专题03 实数重难点题型专训（5个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题03 实数重难点题型专训 （5个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 实数概念理解 题型三 实数的分类 题型四 实数的性质 题型五 无理数的大小估算 题型六 实数与数轴 题型七 实数的大小比较 题型八 实数的混合运算 题型九 程序设计与实数运算 题型十 新定义下的实数运算 题型十一 无理数整数部分的有关计算 题型十二 实数运算的实际运用 题型十三 与实数运算相关的规律题 拓展训练一 勾股定理与无理数 拓展训练二 无理数估算的几何问题 拓展训练三 实数的规律探究问题 知识点一、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，非完全平方数的平方根，无法化简为整数或分数，是无限不循环小数，仍然是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川内江·期末）在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个； 故答案为：1． 知识点二、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·模拟预测）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【详解】解：实数a与2024互为相反数， a的值为， 故选：D 2．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）了解无理数与实数的概念 （1） 小数叫做无理数； （2）有理数和 统称为实数． 【答案】 无限不循环 无理数 【分析】根据无理数与实数的概念进行填空． 【详解】解：（1）无限不循环小数叫做无理数； （2）有理数和无理数统称为实数． 【点睛】本题考查了无理数与实数的概念． 知识点三、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·课前预习）有理数和无理数统称为 ，即实数可以分为 和 ． 由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也有 之分，所以实数还可以按大小分类如下： 【答案】 实数 有理数 无理数 正负 【解析】略 知识点四、实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ．(结果保留π)    【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴．用1减去圆的周长即可得出结果． 【详解】解：由题意，则A点表示的数是； 故答案为： 知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2025·河南新乡·模拟预测）在这四个数中，比小的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查实数比较大小，根据题意，得到即可确定答案．掌握实数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 在这四个数中，比小的是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）比较下列两个数的大小： （用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较，绝对值大的数反而小．先求出各个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，最后根据两个负数比较，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 无理数】 【例1】（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）下列各数为无理数的是（   ） A． B．0.1212212221 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查无理数，化简算术平方根，根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数． 【详解】解：下列各数为无理数的是（ ） 是整数，属于有理数， 0.1212212221是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是无理数， 故选：D． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根是，它是有理数， 再取算术平方根是，它还是有理数， 再取算术平方根是，它是无理数， 故输出的结果是， 故选：． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）任意写出到之间一个无理数 ． 【答案】 【分析】根据无理数的定义进行解答即可； 【详解】无理数是无限不循环小数，， ， 符合条件； 故答案为: （答案不唯一） 【点睛】本题考查的是无理数的定义，属开放性题目，答案不唯一． 3．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）在、、、、…、中，共有 个无理数． 【答案】1978 【分析】在这些数中能够开方开尽的数是完全平方数，把这些数去除后剩余的数即为无理数． 【详解】∵452=2025 ∴在、、、、…、中有44个数能开方为有理数， 2022-44=1978． 故答案为：1978． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义； （1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）∵， ， ∵m、n为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，，的算术平方根为； 当，时，，的算术平方根为； 综上所述，的算术平方根为或． 【经典例题二 实数概念理解】 【例2】（2025·四川资阳·模拟预测）实数的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】依据算术平方根根的定义求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴的算术平方根是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）下列五个命题： ①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可. 【详解】①正确； ②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误； ③正确； ④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确； 故选：B． 【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】根据公式法可进行因式分解． 【详解】解： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查实数及因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝ ． 【答案】{﹣3，0，1，7} 【分析】利用集合的定义及集合A与集合B的和求解即可． 【详解】∵A={0，1，7}，B={-3，0，1}， ∴由集合的定义，可得A+B={-3，0，1，7}． 故答案为{-3，0，1，7}． 【点睛】本题主要考查了实数，解题的关键是正确理解集合的定义． 4．（2024八年级上·四川巴中·专题练习）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)；0；1； (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶ （1）根据已知可求得a、b、c、d的值； （2）根据（1）中的值代入即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是倒数是它本身的正数， ∴， ∵d是9的负平方根． ∴， 故答案为：；0；1；； （2）解∶ 由（1）知：；；；； ∴ ． 【经典例题三 实数的分类】 【例3】（24-25八年级上·四川宜宾·开学考试）下列各数中，负整数是（   ） A． B．2.1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，负整数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 根据负整数的定义求解即可． 【详解】解：A、是无理数，不是整数，故不符合题意； B、2.1是小数，不是整数，故不符合题意； C、0不是负整数，故不符合题意； D、是负整数，故符合题意， 故选：D． 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①0是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义及其关系，①根据实数的定义即可判定；②根据无理数的定义即可判定；③根据无理数、有理数的定义即可判定；④根据分数和无限小数的关系即可判定；⑤根据无理数的概念即可解答． 【详解】解：①没有最小的实数，故说法错误； ②无理数就是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，故说法错误； ③不带根号的数不一定是有理数，例π就不带根号但它是无理数，故说法错误； ④无限循环小数能化成分数，故说法错误； ⑤无限不循环小数是无理数，故说法正确． 故选：B． 2．（2024八年级上·河南驻马店·专题练习）以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·四川攀枝花·期末）实数，，-8，，，中无理数有 个． 【答案】3 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可． 【详解】解：根据无理数的定义可得，，是无理数， 答案为3. 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）将下列各数，，，，0，，填在相应的大括号内. 整数：{                        …}； 负分数：{                    …}； 无理数：{                    …}. 【答案】，，；，；， 【分析】本题考查了实数的分类，算术平方根与立方根，根据实数的分类求解；掌握分类的方法是解题的关键． 【详解】解： 整数：{，，；…}； 负分数：{ ，； …}； 无理数：{，； …}. 故答案：，，；，；，． 【经典例题四 实数的性质】 【例4】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）的绝对值是 ． 【答案】 【分析】先估算的符号，再根据绝对值的意义解答 ． 【详解】解：∵7<9， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查无理数绝对值的应用，在正确估算无理数符号的情况下根据绝对值的意义求解． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）若实数a的相反数是||，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵实数a的相反数是 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了相反数的定义和绝对值的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相反数的定义. 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 4．（24-25八年级上·四川巴中·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 【经典例题五 无理数的大小估算】 【例5】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与之间的整数是， 即与之间的整数一共有6个， 故选：B． 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）估计的值在（   ） A．1.2和1.3之间 B．1.3和1.4之间 C．1.6和1.7之间 D．1.7和1.8之间 【答案】D 【分析】采用夹值法进行求解即可． 此题主要考查二次根式的估值，会运用夹值法估算二次根式的大小是解题的关键． 【详解】∵，，，，， 且， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是 （写出一个满足条件的a即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 4．（24-25八年级上·四川巴中·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 【答案】(1)， (2)数轴表示见解析， 【分析】（）根据无理数的定义判断即可； （）估算出无理数的大小，进而找到原点位置，即可把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了无理数的定义及估算，利用数轴比较实数的大小，掌握无理数的定义及估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴实数，，，，中，是无理数的有，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴实数在数轴上表示如下：    由数轴可得，． 【经典例题六 实数与数轴】 【例6】（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（   ） A．0.6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等，建立数形结合思想的解题意识是关键． 先利用勾股定理求得正方形对角线的长度，从而确定点A所表示的数． 【详解】解：正方形的对角线长为， ∴A点所表示的数为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如下图，直径为1个单位长度的圆从表示的点沿数轴向左滚动一周（不滑动），圆上的一点由点A到达点B，点B表示的数是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴上的点之间的对应关系，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解实数与数轴上的点之间的对应关系． 先计算圆的周长，则向左滚动一周的距离即为圆的周长，再由从表示的点A向左滚动，可得点B表示的数． 【详解】解：∵圆的周长为， ∴圆从表示的点A沿数轴向左滚动一周（不滑动），圆上的一点由点A到达点B，点B表示的数是：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）如图，数轴上，点B表示，点A表示1，点B关于点A的对称点表示数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的分母有理化，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据实数与数轴的性质可得的值，再计算二次根式的分母有理化即可得． 【详解】解：∵数轴上，点表示，点表示1，点关于点的对称点表示数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ， ∴ ． 【经典例题七 实数的大小比较】 【例7】（24-25八年级上·四川内江·期中）下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）有四个实数，，0，，其中最小的是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川漳州·阶段练习） ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、无理数的大小比较、去括号法则，先确定出，从而确定，，再根据绝对值的代数意义进行化简；解题的关键是确定，理解：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：；；． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：，，．如果，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．根据题意得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点： (1)那么点对应的数是______________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离为圆的周长， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∴． 【经典例题八 实数的混合运算】 【例8】（2024·四川巴中·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上实数的位置，计算判断即可．本题考查了实数与数轴，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵， ∴，，，， 故选C． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据数轴的性质可得，由此可判断①；根据数轴可得，由此可判断②；根据数轴可得，根据乘法法则可判断③；根据数轴可得，根据加法法则可判断④；根据数轴可得，根据减法法则可判断⑤；根据数轴可得，根据减法法则可判断⑥． 【详解】解：由数轴可知，， 则四个数中最小的是，结论①正确； 由数轴可知，，结论②正确； 由数轴可知，， 则，结论③正确； 由数轴可知，， 则，结论④正确； 由数轴可知，， 则，结论⑤错误； 由数轴可知，， 则，结论⑥错误； 综上，结论正确的个数是4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、实数的运算等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川巴中·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、实数的混合运算等知识点，掌握负整数次幂、零次幂是解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为： 【答案】①②③ 【分析】本题考查实数的运算，根据a，b，c不全为无理数，得到三个数至少有一个是有理数，分种情况进行讨论，判断即可． 【详解】解：∵a，b，c不全为无理数， ∴a，b，c至少一个有理数， 当a，b，c有1个有理数时，不妨设为有理数，则：均为无理数，可能为有理数（互为相反数时），也可能是无理数， 当a，b，c有2个有理数时，不妨设为无理数，则：为无理数，为有理数， 当a，b，c都是有理数时，三个数都是有理数， 故①②③说法正确，④说法错误． 故答案为：①②③． 4．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）计算 (1)； (2) (3) (4) (5) (6)； 【答案】(1) (2) (3)17 (4) (5)1 (6) 【分析】（1）先计算同底数幂，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可； （2）先算乘方，再算乘法和除法即可； （3）将原式先转化成，再算乘方，再算加减即可； （4）先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项即可； （5）先把转化成，再运用平方差公式计算即可； （6）先计算完全平方和平方差，再计算多项式除以单项式即可． 本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【经典例题九 程序设计与实数运算】 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是． 故选：A． 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，某同学利用计算器中的，，三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算． 若一开始输入的数据为10，那么第2021步之后，显示的结果是（    ） A． B．100 C．0.1 D．0.01 【答案】B 【分析】先将=10代入程序中，计算出前几步可得出数字的循环规律，利用周期循环规律即可求解． 【详解】解：由题意可知：第一步结果为=100， 第二步结果为=0.01， 第三步结果为=0.1， 第四步结果为=0.01， 第五步结果为=100， 第六步结果为=10， …… ∴运算结果是以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为一组周期循环的， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后的显示结果与第五步结果相同为100， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题关键是通过计算得出数字的循环规律． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）某同学设计了一个电脑计算程序，如下图所示，如果输入的数字是，那么输出的数字是 ．    【答案】 【分析】读懂程序内容，列出算式求解. 【详解】由已知可得： 故答案为： 【点睛】考核知识点：有理数混合运算.首先通过阅读理解题目解题要求和方法，所以解答本题的关键是弄清楚计算机程序的计算程序，即新定义程序． 3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）按照如图所示的程序计算：若输入 x=7.6，则 m= ． 【答案】7 【分析】根据图表可以得到m表示x的整数部分，据此即可求解． 【详解】解：根据题意可得：m是7.6的整数部分，则m=7． 故答案是：7． 【点睛】本题考查了代数式的求值，正确理解表中说明的x与m的关系是关键． 4．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【经典例题十 新定义下的实数运算】 【例10】（2025·湖南衡阳·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）对于任意正实数，均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论不正确的是（　　） A． B．若，，则 C．若，，则的值为6或7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，属于新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，逐一选项进行判断即可． 【详解】解：A、由题意得，故本选项正确，不符合题意； B、若，， ， ， ， 则，故本选项正确，不符合题意； C、若，， ，， ， ， 的值为6或7，故本选项正确，不符合题意； D、若，，则， ， ，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·四川资阳·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川内江·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．若(且)，则n叫作以a为底b的对数，记为，即，如，则2叫作以3为底9的对数，记为，． 材料二：对数的一个性质为： ，) 如． (1)填空： ； (2)计算：； (3)若m，n满足，化简求值：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了新定义，整式的化简求值，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据，结合新定义可得答案； （2）由可得，据此可得答案； （3）根据题意可得，则，再把所求式子先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【经典例题十一 无理数整数部分的有关计算】 【例11】（2024·四川巴中·模拟预测）无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据已知条件，求出的取值范围，然后分两种情况讨论：①当，②时，分别判断各个选项中的式子的正负，然后再逐一进行判断即可． 【详解】解：，且为正整数， 且为整数， 当时，的整数部分，， ，，，， 当时， ，，，， 综上可知：，，选项不成立，选项一定成立， 故选：B． 1．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得，然后代入求解即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】203 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广西崇左·期末）先阅读下面材料，再解答问题： 材料：实数运算中，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；零与无理数的积为零．由此可得：若，其中为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴， (1)已知是有理数，且满足，则_________，_________； (2)已知是的整数部分，为有理数且满足，求的值； (3)在（2）的条件下计算的值． 【答案】(1)3，2 (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照材料的解题思路进行计算，即可解答； （2）先估算出，再按照材料的解题思路进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论，代入计算即可解答． 【详解】（1）解：已知是有理数，且满足， ， （2）解：∵是的整数部分，   ∴， ∵为有理数且满足，   ∴   解得： （3）解：由（2）得 ，   ∴． 【经典例题十二 实数运算的实际运用】 【例12】（24-25八年级上·四川内江·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 1．（2025·四川资阳·模拟预测）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【经典例题十三 与实数运算相关的规律题】 【例13】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【答案】B 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵， ∴这一列数中的第2023个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 1．（24-25八年级上·四川资阳·期末）将连续正整数按如下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 18 19 20 … 若正整数2022位于第行，第列，则的值为（　　） A．507 B．508 C．509 D．510 【答案】D 【分析】根据表格中数字规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：表格中每两行的数字写法规律相同 ， 由数字6所在的行和列可知：2022位于第行，第4列 ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查的是探索规律题，找出表格中的数字规律是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是 ． 【答案】 【分析】根据题意给出的规律即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，每个分式的符号规律为一负一正 分子的规律： 分母的规律：2， 4， 8， 16， 32， 64，… 即为： 第10个数是： 故答案为： 【点睛】本题考查了实数规律探索问题，解决本题的关键是否能根据题意找出规律，解决本题的难点在于是否能将转化为． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有 ．（请把你认为正确的序号全都填上去） 【答案】①②④ 【分析】将和代入即可求得和，再按照可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列’中的每一项除以所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第项的值． 【详解】，故正确； ，故错误； “斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，，故正确； ，，，，，，，除以所得的余数分别是，，，，，，，，，，，，， ， 故在新数列中，第项的值是，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律： ________；_________（n为正整数）； (2)计算：； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2) (3)6 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式运算等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，； （2）由，计算求解即可； （3）由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：由题意知， ， ∴， 解得，， 故答案为：6． 【拓展训练一 勾股定理与无理数】 1．（2024·四川乐山·模拟预测）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据勾股定理，结合估算，再计算，解答即可，熟练利用估算思想确定左右界点值，计算两个界点值的平均数，计算平均数的平方后与被开方数比较是解题的关键． 【详解】根据勾股定理， ∵， ∴，且， ∴更靠近整数6， 故选D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数． 依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴点所表示的数是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 无理数与线段长今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，即，则（依据）．以原点O为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点A，，则，点A对应的数为，点对应的数为． 启发：如图2，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，即，，，以点M为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点A，，请求出点A和点表示的数． 任务： （1）材料中的依据是指． A．勾股定理                B．勾股定理逆定理        C．垂直平分线的性质        D．圆的半径相等 （2）请完成“启发”中的问题． （3）如图3，请在数轴上画图确定表示的点P，Q（点P在点Q的左侧）． 【答案】（1）A；（2）点A对应的数为2，点对应的数为；（3）见解析 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴． （1）利用勾股定理即可求得的长； （2）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，据此即可求解； （3）仿照（1）构造直角三角形，使直角边，，据此即可求解． 【详解】解：（1）因为等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，即， 则（勾股定理）． 故选：A； （2）如图，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，即， ∴， ∵，， ∴， 以点M为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点A，， ∴点A对应的数为2，点对应的数为； （3）如图，构造直角三角形，使直角边，，则， 以点O为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点P，Q． ∴点P，Q即为所作． 【拓展训练二 无理数估算的几何问题】 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，涉及无理数范围的估算，根据题意，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，根据勾股定理得到长度为，结合无理数范围的估算方法即可得到该正方形的边长最接近整数． 【详解】解：根据题意可知，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，则边长为， ∵， ∴， 又∵， ∴，即与最接近的整数是， ∴该正方形的边长最接近整数是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川简阳·阶段练习）如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？ ．（填“可行”或“不可行”） 【答案】不可行 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与7的大小即可．此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小． 【详解】解：， ， ． 则截两个面积为和的正方形，不可行． 故答案为：不可行． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小方形纸片的边长为_______cm；（结果化为最简二次根式） (2)在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、无理数的混合运算和开平方的应用， （1）先根据小正方形纸片的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形纸片的边长即可； （2）结合（1）小方形纸片的边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式计算即可； 【详解】（1）解：小正方形纸片的面积为， ∴小正方形纸片的边长为． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ． 【拓展训练三 实数的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义运算，根据题意得，解得，则顺时针方向按的规律转换，再把时代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴顺时针方向按的规律转换后得到下一个圆圈中的数， ∴当时，， 故标注“？”的圆圈中的数是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）观察下列各式： ， ， ，…， 根据规律完成下列各题. (1)＝ ； (2)计算的值为 . 【答案】(1)；(2) 【分析】仔细观察式子，可以发现，分数的分母为两个连续自然数的乘积，这样的分数可以拆成两个分数相减的形式，被拆成的两个分数，分母分别是这两个自然数，分子都是1．由此可得： （1）利用计算即可； （2）根据（1）的规律，将各项拆分成差的形式，并项运算即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】“式”的规律： 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．在数学算式中探索规律，应认真对比观察各算式与结果的特点，找出其中隐含的规律，从而根据规律填出这一类算式的结果． 1．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”），这些数中，无理数的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 【详解】解：， 则，，，，，都是有理数， ，（两个“”之间依次多一个“”），是无理数，共个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴ ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中的范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴即； 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若，，则= ． 【答案】 【分析】根据积的乘方及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查积的乘方及幂的乘方，熟练掌握积的乘方及幂的乘方是解题的关键． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，先估算得出，，从而可得，再根据实数的大小比较方法即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，即，， ∴， （1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）， 故答案为：． 8．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 先估算的值，即可判断表示实数在数轴上的位置． 【详解】解：∵， ， ∴在数轴上表示实数的点可能是点． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）刘谦的魔术表演风靡河南驻马店，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 11．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算或解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了实数的混合运算，解方程，解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值等考点的运算． （1）先算立方根及算术平方根，再算加减法即可得出结论； （2）先算立方根、算术平方根及绝对值，再算加减法即可得出结论； （3）将方程变形得到2个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 或， 解得：，． 12．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）定义新运算“”：对于实数，有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．求关于的方程的根． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义可得，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 13．（24-25八年级上·四川资阳·期中）对于如下运算程序： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若输入m的值后，无法得到n的值，则输入m的值是______． 【答案】(1)5 (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义． （1）根据无理数的定义以及流程图即可求出m得值． （2）根据题目中的运算程序代入计算即可； （3）综合立方根和无理数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是无理数， ∴， ∴， 故答案为：5． （2）输入，得到， 不是无理数不能输出，返回可得：， ∵是无理数可以输出， ， 故答案为：； （3），，， 输入的值为或或时，无法得到的值， 故答案为：0或． 14．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是 ； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题：如图2所示，数轴上表示1、的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．求的值． (3)某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为．如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这些铁栅栏够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，平方根的应用，实数比较大小，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出圆的周长，得到滚动的距离即可得到答案； （2）求出的长，进而得到的长，则可求出x的值，再代值计算即可； （3）设这个长方形的长为、宽为，根据长方形面积计算公式可得，解得或（舍去），则，求出长方形和正方形的周长，进而比较出长方形和正方形的周长的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：∵圆的直径是1， ∴圆的周长是， ∴直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，滚动的距离为， ∴点对应的数是； （2）解：∵数轴上表示1、的对应点为A，B， ∴， ∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等， ∴， ∵点C在点O左侧， ∴点C表示的数为，即， ∴ ； （3）解：这些铁栅栏够用，理由如下： 设这个长方形的长为、宽为， 由题意得，， ∴或（舍去）， ∴， ∴这个长方形的周长为； ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些铁栅栏够用． 15．（2025·重庆·模拟预测）某高端酒店准备打造一个面积为450m2的长方形花园，现有墙AB长25m，篱笆长65m的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了如图所示的两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．（决策依据如下：长方形的宽与长之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6） (1)方案1：如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？ 方案2：如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长． (2)根据（1）中的计算结果，请为该酒店作出合理的决策． 【答案】(1)CF的长度为20m，BF的长为5m (2)方案二中的矩形，比较美观 【分析】（1）设CF的长度为xm，则CD＝m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙AB的长为25m，即可确定x的值； （2）设BF的长为ym，则AD＝（20﹣y）m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：方案一：设CF的长度为xm，则CD＝m， 依题意得：x•＝450， 解得：x1＝20，x2＝45． ∵墙AB的长为25m， ∴x＝45不合题意，舍去， ∴CF＝20． 答：在墙AB上借用的CF的长度为20m． 方案二：设BF的长为ym，则AD＝＝（20﹣y）m， 依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450， 解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去）， ∴BF＝5m． 答：BF的长为5m． （2）解：≈0.9，＝0.5， ∴方案二中的矩形，比较美观，更接近黄金比． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数重难点题型专训 （5个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 实数概念理解 题型三 实数的分类 题型四 实数的性质 题型五 无理数的大小估算 题型六 实数与数轴 题型七 实数的大小比较 题型八 实数的混合运算 题型九 程序设计与实数运算 题型十 新定义下的实数运算 题型十一 无理数整数部分的有关计算 题型十二 实数运算的实际运用 题型十三 与实数运算相关的规律题 拓展训练一 勾股定理与无理数 拓展训练二 无理数估算的几何问题 拓展训练三 实数的规律探究问题 知识点一、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川内江·期末）在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 知识点二、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·模拟预测）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）了解无理数与实数的概念 （1） 小数叫做无理数； （2）有理数和 统称为实数． 知识点三、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 2．（24-25八年级上·河南驻马店·课前预习）有理数和无理数统称为 ，即实数可以分为 和 ． 由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也有 之分，所以实数还可以按大小分类如下： 知识点四、实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ．(结果保留π)    知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2025·河南新乡·模拟预测）在这四个数中，比小的是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）比较下列两个数的大小： （用“＞”或“＜”填空） 【经典例题一 无理数】 【例1】（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）下列各数为无理数的是（   ） A． B．0.1212212221 C． D． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（   ） A． B． C．3 D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）任意写出到之间一个无理数 ． 3．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）在、、、、…、中，共有 个无理数． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 【经典例题二 实数概念理解】 【例2】（2025·四川资阳·模拟预测）实数的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）下列五个命题： ①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）在实数范围内因式分解： 3．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝ ． 4．（2024八年级上·四川巴中·专题练习）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【经典例题三 实数的分类】 【例3】（24-25八年级上·四川宜宾·开学考试）下列各数中，负整数是（   ） A． B．2.1 C．0 D． 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①0是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024八年级上·河南驻马店·专题练习）以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 3．（24-25八年级上·四川攀枝花·期末）实数，，-8，，，中无理数有 个． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）将下列各数，，，，0，，填在相应的大括号内. 整数：{                        …}； 负分数：{                    …}； 无理数：{                    …}. 【经典例题四 实数的性质】 【例4】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．3 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）的绝对值是 ． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）若实数a的相反数是||，则a的值为 ． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 4．（24-25八年级上·四川巴中·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【经典例题五 无理数的大小估算】 【例5】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）估计的值在（   ） A．1.2和1.3之间 B．1.3和1.4之间 C．1.6和1.7之间 D．1.7和1.8之间 2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是 （写出一个满足条件的a即可）． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 4．（24-25八年级上·四川巴中·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 【经典例题六 实数与数轴】 【例6】（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（   ） A．0.6 B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如下图，直径为1个单位长度的圆从表示的点沿数轴向左滚动一周（不滑动），圆上的一点由点A到达点B，点B表示的数是 ．    3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）如图，数轴上，点B表示，点A表示1，点B关于点A的对称点表示数，则 ． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【经典例题七 实数的大小比较】 【例7】（24-25八年级上·四川内江·期中）下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）有四个实数，，0，，其中最小的是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25八年级上·四川漳州·阶段练习） ， ， ． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：，，．如果，则的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点： (1)那么点对应的数是______________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【经典例题八 实数的混合运算】 【例8】（2024·四川巴中·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·四川巴中·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为： 4．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）计算 (1)； (2) (3) (4) (5) (6)； 【经典例题九 程序设计与实数运算】 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，某同学利用计算器中的，，三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算． 若一开始输入的数据为10，那么第2021步之后，显示的结果是（    ） A． B．100 C．0.1 D．0.01 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）某同学设计了一个电脑计算程序，如下图所示，如果输入的数字是，那么输出的数字是 ．    3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）按照如图所示的程序计算：若输入 x=7.6，则 m= ． 4．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【经典例题十 新定义下的实数运算】 【例10】（2025·湖南衡阳·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）对于任意正实数，均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论不正确的是（　　） A． B．若，，则 C．若，，则的值为6或7 D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 3．（24-25八年级上·四川资阳·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·四川内江·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．若(且)，则n叫作以a为底b的对数，记为，即，如，则2叫作以3为底9的对数，记为，． 材料二：对数的一个性质为： ，) 如． (1)填空： ； (2)计算：； (3)若m，n满足，化简求值：． 【经典例题十一 无理数整数部分的有关计算】 【例11】（2024·四川巴中·模拟预测）无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 4．（24-25八年级上·广西崇左·期末）先阅读下面材料，再解答问题： 材料：实数运算中，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；零与无理数的积为零．由此可得：若，其中为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴， (1)已知是有理数，且满足，则_________，_________； (2)已知是的整数部分，为有理数且满足，求的值； (3)在（2）的条件下计算的值． 【经典例题十二 实数运算的实际运用】 【例12】（24-25八年级上·四川内江·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（2025·四川资阳·模拟预测）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 2．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【经典例题十三 与实数运算相关的规律题】 【例13】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 1．（24-25八年级上·四川资阳·期末）将连续正整数按如下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 18 19 20 … 若正整数2022位于第行，第列，则的值为（　　） A．507 B．508 C．509 D．510 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是 ． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有 ．（请把你认为正确的序号全都填上去） 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律： ________；_________（n为正整数）； (2)计算：； (3)若，则_________． 【拓展训练一 勾股定理与无理数】 1．（2024·四川乐山·模拟预测）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ． 3．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 无理数与线段长今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，即，则（依据）．以原点O为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点A，，则，点A对应的数为，点对应的数为． 启发：如图2，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，即，，，以点M为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点A，，请求出点A和点表示的数． 任务： （1）材料中的依据是指． A．勾股定理                B．勾股定理逆定理        C．垂直平分线的性质        D．圆的半径相等 （2）请完成“启发”中的问题． （3）如图3，请在数轴上画图确定表示的点P，Q（点P在点Q的左侧）． 【拓展训练二 无理数估算的几何问题】 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·四川简阳·阶段练习）如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？ ．（填“可行”或“不可行”） 3．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小方形纸片的边长为_______cm；（结果化为最简二次根式） (2)在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值． 【拓展训练三 实数的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是 ． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）观察下列各式： ， ， ，…， 根据规律完成下列各题. (1)＝ ； (2)计算的值为 . 1．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”），这些数中，无理数的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中的范围正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若，，则= ． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 8．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ． 9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）刘谦的魔术表演风靡河南驻马店，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 11．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算或解方程： (1)； (2)； (3) 12．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）定义新运算“”：对于实数，有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．求关于的方程的根． 13．（24-25八年级上·四川资阳·期中）对于如下运算程序： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若输入m的值后，无法得到n的值，则输入m的值是______． 14．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是 ； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题：如图2所示，数轴上表示1、的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．求的值． (3)某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为．如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 15．（2025·重庆·模拟预测）某高端酒店准备打造一个面积为450m2的长方形花园，现有墙AB长25m，篱笆长65m的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了如图所示的两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．（决策依据如下：长方形的宽与长之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6） (1)方案1：如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？ 方案2：如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长． (2)根据（1）中的计算结果，请为该酒店作出合理的决策． 学科网（北京）股份有限公司 $$