值 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）观察下列式子，寻找规律： ①  ②  ③， (1)根据以上规律写出第④个等式：_______________________； (2)写出第个等式，并证明该结论的正确性． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 4．（24-25八年级上·四川内江·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 5．（2025·四川宜宾·模拟预测）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：______=______； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 6．（2025·四川简阳·模拟预测）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 7．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）观察下列各式：          请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 8．（2025·福建厦门·模拟预测）小明在学习指数运算时，思考了一个问题：如果正数a的幂指数是一个非整数的正有理数，结果如何？ 他使用计算机计算了如下几个数值： 由计算机可知：，，，… (1)写出你发现的规律并加以证明； (2)设，n是正整数，求证：． 9．（2025·四川乐山·模拟预测）观察下列关于自然数的等式： ，① ，② ，③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：　 　； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性； (3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可） 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【经典例题二 实数的新定义运算】 11．（24-25八年级上·四川攀枝花·期末）对任何实数、，定义运算：，其中为常数． (1)已知，求的值； (2)在（1）的条件下，对于任意非零实数，都有，求的值． 12．（23-24八年级上·陕西汉中·阶段练习）佳佳在电脑中设置了一个有理数的运算程序：．例：． (1)求的值； (2)求的值． 13．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，加※键，再输入，得到运算※.如:※. 求※6的值 14．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知、为两个任意有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并求出运算结果：． 15．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______，______； (2)若，，．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·四川攀枝花·期末）已知为不相等的实数，且均不为，现定义有序实数对的“真诚值”为：，如数对的“真诚值”为：，数对的“真诚值”为：． (1)根据上述的定义填空：　　， 　； (2)数对的“真诚值”，求的值．     17．（24-25八年级上·四川简阳·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； （2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：． 18．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 19．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知、、均为正整数，且，当时，我们称正整数为“可媲美勾股数”，把与的积称为的“勾股值”，用表示，即．例如：，，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值． (1)下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有________． ①5    ②25    ③49 (2)求的值． (3)已知正整数为“可媲美勾股数”，且满足，的勾股值为，求的值； 20．（24-25八年级上·河南周口·期中）如果一个整数能表示为两个整数的平方差，那么称这个整数为“智慧数”．例如，，，，，所以1，3，4，5都是“智慧数”． (1)请写出一个除1，3，4，5之外的“智慧数”：______． (2)小明同学对“智慧数”进行研究，并提出了如下两个猜想（其中k为整数）： ①所有的奇数（即形如的数）都是“智慧数”； ②所有4的倍数（即形如的数）都是“智慧数”； 请从以上两个猜想中任选一个判断正误．如果正确，给出证明；如果错误，说明理由． (3)小明在查阅资料后得知：形如（k为整数）的数不是“智慧数”，例如，2，6，10，…，都不是“智慧数”．在正整数范围内，将所有“智慧数”按从小到大的顺序进行排列，请根据以上信息，直接写出第2025个“智慧数”． 【经典例题三 实数的取值范围问题】 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”． (1)当时，写出“如意点”：______； (2)判断点是否为“如意点”，并说明理由； 22．（2025·四川简阳·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 23．（2025·陕西汉中·模拟预测）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 24．（24-25八年级上·四川内江·期末）阅读下列材料： 对于正数x，规定，例如：． (1)求值： ； ． (2)猜想 ，并证明你的猜想； (3)应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： ． 25．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 26．（24-25八年级上·四川眉山·期末）[阅读理解]对于任意正实数、， ∵，∴， ∴（只有当时，）． 即当时，取值最小值，且最小值为． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当______时，有最小值为______； 问题2：若函数，则当______时，函数有最小值为______． 27．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如可以分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以． (1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数，总有； (2)如果一个两位正整数，（，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值． 28．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是其小数部分，求出的值． 29．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 30．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中是有理数，是无理数，那么且． 如：若，其中是有理数，求的值． 解：是无理数，是有理数，，解得． 请你根据以上信息，解决下列问题． (1)若，其中是有理数，则 ， ． (2)若，其中是有理数，则 ， ． (3)已知都是有理数，且，求的平方根． (4)若，其中是有理数，求的算术平方根． 【经典例题四 平方根、立方根的规律探究】 31．（24-25八年级上·四川资阳·期中）归纳与探究 (1)计算：；______；______；______；______． (2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢? (3)应用：根据上面发现的规律，求的算术平方根． 32．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）探索规律． (1)__________；__________； __________；__________；__________； (2)__________； (3)若，则__________；若，则__________． 33．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 34．（24-25八年级上·四川眉山·期中）（1）填空： ＝0.01，＝ ，＝1，＝10，＝ ，… （2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ①已知 ≈3.16，则 ≈ ； ②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ． （3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26，≈12.6，则m＝ ． 35．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 36．（24-25八年级上·四川巴中·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 37．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 38．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 39．（23-24八年级上·四川眉山·期末）综合探究∶表示无理数整数部分与小数部分的思路： 的整数部分为2，小数部分为 根据观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ： (2)已知 其中a是 是整数部分，b是 小数部分．求 的平方根： (3)已知 的小数部分为m， 的小数部分为n，求关于x的不等式组 的解集． 40．（24-25八年级上·四川乐山·期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中． (1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整； 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (2)请你仿照表中的规律，将表补充完整． 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现． （提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果）． 【经典例题五 平方根、立方根的实际应用】 41．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 42．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为 和 ，求大正方形的面积． 43．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）已知一个正方体的体积为． (1)求正方体的棱长． (2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 44．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）小梦制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小梦能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 想一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 46．（23-24八年级上·陕西汉中·期中）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 47．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 48．（24-25八年级上·四川内江·期中）根据如表回答下列问题 x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 x2 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21 （1）566.44的平方根是　　； （2）﹣≈　　；（保留一位小数） （3）满足23.6＜＜23.7的整数n有　　个． 49．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 50．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． (2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______． (3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数的开方章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 实数的取值范围问题 题型四 平方根、立方根的规律探究 题型五 平方根、立方根的实际应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． (1)填空： ， ． (2)试探寻规律，找出的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据差倒数的定义，运算规则即可求解； （2）根据差倒数的定义，运算规则，找出规律，由此即可求解． 【详解】（1）解：，是的差倒数， ∴， ∵是的差倒数， ∴， 故答案为：，． （2）解：，，， ∴， ，，┈， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）观察下列式子，寻找规律： ①  ②  ③， (1)根据以上规律写出第④个等式：_______________________； (2)写出第个等式，并证明该结论的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知等式的各部分和序号的关系可得结果； （2）根据发现的规律，归纳出第n个等式，再利用二次根式的性质和分式的运算法则化简即可证明． 【详解】（1）解：第④个等式为：, 故答案为：； （2）第个等式为：， 证明：∵n为正整数， ∴ 【点睛】本题考查了数字型规律，二次根式的性质，分式的加法运算，解题的关键是发现已知等式的性质，神域归纳总结． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 4．（24-25八年级上·四川内江·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 5．（2025·四川宜宾·模拟预测）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：______=______； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1)， (2)，详见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键． （1）计算，根据上述等式规律可得； （2）根据上述等式，得出规律，，且为整数），再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … ； 故答案为：，； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数） 证明： ； ∴左边右边， ∴等式成立． 6．（2025·四川简阳·模拟预测）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 7．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）观察下列各式：          请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，． 8．（2025·福建厦门·模拟预测）小明在学习指数运算时，思考了一个问题：如果正数a的幂指数是一个非整数的正有理数，结果如何？ 他使用计算机计算了如下几个数值： 由计算机可知：，，，… (1)写出你发现的规律并加以证明； (2)设，n是正整数，求证：． 【答案】(1)（m，n均为正整数，a正数），证明见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用幂的乘方运算证明即可； （2）结合和（1）中的规律可得，再利用同底数幂的乘法运算法则进行变形即可证明． 【详解】（1）规律：（m，n均为正整数，a正数）， 证明：， 结论得证； （2）结合和（1）中的规律可得： ， ∵，n是正整数， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了根式的计算，同底数幂的乘法运算等知识，得出是解答本题的关键． 9．（2025·四川乐山·模拟预测）观察下列关于自然数的等式： ，① ，② ，③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：　 　； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性； (3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)第n个等式为：，验证见解析 (3) 【分析】（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：，对等式右边进行整理即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字， 所以第四个式子右边应该是：； 故答案为：； （2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1， 再由（1）可知，第n个式子应该就是：； 等式右边左边， 所以猜想正确； （3） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由（1）得：； 故答案为： （3） 【经典例题二 实数的新定义运算】 11．（24-25八年级上·四川攀枝花·期末）对任何实数、，定义运算：，其中为常数． (1)已知，求的值； (2)在（1）的条件下，对于任意非零实数，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得方程，解方程即可； （2）根据题意列得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由题意得， 则， 对于任意非零实数，此式都成立， ， 解得：． 12．（23-24八年级上·陕西汉中·阶段练习）佳佳在电脑中设置了一个有理数的运算程序：．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示的运算法则，有理数的运算即可求解； （2）根据材料提示的运算法则，有理数的运算即可求解； 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，有理数的加减混合运算，理解定义新运算的法则，有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 13．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，加※键，再输入，得到运算※.如:※. 求※6的值 【答案】-21 ． 【分析】根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（-2）※6的值是多少即可． 【详解】解：※6 = =   = = =-21 ． 故答案为-21 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 14．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知、为两个任意有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并求出运算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查的知识点是新定义下的实数运算、有理数的四则混合运算，解题关键是理解题意． （1）根据题中定义的运算方法进行运算即可； （2）根据题中定义的运算方法进行运算即可； （3）根据题中定义的运算方法进行运算即可； （4）根据题中定义的运算方法进行运算即可． 【详解】（1）解：依题得：． （2）解：依题得：． （3）解：依题得：， ， ， ， ， ． （4）解：例如：（答案不唯一）． 15．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______，______； (2)若，，．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)2，0， (2)，理由见解析 【分析】此题考查了新定义问题，同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是根据题意列出等式． （1）根据代入数运算即可； （2）首先得到，，，然后根据题意列出等式求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴根据题意得，，，； （2）解：． 理由：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·四川攀枝花·期末）已知为不相等的实数，且均不为，现定义有序实数对的“真诚值”为：，如数对的“真诚值”为：，数对的“真诚值”为：． (1)根据上述的定义填空：　　， 　； (2)数对的“真诚值”，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据“真诚值”的定义，应用的是计算，应用的是计算，由此即可求解； （2），根据“真诚值”的定义，分类讨论，当时，当时，运用不同的计算式子，即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；． （2）解：当时，，解得，；             当时，，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握分类讨论，有理数的计算是解题的关键． 17．（24-25八年级上·四川简阳·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； （2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：． 【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；（2） 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数的混合运算． （1）根据实数的分类填写即可； （2）将，0代入计算即可求解． 【详解】解：（1）填数如下： 即①；②；③1；④；⑤0；⑥； （2）∵，①，⑤0， ∴． 18．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 19．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知、、均为正整数，且，当时，我们称正整数为“可媲美勾股数”，把与的积称为的“勾股值”，用表示，即．例如：，，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值． (1)下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有________． ①5    ②25    ③49 (2)求的值． (3)已知正整数为“可媲美勾股数”，且满足，的勾股值为，求的值； 【答案】(1)①② (2)0或20 (3)的值为29、45 【分析】本题主要考查了完全平方公式，新定义的理解和运用，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“可媲美勾股数”的定义即可判断； （2）先确定，从而计算的值即可； （3）先根据新定义可得 ，则，可得，结合，即可解答． 【详解】（1）解：①，则5是一个“可媲美勾股数”； ②，则25是一个“可媲美勾股数”； ③49没法写出两个正整数的平方和，则49不是一个“可媲美勾股数”； 故答案为：①②； （2）解：∵， ∴， ∵； （3）解：由题意得： ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴当时，， 当时，， 综上，m的值是29或45． 20．（24-25八年级上·河南周口·期中）如果一个整数能表示为两个整数的平方差，那么称这个整数为“智慧数”．例如，，，，，所以1，3，4，5都是“智慧数”． (1)请写出一个除1，3，4，5之外的“智慧数”：______． (2)小明同学对“智慧数”进行研究，并提出了如下两个猜想（其中k为整数）： ①所有的奇数（即形如的数）都是“智慧数”； ②所有4的倍数（即形如的数）都是“智慧数”； 请从以上两个猜想中任选一个判断正误．如果正确，给出证明；如果错误，说明理由． (3)小明在查阅资料后得知：形如（k为整数）的数不是“智慧数”，例如，2，6，10，…，都不是“智慧数”．在正整数范围内，将所有“智慧数”按从小到大的顺序进行排列，请根据以上信息，直接写出第2025个“智慧数”． 【答案】(1)7（答案不唯一） (2)①说法正确；理由见解析；②说法正确；理由见解析 (3)2700 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是熟练理解新定义． （1）根据“智慧数”定义得出答案即可； （2）①取，，求出，即可得出答案； ②取，，则，即可得出答案； （3）先得出一般规律：在正整数范围内，“智慧数”有：1、3、4、5、7、8、9、11、12……，得出每4个连续自然数中有3个“智慧数”，每组中最后一个为，求出第2025个“智慧数”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴7是“智慧数”； （2）解：①说法正确，理由如下： 取，， 则， ∵k为整数， ∴为奇数， ∴所有的奇数都是“智慧数”； ②取，， 则， ∵k为整数， ∴为整数， ∴所有4的倍数（即形如的数）都是“智慧数”； （3）解：根据解析（2）可知：所有的奇数，所有的4的倍数都是“智慧数”， ∵形如（k为整数）的数不是“智慧数” ∴在正整数范围内，“智慧数”有：1、3、4、5、7、8、9、11、12……， 即每4个连续自然数中有3个“智慧数”，每组中最后一个为， ∵， ∴第2025个“智慧数”为第675组的最后一个数， ∴第2025个“智慧数”为． 【经典例题三 实数的取值范围问题】 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”． (1)当时，写出“如意点”：______； (2)判断点是否为“如意点”，并说明理由； 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“如意点”的定义求出n的值，进而求出和的值即可得到答案； （2）求出和时n的值，再验证是否成立即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， ∴“如意点”为； 故答案为：； （2）解：点是“如意点”．理由如下： 当时，，当时，， ∴此时 ∴此时满足， ∴点是“如意点”． 22．（2025·四川简阳·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 【答案】(1)3⊕5的值是19 (2)的值是否与的取值无关，证明见解析 【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． （1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别． 【详解】（1）由题意得， 3⊕ ， 即3⊕5的值是19； （2）的值是否与的取值无关， 证明：由题意得， ⊕3 ； ⊕ ， ， 的值是否与的取值无关． 23．（2025·陕西汉中·模拟预测）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24．（24-25八年级上·四川内江·期末）阅读下列材料： 对于正数x，规定，例如：． (1)求值： ； ． (2)猜想 ，并证明你的猜想； (3)应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： ． 【答案】(1)1，1 (2)1，证明见解析 (3)2022.5 【分析】本题考查代数式求值，分式的加减法以及数字的变化类，理解新定义的函数的意义，掌握分式加减法的计算法则以及数字所呈现的规律是解决问题的前提． （1）根据新定义的换算进行计算即可； （2）根据规律得出答案； （3）利用加法的结合律以及（2）中的规律得出答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：1，1； （2）解：， ， 故答案为：1； （3）解：原式 ． 25．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，需根据定义将问题转化为指数方程求解，解题的关键是注意整数条件的限制． （1）根据定义求解即可； （2）先根据定义得出，然后将方程相乘，再与 ③联立列出得出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； 【小问2】 整数a，m，n，满足，，， ， 得，④， 由③、④得，， ，解得，． 26．（24-25八年级上·四川眉山·期末）[阅读理解]对于任意正实数、， ∵，∴， ∴（只有当时，）． 即当时，取值最小值，且最小值为． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当______时，有最小值为______； 问题2：若函数，则当______时，函数有最小值为______． 【答案】（1）2，4；（2）4，7 【分析】（1）根据题目给的公式去计算最小值和m的取值； （2）先将函数写成，对用上面的公式算出最小值，和取最小值时a的值，从而得到函数的最小值． 【详解】解：（1）， 当，即（舍负）时，取最小值4， 故答案是：2，4； （2）， ， 当，，，（舍去）时，取最小值6， 则函数的最小值是7， 故答案是：4，7． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算． 27．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如可以分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以． (1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数，总有； (2)如果一个两位正整数，（，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)所有“吉祥数”中，的最大值是 【分析】（1）根据题意，设，根据，则是m的最佳分解，即可； （2）设交换的个位上的数与十位上的数得到的新数为，则，根据“吉祥数”的定义，得，推出；再根据，确定“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的，比较后可得最大值． 【详解】（1）对任意一个完全平方数，设（为正整数）， ∵， ∴是的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数m，总有． （2）设交换的个位上的数与十位上的数得到的新数为，则， ∵为“吉样数”， ∴， ∴， ∵，，为自然数， ∴“吉祥数”有：，，，，，，， ∴，，，，， ，， ∵， ∴所有“吉祥数”中，的最大值是． 【点睛】本题考查实数的新运算，解题的关键是掌握题目中最佳分解，“吉祥数”的定义． 28．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是其小数部分，求出的值． 【答案】(1)3；； (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键； （1）仿照材料计算即可； （2）仿照材料求出a，b，再代入计算即可； （3）求出x，y，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为3，小数部分为． 故答案为：3；； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ∴的值是； （3）解：， ， ， ∵是的整数部分，是其小数部分， ，， ， ∴的值为． 29．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)3； (2)1 (3) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键； （1）根据题意求出，即可求解； （2）利用，得出，得到的整数部分是2，的小数部分是，则，同理可得的整数部分是，即，代入即可得到答案； （3）求出，则，由，其中是整数，且得到，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：， ， 的整数部分是，小数部分是，即． 同理可得的整数部分是，即， ； （3）解：∵ ，其中是整数，且， ∴是的整数部分，是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴． 30．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中是有理数，是无理数，那么且． 如：若，其中是有理数，求的值． 解：是无理数，是有理数，，解得． 请你根据以上信息，解决下列问题． (1)若，其中是有理数，则 ， ． (2)若，其中是有理数，则 ， ． (3)已知都是有理数，且，求的平方根． (4)若，其中是有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)1，0 (2)，2 (3) (4)3 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （3）根据已知可得，求出a，b的值代入式子的值，即可解答； （4）根据已知可得，由a、b为有理数得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （2）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （3）解：∵， ∴． 都是有理数，是无理数， ， 解得， ． 的平方根为． （4）解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， 的算术平方根为3． 【经典例题四 平方根、立方根的规律探究】 31．（24-25八年级上·四川资阳·期中）归纳与探究 (1)计算：；______；______；______；______． (2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢? (3)应用：根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【答案】(1)5；；3； (2)对于任意实数，不一定等于；对于任意实数，有 (3) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）分别计算各式的值即可； （2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可； （3）先利用（2）式的探究结果化简得出答案即可． 【详解】（1）解：；；；． （2）解：对于任意实数，不一定等于； 对于任意实数，有 （3）解：， ， ． 32．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）探索规律． (1)__________；__________； __________；__________；__________； (2)__________； (3)若，则__________；若，则__________． 【答案】(1)2；2；；；0 (2) (3)； 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知求算术平方根的方法是解题的关键． （1），据此计算求解即可； （2），据此计算求解即可； （3）当时，，当时，，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：；； ；；； （2）解：； （3）解：若，则； 若，则． 33．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 【答案】=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值；；5． 【分析】根据计算、观察，可得规律：． 【详解】解：=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值． =5=5． 【点睛】本题考查了立方根，发现规律是解题关键． 34．（24-25八年级上·四川眉山·期中）（1）填空： ＝0.01，＝ ，＝1，＝10，＝ ，… （2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ①已知 ≈3.16，则 ≈ ； ②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ． （3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26，≈12.6，则m＝ ． 【答案】（1）0.1，100；（2）①31.6；②36800；（3）2000． 【分析】（1）直接根据算术平方根的定义填空即可； （2）①首先确定，然后根据的近似值求解即可； ②由两个近似值确定扩大的倍数，然后结合①的思想进行反推求解即可； （3）仿照②的求解过程即可得出结论． 【详解】解：（1）；； 故答案为：0.1；100； （2）①∵，， ∴； 故答案为：31.6； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：36800； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：2000． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和立方根，以及拓展应用，理解算术平方根以及立方根的定义与性质是解题关键． 35．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 36．（24-25八年级上·四川巴中·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 37．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 38．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【答案】(1)右；一； (2)0.235；23.5； (3)19.13；191.3 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 39．（23-24八年级上·四川眉山·期末）综合探究∶表示无理数整数部分与小数部分的思路： 的整数部分为2，小数部分为 根据观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ： (2)已知 其中a是 是整数部分，b是 小数部分．求 的平方根： (3)已知 的小数部分为m， 的小数部分为n，求关于x的不等式组 的解集． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，平方根及解不等式组，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再求 的平方根即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数及的大小，确定、的值，再求 不等式组的解集即可． 【详解】（1）， ， 的整数部分为3，小数部分为， 故答案为：3，； （2）， ， 的整数部分为15，小数部分为， 即， ， 的平方根是； （3）， ， ，， 的小数部分为，的小数部分为， 即， 化为， 解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组的解集为， 40．（24-25八年级上·四川乐山·期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中． (1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整； 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (2)请你仿照表中的规律，将表补充完整． 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现． （提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果）． 【答案】(1)；； (2)；； (3)被开方数的小数点向左或向右移动位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动位． 【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案 （2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案 （3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可 【详解】（1）解：根据题意，得． 故答案为：；；． （2）解：已知， ，． 已知， ． 故答案为：；；． （3）解：通过观察表和表可发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动位． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律． 【经典例题五 平方根、立方根的实际应用】 41．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)49 (2) 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 当时，， ∴； （2）解：把代入方程得， ， 即， 故 【点睛】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键， 42．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为 和 ，求大正方形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，二次根式的混合运算的应用，由算术平方根的定义得出正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，即可得出，再根据正方形的面积求解即可． 【详解】解：， ∴正方形Ⅰ的边长为：，正方形Ⅱ的边长为：， ∴大正方形的边长为： ∴大正方形的面积为： 则大正方形的面积为． 43．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）已知一个正方体的体积为． (1)求正方体的棱长． (2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1) (2)棱长变为原来的2倍 【分析】本题考查了立方根的实际应用． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可； （2）设棱长变为原来的y倍，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体的棱长为， ， 解得：， ∴正方体的棱长； （2）解：设棱长变为原来的y倍， ， ， 解得：， ∴棱长变为原来的2倍． 44．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）小梦制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小梦能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)小梦不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去， ，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）解：小梦不能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ， ∴信封的宽小于正方形贺卡的边长， ∴小梦不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 想一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 【答案】(1)见解析;(2) a＝，b＝10k. 【分析】（1）根据表格中提供数据找出规律即可（2）利用（1）中得到的规律，求出用含k的代数式分别表示a，b. 【详解】解：(1)表中依次填0.01，0.1，1，10，100. 被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向相同方向移动一位． (2)因为＝k，＝a，＝b， 所以a＝，b＝10k. 【点睛】此题重点考查学生对根式的实际应用能力，找出规律是解题的关键. 46．（23-24八年级上·陕西汉中·期中）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 【答案】 【分析】主要考查了算术平方根的应用，有理数混合运算的应用，由题可知，图2中间小正方形的面积是1，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积；把大正方形的面积的值开方即可得到大正方形的边长． 【详解】解：根据题意，得图②中大正方形的面积为， 图②中大正方形的边长为． 47．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形绣布的周长为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的应用，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用长方形的面积等于长乘宽，得，故，分别得出长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为，结合周长公式列式计算，即可作答． （2）先得出直径，再结合 ，故，所以不能裁出半径为的圆形绣布， 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意可知， ∴ ， ， 由边长的实际意义得 ∴长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为， 即长方形绣布的周长为 ， （2）解：不能，理由如下： 圆形绣布的直径， ∵， ， ， ∴不能裁出半径为的圆形绣布， 48．（24-25八年级上·四川内江·期中）根据如表回答下列问题 x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 x2 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21 （1）566.44的平方根是　　； （2）﹣≈　　；（保留一位小数） （3）满足23.6＜＜23.7的整数n有　　个． 【答案】（1）；（2）-23.7；（3）5 【分析】（1）根据表格给的对照表即可求出； （2）根据表格给的对照表即可求出； （3）由表格找到23.62＝556.96，23.72＝561.69，列出不等式556.96＜n＜561.69，找出整数n=557，558，559，560，561的5个值即可． 【详解】解:（1）由表中数据可得：566.44的平方根是：±23.8； 故答案为：±23.8； （2）∵23.72＝561.69， ∴≈23.7， ∴﹣≈﹣23.7， 故答案为：﹣23.7； （3）∵23.62＝556.96，23.72＝561.69， 556.96＜n＜561.69， n=557，558，559，560，561， ∴满足23.6＜＜23.7的整数n有5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查平方根与平方对照表的实数运算应用，掌握利用对照表求平方根得方法． 49．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 50．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． (2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______． (3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数． 【答案】(1)阴影部分的面积为，边长为； (2)； (3)． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，求出棱长，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据的长以及A与1重合，即可求解； （3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，魔方为正方体，其棱长为， ∴小立方体的棱长为1， 则正方形的面积为， 设正方形的边长为，则，解得 答：阴影部分的面积为，边长为； （2）由（1）可得， 又∵A与1重合，在的左边， ∴点表示数的为 故答案为： （3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度， 又∵A与1重合， ∴点B在数轴上表示的数为 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，立方根和算术平方根的应用，解题的关键是能求出正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$