专题04 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版2024）

第04讲 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 无理数的估算 题型五 实数的规律计算题 题型六 实数的新定义运算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，负整数指数幂，零指数幂以及绝对值的化简，正确运算是解决本题的关键． 根据算术平方根，负整数指数幂，零指数幂以及绝对值的化简运算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·四川内江·期中）计算： 【答案】4 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，先计算算术平方根，负整数指数幂，零次幂，再计算加减即可. 【详解】解： . 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值意义和零指数幂、负整数指数幂运算法则是解决问题的关键． 先根据绝对值意义、零指数幂和负整数指数幂运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式= = =． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的近似计算，熟练掌握算术平方根、立方根以及的近似值，和小数的四则运算规则是解题的关键． （1）先分别求出和的近似值，再做减法运算，最后按要求保留小数位数． （2）先求出的近似值，再与的近似值相乘，最后保留两位小数． 【详解】（1）解：， （2）解：， 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题分别考查了幂的运算及实数的混合运算，解决这类问题的关键 是熟练掌握相关的计算法则． （1）首先利用算术平方根、立方根的定义化简，然后利用有理数加减法则计算即可求解； （2）首先利用幂的运算，然后利用同类项加减法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2） 6．（25-26八年级上·河南驻马店·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 7．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，分式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据实数的混合计算法则和零指数幂，负整数指数幂，绝对值计算法则求解即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） 8．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂分别计算后再合并即可； （2）根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方分别运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题综合考查了幂的运算，包括乘方、零次幂和负整数指数幂的运算规则，同底数幂乘法，单项式乘以单项式，积的乘方的逆用． （1）先对各项进行乘方、零次幂和负整数指数幂运算，再进行加减运算即可； （2）根据单项式乘以单项式法则计算即可得到结果； （3）先根据同底数幂乘法法则计算，再合并即可； （4）将化为，再逆用积的乘方对式子进行化简计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ； （4） 10．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）（1）求下列各式的值： ①     ② （2）求下列各式中的值： ①；         ② 【答案】（1）①，②；（2）①或，② 【分析】本题考查了实数的混合运算、利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①先去括号，去绝对值，然后再进行加减运算即可； ②先计算立方根和算术平方根，再算括号，后算加减即可； （2）①利用平方根的定义求解即可； ②先去分母，再直接开立方即可求解． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① ， 解得或； ② ， 即， 解得． 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）求x的值： 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键；系数化为1可得，再根据平方根的定义解方程即可； 【详解】解：， ， ； 12．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）求的值：． 【答案】或． 【分析】本题考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．根据求平方根的方法的解方程即可． 【详解】解： 或． 13．（24-25八年级上·四川资阳·期中）求下列式子中的值：． 【答案】或． 【分析】本题考查了利用平方根解简单方程，熟记定义是解答本题的关键． 先两边都除以4，再根据平方根的定义进行求解； 【详解】解：两边都除以4，得 ， 两边都除以4得，， 由平方根的定义得，， 即或． 14．（23-24八年级上·四川巴中·期中）求x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． 利用平方根的定义解各个方程即可． 【详解】（1）解：，                                            ； （2）解：， 或 或． 15．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 16．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算和解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查零次幂的含义，算术平方根的含义，开方法解方程的综合． （1）先计算乘方，零次幂，算术平方根，再合并即可求解； （2）根据直接开方法解方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 直接开方得， 移项，， ∴，， ∴原方程的解为，． 17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根的性质，平方根解方程，掌握平方根的概念及计算是解题的关键． （1）根据平方根的性质得到，解方程即可求解； （2）把代入，由平方根的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； （2）解：由（1）知，则， ∴， 解得，， ∴． 18．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知2既是的平方根，也是的立方根，解关于的方程． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义列出方程求得，的值，代入方程，根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：是的平方根， ， ， 是的立方根， ，即， ， 原方程可变为， ， ， 解得：或． 19．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）（1）阅读理解：在八年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方根的定义，乘方的意义． （1）先移项，然后根据平方根的定义直接开平方即可； （2）先移项整理得，再根据平方根的定义开平方得，再解一元一次方程即可； （3）根据乘方的意义和平方根的定义开两次平方即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 或； （3）， ， 或（舍去）， ． 20．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）【思路回顾】我们知道①，所以当计算时，可以令，使问题转化回到①后再完成计算．即： ． 【拓展尝试】在以上解决问题过程中，我们用到了换元的方法．同样的，我们知道当时，的值为3或，请你试着解下面的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用题干中的换元法，结合当时，的值为3或求解即可； （2）将方程变形为，再同（1）求解． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴，即或， 解得：或； （2）， ∴， ∴， ∴， 同（1）可得：或． 【点睛】本题考查了平方根的应用，解题的关键是读懂题意，利用换元法求解． 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（23-24八年级上·吉林长春·期中）解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查立方根和平方根，掌握求立方根与平方根的方法是本题的关键． （1）同时开平方，进一步计算即可； （2）移项后，两边同时除以8并同时开立方即可． 【详解】（1）解：两边同时开平方，得， ∴或， 解得或； （2）解：移项，得， 两边同时除以8，得， 两边同时开立方，得． 22．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 23．（24-25八年级上·广西崇左·期中）求下列方程中x的值． （1）9x2﹣16=0 （2）计算：+﹣． 【答案】（1）x=±；（2）1 【详解】试题分析：（1）直接利用平方根的定义分析得出答案； （2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简求出答案． 试题解析：（1）9x2﹣16=0 9x2=16， 则x2=， 解得：x=±； （2）原式=﹣3+3+1=1． 24．（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2)求下列方程中的x的值：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，得用立方根解方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用乘方、绝对值、立方根计算，最后算加减即可； （2）移项，开立方，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·四川资阳·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）利用立方根的定义求解即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ， 或 解得：或； （3）解： ， 解得：； （4）解： ， ， 解得：． 26．（25-26八年级上·河南驻马店·单元测试）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根是解题的关键． （）根据平方根定义解方程即可； （）根据立方根定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算： (1)； (2)求的值：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根，平方根解方程的方法是关键． （1）分别算出乘方，算术平方根，立方根的值，最后算加减即可； （2）根据平方根的计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∵， ∴． 28．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算和解方程 （1）         （2） （3）；  （4）   （5）.             （6）(2x-3)2=36 【答案】（1）-； （2）  ； （3） ；（4） ；  （5）x=1 ； （6）x=或x= 【详解】本题涉及实数的运算与化简、用开平方、开立方、二次根式化简、解方程的知识，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，根据平（立）方根的定义进而求出结果．． 解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式= （5）方程两边开立方，得x-0.7=0.3，则x=1. （6）方程两边开平方得，2x-3=±6，2x=9或2x= -3， ∴或． “点睛”此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（4）题根据二次根式的性质化简，要注意a的取值范围．（5）题考查了立方根的概念；立方根的性质：一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根是负数,0的立方根是0． 29．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、运用平方根、立方根解方程等知识点，灵活运用平方根、立方根解方程成为解题的关键． （1）先根据平方根、立方根、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先求得，然后再根据平方根解方程即可； （3）先运用立方根求得，进而求得x的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， 所以该方程的解为． （3）解：， ， ． 30．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）（1）化简并求值∶已知x=-3，y=2，求（）÷的值． （2）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与 2a-9． ①求a的值及这个正数； ②求关于x的方程 ax3-（-8）2=0 的解． 【答案】（1）；（2）①，这个数是49；②4 【分析】（1）根据分式的运算法则化简，代入数值进行计算即可； （2）①根据一个正数的平方根是互为相反数列出方程，解方程求出a，进而求出这个平方根；②根据立方根的概念计算即可． 【详解】解：（1）（）÷ = = = = 把x=-3，y=2代入，原式= ； （2）①∵一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9， ∴a+6+2a﹣9＝0， 解得，a＝1， 则a+1＝7， ∵72＝49， ∴这个正数是49； ②方程可化为：x3﹣（﹣8）2＝0，即x3﹣64＝0， 解得，x＝4． 【点睛】本题考查了分式化简求值、平方根的概念、立方根的概念，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【经典计算题四 无理数的估算】 31．（2024八年级上·河南驻马店·专题练习）比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．先将两数通分得到和，再将两数平方得到，得到，即可比较和的大小． 【详解】解：，， 将两数平方，即， ， ， ， ． 32．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根、立方根的定义，无理数的估算，计算求值即可； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键． 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）估算出，即可计算答案； （2）估算出，即可计算答案； （3）估算出，即可计算答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴   ； （3）∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的估算、有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数，有理数的运算法则及运算性质等同样适用，关键在于估算出的范围． 35．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义计算求值即可； （2）利用无理数的估算化简绝对值后，再根据算术平方根和平方的定义计算求值即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴原式= ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的估算，化简绝对值和平方的计算；要注意运算过程中正负号的变化． 36．（24-25八年级上·河南驻马店·课前预习）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 【答案】见解析 【详解】解：①第一个错．因为0.0662＝0.004 356，所以估算错误． ②第二个错．因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误 ③第三个错．因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是小于的最大整数． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根和立方根定义，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2，c是小于的最大整数， ∴，，， 解得． （2）解：∵ ∴， 则的平方根为． 38．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提． （1）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （2）估算无理数的大小，根据题意确定x、y的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分 又∵， ∴的整数部分， ∴； （2）∵ ∴ 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴ ∴的相反数是． 39．（23-24八年级上·河南新乡·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 40．（23-24八年级上·四川眉山·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)； (3)的值是． 【分析】本题考查了无理数的估算与运算． （1）先根据无理数的估算即可求解； （2）先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算，再根据整数性和求出x、y的值，再代入计算有理数的减法，然后根据相反数的定义即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：，， ，， 即，， 的小数部分为，即， 的整数部分为3，即， 则； （3）解：， ，即， ， ， 是整数，且 则的值是． 【经典计算题五 实数的规律计算题】 41．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）（规律探究题）对于有理数a、b，定义运算：ab= a×b+a+b+1，请根据定义计算（-3）4的值． 【答案】-10． 【分析】根据题中有理数的定义运算即可得出答案． 【详解】解：（-3）4=（-3）×4+（-3）+4+1=-12-3+5=-10． 故答案为：-10． 【点睛】本题考查新定义题型、有理数的混合运算，属于基础题型． 42．（2025八年级上·四川内江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 43．（24-25八年级上·四川巴中·期末）观察下列等式：，， 把以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)规律应用    计算：． (3)拓展提高  计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出等式的结构特点即可求解； （2）将所给式子写成，结合（1）中结论即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解：由给出等式的结构特点可得： 故答案为： （2）解：原式 （3）解： 原式 【点睛】本题考查了与实数运算有关的规律问题．重点考查学生的抽象概括能力和举一反三的能力． 44．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）（1）任意找一个正数，利用计算器将该数除以，将所得结果再除以……随着运算次数的增加，你发现了什么？ （2）再用一个负数试一试，看看是否仍有类似规律． 【答案】（1）结果越来越小，趋于；（2）结果越来越大，但也趋于 【分析】（1）选取一个数12，然后进行求解，观察规律即可； （2）选取一个负数-12，然后一次次进行求解，观察规律即可． 【详解】解：（1）选取正数（不唯一） 第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 第五次： 第六次： 第七次： …… 规律：结果越来越小，趋于 （2）选取负数（不唯一） 第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 第五次： 第六次： 第七次： …… 规律：结果越来越大，趋于 【点睛】此题考查了数字类规律的探索，涉及了有理数的除法，解题的关键是正确计算出各项数据，观察规律进行求解． 45．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 46．（24-25八年级上·山西长治·期中）观察下列算式： ①（1+）（1﹣）=×=1；②（1+）（1﹣）=×=1；③（1+）（1﹣）=×=1； 根据以上算式的规律，解决下列问题： （1）第⑩个等式为：　 ； （2）计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）． 【答案】（1）＝1；（2）1 【分析】（1）根据式子的序号与分母之间的关系即可求解； （2）利用交换律，转化为已知中的式子进行求解即可． 【详解】解：（1）第⑩个等式是（1+）（1﹣）=×=1， 故答案是：（1+）（1﹣）=×=1； （2）原式=（1+）（1﹣）×（1+）（1﹣）×…×（1+）（1﹣）=1． 【点睛】本题考查了有理数的运算，理解式子的序号与分母之间的关系是关键． 47．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 【答案】(1)a2013－1 (2)22014－1 (3) 【分析】（1）根据题意，由已知算式发现其规律：（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1即可得出答案； （2）由发现的规律，将a换为2，计算即可得到答案； （3）将a换为5，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1， 故答案为：a2013－1； （2）解：∵（2－1）（22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1）＝22014－1 ∴22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是22014－1； 故答案为：22014－1； （3）解：∵（5－1）（52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1） ＝， ∴52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值为 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题关键是根据题中给出的算式发现其中的规律． 48．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 【答案】（1）；见解析（2），见解析 【分析】（1）参照题目中的计算方法计算即可； （2）依据题目给出的数字可发现规律，按照题目解题方法验证即可． 【详解】解：（1）， 验证：； （2）由① ②； ③； ④， …… 第n个等式是， 验证：． 【点睛】本题考查了算术平方根的化简，解题关键是理解题目中的解法并会运用． 49．（24-25八年级上·河南周口·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)探索以上式子的规律，写出第n个等式　 　（用含n的字母表示）； (2)若式子满足以上规律，则　 　，　 　； (3)应用规律计算： 【答案】(1) (2)506，504 (3)1260 【分析】（1）根据观察得出规律，进而解答即可； （2）通过观察可知，得出含n的简单方程，解出即可． （3）解题的关键在于，根据（1）（2）所给算式归结总结出一般规律，再利用规律解题即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； … 总结可得： 第n个等式为：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴，． 故答案为：， （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，有理数的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题． 50．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ． 【经典计算题六 实数的新定义运算】 51．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）规定． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)243 (2)1 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． （2）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以，则， 解得． 52．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若规定， （1）计算：_______． （2）若，求x的值． 【答案】（1）-2；（2）． 【分析】（1）利用题中的新定义列式计算即可； （2）利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可． 【详解】解：（1）由新定义得：-2； （2）依题意得：4(1-x)-2(x-1)=-1， 4-4x-2x+2=-1， -6x=-7， 解得：． 【点睛】此题考查实数混合运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 53．（24-25八年级上·四川乐山·期中）规定一种运算△=.如：计算2△3=222×3-1=4-6-1= -3．请你根据上面的规定试求△（5△2）的值． 【答案】 【分析】根据新运算的运算顺序，把4△（−5）列出式子，再根据有理数混合运算的顺序和法则分别进行计算即可． 【详解】△（5△2）△()＝△（14）＝. 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握新运算的规律是解题的关键，是一道新题型． 54．（23-24八年级上·四川宜宾·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确应用分数的性质将原式变形是解题关键． 根据题意将原式变形，进而根据分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 55．（24-25八年级上·四川内江·期末）定义新运算“@”与“”：, (1)计算的值； (2)若，比较A和B的大小 【答案】（1）1；（2）. 【分析】(1)根据题意新运算的符号进行求解； (2)根据新运算符号分别求出A、B的值在进行比较大小即可. 【详解】解：(1)根据题意得： ； (2) , , , . 【点睛】本题考查新运算，解题关键在于对题意得理解. 56．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a、b是常数，已知． (1)求a、b的值； (2)若，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，定义新运算， 对于（1），根据新定义运算可得：，根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可； 对于（2），根据（1）中的结果和题意，可以得到关于y的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴. ∵， ∴， 解得：． 57．（24-25八年级上·四川巴中·期末）定义新运算:对于任意数都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如： （1）求的值 （2）求的值 （3）求的值 （4）猜想式子化简的结果 【答案】（1）-9；（2）-4；（3）-4；（4）－b2 【分析】(1)根据新定义的运算法则计算即可. (2)根据新定义的运算法则计算即可. (3)根据新定义的运算法则计算即可. (4)利用平方差公式化简即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查新定义的运算,关键在于理解题意. 58．（24-25八年级上·四川资阳·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算； （1）由，代入，即可； （2）先求，代入即可； （3）由，，即可得，解得即可． 【详解】（1）解：由， 得； （2）由， 得； （3）由， ， ， 得， 得． 59．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)189 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握新定义的法则，是解题的关键． （1）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可； （2）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． 60．（24-25八年级上·四川简阳·期中）对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）∵ 又 故 （2）∵ 故 （3）∵ 故 【点睛】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 【答案】=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值；；5． 【分析】根据计算、观察，可得规律：． 【详解】解：=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值． =5=5． 【点睛】本题考查了立方根，发现规律是解题关键． 62．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 【答案】；；；；；；；； 【分析】本题考查数字的变化规律，首先根据已知数据直接计算进行填空即可；利用前面所求得出数字变化规律进而得出发现的规律；最后利用规律解决问题．根据已知数据得出数字中的变与不变是解题关键． 【详解】解：；；； ；；． 发现规律：． ； ． 故答案为：；；；；；；；；． 63．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）解：原式 ． 64．（23-24八年级上·四川乐山·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 【答案】(1) (2)；；143 (3) 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解表格信息是解本题的关键； （1）根据表格信息可得，从而可得答案； （2）根据表格信息可得，再结合算术平方根的规律变化可得答案； （3）根据表格信息可得，结合算术平方根的含义可得的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵由表可知：， ∴ ∴的平方根是． （2）∵， ∴， ， ； （3）∵， ∴， ∵的整数部分是m， ∴， ∴， ∴的值的平方根为． 65．（24-25八年级上·四川资阳·单元测试）（1）计算: = , = , = , = , = , = ； （2）根据（1）中的计算结果可知，一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； （3）利用上述规律计算：= . 【答案】（1）3，0.7， 6，，0.28，0；（2）等于a的绝对值；（3）π-3.14 【分析】（1）根据算术平方根的计算方法计算即可，注意根号里面的数值计算； （2）结合（1）中的计算结果，找出其中的规律； （3）利用（2）中总结的规律计算即可得到结果. 【详解】（1）3;  0.7 ;  6  ; ; 0.28;   0. （2）不一定等于a.规律：等于a的绝对值. （3）由（2）中规律可知，结果为：π-3.14 【点睛】此题重点考查学生对根式计算的综合运用，掌握根式的计算是解题的关键. 66．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 【答案】(1)① -5，5；②-2，2 (2) (3) 【分析】（1）根据立方根的定义解答即可； （2）根据（1）总结规律即可解答； （3）根据（2）所得规律以及（3）的已知条件可得（x-1）+（2x-3）=0，然后求解即可． 【详解】（1）解：①-5，5； ②-2，2． 故答案为① -5，5；②-2，2． （2）解：由（1）的计算可归纳： 故答案为． （3）解：∵与互为相反数 ∴+=0 ∴（x-1）+（2x-3）=0，解得：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根、数字规律以及相反数的意义等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 67．（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）计算：______，______；______，______； （2）请根据（1）中的规律进行计算： ①；②； （3）已知，，用含，的式子表示． 【答案】（1）6，6，20，20；（2）①25，②4；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的定义直接计算得出即可； （2）利用（1）的规律计算即可； （3）利用（1）的规律计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）根据（1）的计算，发现． ∴①， ②； （3）∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数字变化规律，算术平方根的定义等知识，找出规律是解题关键． 68．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）归纳总结得到一般性规律，利用其规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）由观察可知：， 则： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． 69．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ； （3）∵符合， ∴， ∴， ∴． 70．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 想一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 【答案】(1)见解析;(2) a＝，b＝10k. 【分析】（1）根据表格中提供数据找出规律即可（2）利用（1）中得到的规律，求出用含k的代数式分别表示a，b. 【详解】解：(1)表中依次填0.01，0.1，1，10，100. 被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向相同方向移动一位． (2)因为＝k，＝a，＝b， 所以a＝，b＝10k. 【点睛】此题重点考查学生对根式的实际应用能力，找出规律是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 无理数的估算 题型五 实数的规律计算题 题型六 实数的新定义运算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）计算：． 2．（24-25八年级上·四川内江·期中）计算： 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算：． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级上·河南驻马店·随堂练习）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算． (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： (1) (2)． 9．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）（1）求下列各式的值： ①     ② （2）求下列各式中的值： ①；         ② 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）求x的值： 12．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）求的值：． 13．（24-25八年级上·四川资阳·期中）求下列式子中的值：． 14．（23-24八年级上·四川巴中·期中）求x的值 (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2) 16．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算和解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 18．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知2既是的平方根，也是的立方根，解关于的方程． 19．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）（1）阅读理解：在八年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 20．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）【思路回顾】我们知道①，所以当计算时，可以令，使问题转化回到①后再完成计算．即： ． 【拓展尝试】在以上解决问题过程中，我们用到了换元的方法．同样的，我们知道当时，的值为3或，请你试着解下面的方程： (1)； (2)． 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（23-24八年级上·吉林长春·期中）解关于x的方程： (1)； (2)． 22．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 23．（24-25八年级上·广西崇左·期中）求下列方程中x的值． （1）9x2﹣16=0 （2）计算：+﹣． 24．（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2)求下列方程中的x的值：． 25．（24-25八年级上·四川资阳·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 26．（25-26八年级上·河南驻马店·单元测试）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 27．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算： (1)； (2)求的值：； 28．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算和解方程 （1）         （2） （3）；  （4）   （5）.             （6）(2x-3)2=36 29．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 30．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）（1）化简并求值∶已知x=-3，y=2，求（）÷的值． （2）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与 2a-9． ①求a的值及这个正数； ②求关于x的方程 ax3-（-8）2=0 的解． 【经典计算题四 无理数的估算】 31．（2024八年级上·河南驻马店·专题练习）比较和的大小． 32．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）计算：． 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）不用计算器，比较与的大小 34．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）化简： （1） （2） （3） 35．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 36．（24-25八年级上·河南驻马店·课前预习）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是小于的最大整数． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 38．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 39．（23-24八年级上·河南新乡·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 40．（23-24八年级上·四川眉山·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【经典计算题五 实数的规律计算题】 41．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）（规律探究题）对于有理数a、b，定义运算：ab= a×b+a+b+1，请根据定义计算（-3）4的值． 42．（2025八年级上·四川内江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 43．（24-25八年级上·四川巴中·期末）观察下列等式：，， 把以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)规律应用    计算：． (3)拓展提高  计算：． 44．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）（1）任意找一个正数，利用计算器将该数除以，将所得结果再除以……随着运算次数的增加，你发现了什么？ （2）再用一个负数试一试，看看是否仍有类似规律． 45．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 46．（24-25八年级上·山西长治·期中）观察下列算式： ①（1+）（1﹣）=×=1；②（1+）（1﹣）=×=1；③（1+）（1﹣）=×=1； 根据以上算式的规律，解决下列问题： （1）第⑩个等式为：　 ； （2）计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）． 47．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 48．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 49．（24-25八年级上·河南周口·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)探索以上式子的规律，写出第n个等式　 　（用含n的字母表示）； (2)若式子满足以上规律，则　 　，　 　； (3)应用规律计算： 50．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【经典计算题六 实数的新定义运算】 51．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）规定． (1)求； (2)若，求的值． 52．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若规定， （1）计算：_______． （2）若，求x的值． 53．（24-25八年级上·四川乐山·期中）规定一种运算△=.如：计算2△3=222×3-1=4-6-1= -3．请你根据上面的规定试求△（5△2）的值． 54．（23-24八年级上·四川宜宾·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 55．（24-25八年级上·四川内江·期末）定义新运算“@”与“”：, (1)计算的值； (2)若，比较A和B的大小 56．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a、b是常数，已知． (1)求a、b的值； (2)若，求y的值． 57．（24-25八年级上·四川巴中·期末）定义新运算:对于任意数都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如： （1）求的值 （2）求的值 （3）求的值 （4）猜想式子化简的结果 58．（24-25八年级上·四川资阳·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 59．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 60．（24-25八年级上·四川简阳·期中）对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 62．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 63．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 64．（23-24八年级上·四川乐山·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 65．（24-25八年级上·四川资阳·单元测试）（1）计算: = , = , = , = , = , = ； （2）根据（1）中的计算结果可知，一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； （3）利用上述规律计算：= .        66．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 67．（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）计算：______，______；______，______； （2）请根据（1）中的规律进行计算： ①；②； （3）已知，，用含，的式子表示． 68．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 69．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 70．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 想一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 学科网（北京）股份有限公司 $$