5.3 转化 表达（教学课件）数学苏科版2024七年级上册

第五章 走进几何世界 5.3 转化 表达 学 习 目 标 1 2 在折叠、展开、画图的操作中体会（二维）平面直观图与（三维）立体图形之间的转化． 体会数与形的转化，感受数形结合思想． 新课导入 生活中，人们常常从不同角度去观察一个物体．数学中，我们一般通过平面直观图表示一个空间几何体． 我们也可以用平面展开图研究一个空间几何体． 数学活动 1．画出正方体纸盒的平面直观图． 1. 看得见，画实线；看不见，画虚线． 2. 注意哪些位置关系和大小关系保持不变，哪些会失真. 3. 画直观图的目的：一是直观，二是便于用平面几何的知识与方法处理空间图形的问题. 特别提醒 数学活动 2．(1) 如图，把一个装墨水瓶的长方体纸盒沿某些棱剪开，铺平后得到一个平面展开图．对比展开前后各个面的位置，你知道有条形码的长方形是原长方体纸盒的哪个面吗？ 有条形码的长方形在原长方体纸盒的底面． 1. 同一个空间几何体，按不同的方式展开，可能得到不同的平面图形. 2. 不是所有的空间几何体都有平面展开图，如球就没有平面展开图. 特别提醒 同行(列)隔一相对，异层隔两面相对． 数学活动 2．(2) 将无盖圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开(如图)，得到什么平面图形？ 思考：① 沿不同的母线剪开，所得到的展开图是否一样？ ② 空间图形与其平面展开图中的哪些元素是对应的？ 一样 长方形 数学活动 3．剪出下列各种形状的纸片(如图)，由这些纸片分别可以折出怎样的空间图形？ 长方体(无盖) 圆锥(无底) 三棱锥 思考：① 图(1)中，剪去的四角有什么要求？ 边长相等的正方形 ② 图(2)中，在扇形上画一条直线段，折成空间图形后有什么变化？ ③ 图(3)中，三角形纸片的形状有什么要求？ 直线或曲线 等边三角形 方法点拨：一般先确定底面，然后找重合的点和边. 新知巩固 1．图中哪些硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒？ 先想一想，再折一折，验证你的想法． 判断一个平面图形能否折叠成空间几何体的方法： (1)看面数够不够； (2)看各面的位置是否合适，尤其是底面的位置； (3)看对应边的长度是否相等. 方法点拨 新知巩固 2．哪些几何体可以展开成如图所示的平面图形？请把它们的名称填 在相应的横线上． ＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿ 三棱柱 四棱锥 圆柱 新知巩固 3．先在图中的六个正方形中分别填写1，2，3，－1，－2，－3，再把 它沿虚线折叠成正方体，使正方体相对面上的两个数互为相反数． 1 －1 －3 3 2 －2 1 3 2 答案不唯一． 新知巩固 4．图(1)～(4)的四个平面图形中，哪一个是由图中的正方体纸盒展开 得到的？如有困难，可以动手做一做． 知识链接 知识链接 同一个正方体展开所得到的平面图形有11种，在展成平面图形的过程中，一共剪了7条棱. 正方体找某一面的对面的口诀：隔面有面是对面，隔面无面就拐弯. 正方体展开图中“一线不过4，田凹应弃之.” 新知探究 在数学中，数与形之间也可以相互转化．观察下列图形和对应表达式的变化规律： (1) 画出第5个图形，写出它对应的表达式，并说明图形和对应表达式之间有什么规律； 1＋3＋5＋7＋9＝52 规律：第n(n为正整数)个图形对应的表达式为1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2． (2) 利用上面发现的规律计算：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21． 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112＝121． 等号左边正方形个数， 等号右边正方形边长平方. 新知探究 变式：如图，由图①、图②和图③中小正方形个数的关系，得到13＋23＝(1＋2)2＝32. 类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律求13＋23＋33＋…＋1003的值（结果保留幂的形式）. 解：从所给图形可知， 13＋23＝(1＋2)2＝32， 类似地，可得 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝62， 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝102， … 所以13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 (n是正整数). 当n＝100时，13＋23＋33＋…＋1003＝(1＋2＋3＋…＋100)2＝50502． 新知归纳 在数学中，数与形之间也可以相互转化. 观察图形的结构特征，发现数量之间存在的变化规律. 通过观察，把表达式中抽象的数量关系, 转化为适当的几何图形，这是数学中常用的、重要的一种数学思想方法，即数形结合思想. 新知巩固 5．如图，由七排小正方形组成一个图案． (1) 移动小正方形，把上述图案分别重新拼成一个正方形、两个正方形． (2) 根据(1)中两种拼法，你可以得到怎样的数量关系？ 一个正方形 两个正方形 (2)大正方形＝两个小正方形面积和． 新知巩固 变式 如图，每个小正方形的面积均为1.将左图中涂色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数，可以得出图①、图②中的等式． (1) 请在图③的横线上写出第3个等式； (2) 用含n(n为正整数)的代数式表示第n个等式:_______________________________. 2＋4＋6＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2) 真题感知 1.（2024·常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是 (A　) B 真题感知 2.（2024·宿迁）将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是 (A　) A. 自 B. 立 C. 科 D. 技 C 课堂小结 5.3 转化 表达 空间图形 展开 平面图形 折叠 图形 规律 数字 直观 $