专题11转化表达精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦立体图形与平面图形的转化，系统梳理几何体展开图认识、表面积体积计算、正方体展开图判定与折叠规律及三视图基础，构建从图形识别到空间想象再到规范表达的学习支架。 以转化思想为核心，通过“一线不过四，田凹应弃之”等口诀培养空间观念，结合易错点提示和分层题型提升推理意识与几何直观，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化运算能力与规范表达。

专题11转化表达精讲学案 核心立意 体会立体图形与平面图形的转化思想，借助展开图、三视图完成空间图形与平面图形互化，掌握识图、折叠、相关计算的方法，规范几何过程表达，建立空间观念。 几何体展开图认识： 理解几何体沿棱剪开可得平面展开图，平面展开图可折叠还原几何体，能识别正方体、长方体、圆柱、圆锥的展开图形态。  展开图相关计算： 依托展开图标注线段长求表面积，表面积等于展开图所有面的面积总和；提取底面、高的数据，代入公式计算体积。 常用公式：正方体S=6a2，V=a3； 长方体S=2(ab+ah+bh)，V=abh； 圆柱S=2r2+2rh，V=r2h； 圆锥S=r2+rl，V=r2h。 正方体展开图判定： 熟记正方体11种标准展开图，运用口诀“一线不过四，田凹应弃之”判断图形能否折叠成正方体，能补充一个面使图形围成正方体。 正方体折叠规律： ①利用“相间、Z端是对面”判断折叠后相对面上的文字； ②折叠前后图案相对位置、朝向不变，分析带图案正方体； ③还原立体位置，求解展开图上两点折叠后的空间距离。 三视图基础： ①主视图：从正面观察几何体得到的平面图形； ②左视图：从左面观察几何体得到的平面图形； ③俯视图：从上面观察几何体得到的平面图形； 画图规则：看得见的棱画实线，被遮挡不可见的棱画虚线，能实现几何体与三视图互相识别。 1. 表面积计算容易漏算底面或者重复计算面； 2. 正方体展开图混淆相邻面与相对面，误判文字、图案位置； 3. 区分不清展开图内平面线段长和折叠后两点的空间距离； 4. 错误将田字形、凹字形图形判定为正方体展开图； 5. 绘制三视图时，隐藏棱忘记画虚线。 题型 考察方向 难度 题型一 几何体展开图的认识 ★★ 题型二 由展开图计算几何体的表面积 ★★ 题型三 由展开图计算几何体的体积 ★★ 题型四 正方体几种展开图的识别 ★★ 题型五 正方体相对两面上的字 ★★ 题型六 含图案的正方体的展开图 ★★★ 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型八 补一个面使图形围成正方体 ★★★ 题型九 从不同方向看几何体 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★较难；★★★★拔高压轴 题型一：几何体展开图的认识 解题思路：①几何体沿棱剪开得到平面展开图，展开图可折叠还原几何体；②熟记正方体、长方体、圆柱、圆锥的展开图形状，快速识别匹配。 1．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意； B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意； C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意； D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意． 4．如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是______．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 题型二：由展开图计算几何体的表面积 解题思路：①从展开图提取棱长，区分底面与侧面；②表面积等于展开图所有面面积之和，选用对应面积公式计算。 5．如图是某几何体的表面展开图，该几何体的侧面积_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图、圆柱的侧面积公式，熟练掌握圆柱的侧面积公式是解题的关键． 由图可得，该几何体为圆柱，再利用圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由图可得，该几何体为圆柱， ∴该几何体的侧面积为：． 故答案为：． 6．树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 7．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 8．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用；由正方形的表面积得，，，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；能表示出所求几何体的表面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 故选：D． 题型三：由展开图计算几何体的体积 解题思路：①从展开图读取几何体底面边长、高；②代入对应体积公式计算，留意圆柱、圆锥公式区别。 9．如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算．根据图示求出此无盖长方体盒子的长、宽、高，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：由题可知，长方体的高即为减去四个正方形（图中阴影）的边长，即为， 则长方体底面的长为，宽为， 所以长方体的体积为， 故答案为：1000． 10．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A．216 B．540 C．648 D．684 【答案】C 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键．设长方体的高为a，底面正方形的边长为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出a，b，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设长方体的高为a，底面正方形的边长为b， 由图可得， 解得， 则， 所以长方体的体积为648． 故选：C． 11．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积_____． 【答案】90 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用；设长方体宽为x，则长为，高为，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设长方体宽为x，则长为，高为， 由题意得， 解得， 则，， ∴药品包装盒的体积为()． 故答案为： 12．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 题型四：正方体几种展开图的识别 解题思路：①熟记正方体11种标准展开图；②用口诀“一线不过四，田凹应弃之”排除无效展开图。 13．下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是________（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据题干4个的表面展开图运用空间想象能力进行分析，即可作答． 【详解】解：观察题干4个的表面展开图，得出①是无盖正方体的表面展开图， ②不是无盖正方体的表面展开图， ③是无盖正方体的表面展开图， ④是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：② 14．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的“”、“”、“”等常见类型及“一线不过四，田凹应弃之”的口诀进行判断． 【详解】解： A、属于“”型，能折叠成正方体 ． B、属于“”型，能折叠成正方体 ． C、属于“”型，能折叠成正方体． D、属于“凹”字型结构，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体． 15．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 16．下面图形不能拆成正方体的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【点睛】正方体展开图共有11种基本形态，分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型． 题型五：正方体相对两面上的字 解题思路：①运用“相间、Z端是对面”规律；②找出展开图相对面，确定折叠后对应文字。 17．如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 【答案】运 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可判断． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可知：“中”与“神”是相对面，“奥”与“精”是相对面，“国”与“运”是相对面， 因此该正方体上与“国”字相对的字是“运”． 18．“满招损，谦受益”最早出自于先秦《尚书·大禹谟》．某数学小组将“满招损，谦受益”六个字写在一个正方体的六个面上，如图为该正方体的一种表面展开图，则“谦”字一面相对面上的汉字是（     ） A．满 B．招 C．受 D．益 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：由图形可得，“谦”字一面相对面上的汉字是“满”． 19．若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为___________． 【答案】 12 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和相等，列出方程求出a、b、c的值，从而得到的值． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，可知a与b相对，c与相对，3与2相对， ∵相对面上两个数之和相等， ∴， ∴，， ∴． 20．嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分析，4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置，结合，求解即可； 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为， 所以朝下一面的数字为3； 题型六：含图案的正方体的展开图 解题思路：①折叠前后图案相对位置、朝向不变；②结合相对面、相邻面关系，判断折叠后图案样式。 21．如图是正方体纸盒的展开图，当还原成纸盒时，与点7重合的点是( )和( )．    【答案】 1 11 【分析】由正方体展开图的特征得到结论． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后，点7所在的正方形分别和点1、点11所在的两个正方形相交， 故点7与点1、点11重合． 故答案为：1和11． 【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，解决此题的关键是运用空间想象能力把展开图折成正方体，找到重合的点． 22．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 23．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是________． 【答案】2 【分析】此题考查了正方体的展开图，熟练掌握空间想象能力是解题的关键． 一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点，再“马走日”一次，就与原数字重合，由此即可求解． 【详解】解：由正方体展开图的特点可得，一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点， 再“马走日”一次，就与原数字重合． 所以数字6“马走日”一次到数字9，数字9“马走日”一次到2， 所以与数字6重合的是数字2． 故答案为：． 24．如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是． 题型七：求展开图上两点折叠后的距离 解题思路：①还原正方体，确定两点折叠后的空间位置；②结合棱长，计算两点间距离。 25．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 26．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 27．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 28．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 题型八：补一个面使图形围成正方体 解题思路：①对照正方体11种标准展开图结构；②找出所有可行位置，补全图形使之能围成正方体。 29．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 30．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 31．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 32．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 题型九：从不同方向看几何体 解题思路：①分清主视图、左视图、俯视图的观察方向；②可见棱画实线，遮挡棱画虚线，完成识图或画图。 33．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【答案】3 【分析】观察立方体即可得出5个面涂上蓝色的正方体的个数． 【详解】解：由图可得，5个面涂上蓝色的正方体有3个． 34．从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看有2行，前边1行3个小正方形，后边1行靠左1个小正方形， 则从上面观察，看到的形状是． 35．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 36．桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 【答案】A 【分析】根据立体图形可知两个长方体左右摆放，左矮右高，结合图的形状特征进行判断即可. 【详解】解：由前两个图形可知，该几何体由两个左右并排的长方体组成，且左矮右高， 若从左面看，能看到左边矮长方体的侧面，且右边高长方体高出部分可见，组合起来为一个矩形中间有一条横线，A选项符合题意； 若从右面看，视线被右边高长方体遮挡，只能看到一个矩形，B选项不符合题意； 若从上面看，应看到左右两个矩形，C选项不符合题意； 若从后面看，应看到右边高、左边矮的图形，D选项不符合题意． 解答题 1．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥； （2） （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）略 2．综合与实践 【问题情境】学习小组的同学要制作图①所示的底面是正方形的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)下列通过折叠能围成该纸盒的有 ；（填写序号） A．     B．    C．      D． (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖纸盒后，与标有数字“5”的面成相对面标记的数字是 ； (3)图③是一张边长为25cm的正方形卡纸，小强准备将其四个角各剪去一个正方形，折成图①所示的无盖纸盒． Ⅰ．在图③中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； Ⅱ．若折成的无盖纸盒的底面正方形的边长为3cm，求这个纸盒的容积．（不考虑卡纸厚度） 【答案】(1)A，C，D； (2)； (3) Ⅰ．示意图如下： Ⅱ．这个纸盒的容积为 【分析】（1）依据无盖纸盒由1个正方形底面和4个侧面组成的结构，判断各展开图是否满足底面与四个侧面合理相连，且折叠后无重叠、无缺失，进而确定能围成该纸盒的展开图； （2）结合展开图的折叠方式，通过判断面与面之间无公共边和公共顶点的位置关系，找到与标有数字“5”的面相对的面； （3）Ⅰ．根据四角剪去小正方形折成无盖纸盒的要求，在边长为25cm的正方形卡纸上用实线画出剪切线、虚线画出折痕即可； Ⅱ．设剪去的小正方形边长为未知数，利用原正方形卡纸边长与纸盒底面正方形边长的数量关系列一元一次方程，求出小正方形的边长即纸盒的高，再根据长方体容积公式底面积×高计算纸盒的容积． 【详解】（1）解：无盖底面为正方形的纸盒由1个正方形底面和4个侧面组成，展开图需满足底面与四个侧面合理相连： 选项A：四个侧面并排，底面在其中一个侧面的一侧，折叠后可围成无盖纸盒； 选项B：四个侧面无法折叠，无法围成无盖纸盒； 选项C：折叠后可围成无盖纸盒； 选项D：四个侧面交错排列，底面与其中一个侧面相连，折叠后可围成无盖纸盒； ∴能围成该纸盒的是A，C，D． （2）解：观察图②的展开图，折叠成无盖纸盒后，标有数字“5”的面与标有数字“2”的面没有公共边和公共顶点，折叠后成为相对的侧面，故与“5”相对的面是2． （3）Ⅰ．略 Ⅱ．解：设剪去的小正方形的边长为， ∵折成的无盖纸盒底面正方形边长为，原正方形卡纸边长为， ∴，解得， 即纸盒的高为， 所以纸盒的容积为． 答：这个纸盒的容积为． 3．正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 【答案】见解析 【分析】根据点，在同一个正方形边上和在两个正方形边上两种情况，标出点，的位置即可． 【详解】解：点，的所在位置如图所示： 4．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 【分析】本题考查了长方体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）略． 5．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)C； (4) 【分析】本题考查长方体的展开图、表面积计算及代数式的实际应用，核心是理解折叠后长方体的长、宽、高与原正方形边长的数量关系． （1）根据长方体的展开图，直接推导盒子的高、底面边长，进而得到底面积和容积的代数式； （2）将给定的和的值代入容积公式，通过有理数运算得出结果； （3）观察表格中容积随剪去正方形边长的变化数据，总结变化趋势； （4）涂色面积可通过“原正方形面积减去4个剪去的小正方形面积”快速计算，或直接计算长方体各外表面的面积之和． 【详解】（1）解：由折叠过程可知，无盖长方体盒子的高等于剪去的正方形边长，即； 底面为正方形，其边长为原正方形边长减去2个剪去正方形的边长，即，故底面积为； 容积为底面积与高的乘积，即； 故答案为：，，； （2）解：当，时，容积； 当，时，容积； 故表格中依次填，； （3）解：观察表格数据：剪去正方形边长从1到3时，容积逐渐增大；从3到时，容积逐渐减小，因此容积随剪去正方形边长的增大先增大后减小， 故选：C； （4）解：原正方形纸片的面积为， 剪去的4个小正方形的总面积为， 需要涂色的面积． 答：需要涂色的面积是． 6．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】 如答图，点D为所求．    【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11转化表达精讲学案 核心立意 体会立体图形与平面图形的转化思想，借助展开图、三视图完成空间图形与平面图形互化，掌握识图、折叠、相关计算的方法，规范几何过程表达，建立空间观念。 几何体展开图认识： 理解几何体沿棱剪开可得平面展开图，平面展开图可折叠还原几何体，能识别正方体、长方体、圆柱、圆锥的展开图形态。  展开图相关计算： 依托展开图标注线段长求表面积，表面积等于展开图所有面的面积总和；提取底面、高的数据，代入公式计算体积。 常用公式：正方体S=6a2，V=a3； 长方体S=2(ab+ah+bh)，V=abh； 圆柱S=2r2+2rh，V=r2h； 圆锥S=r2+rl，V=r2h。 正方体展开图判定： 熟记正方体11种标准展开图，运用口诀“一线不过四，田凹应弃之”判断图形能否折叠成正方体，能补充一个面使图形围成正方体。 正方体折叠规律： ①利用“相间、Z端是对面”判断折叠后相对面上的文字； ②折叠前后图案相对位置、朝向不变，分析带图案正方体； ③还原立体位置，求解展开图上两点折叠后的空间距离。 三视图基础： ①主视图：从正面观察几何体得到的平面图形； ②左视图：从左面观察几何体得到的平面图形； ③俯视图：从上面观察几何体得到的平面图形； 画图规则：看得见的棱画实线，被遮挡不可见的棱画虚线，能实现几何体与三视图互相识别。 1. 表面积计算容易漏算底面或者重复计算面； 2. 正方体展开图混淆相邻面与相对面，误判文字、图案位置； 3. 区分不清展开图内平面线段长和折叠后两点的空间距离； 4. 错误将田字形、凹字形图形判定为正方体展开图； 5. 绘制三视图时，隐藏棱忘记画虚线。 题型 考察方向 难度 题型一 几何体展开图的认识 ★★ 题型二 由展开图计算几何体的表面积 ★★ 题型三 由展开图计算几何体的体积 ★★ 题型四 正方体几种展开图的识别 ★★ 题型五 正方体相对两面上的字 ★★ 题型六 含图案的正方体的展开图 ★★★ 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型八 补一个面使图形围成正方体 ★★★ 题型九 从不同方向看几何体 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★较难；★★★★拔高压轴 题型一：几何体展开图的认识 解题思路：①几何体沿棱剪开得到平面展开图，展开图可折叠还原几何体；②熟记正方体、长方体、圆柱、圆锥的展开图形状，快速识别匹配。 1．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是______．    题型二：由展开图计算几何体的表面积 解题思路：①从展开图提取棱长，区分底面与侧面；②表面积等于展开图所有面面积之和，选用对应面积公式计算。 5．如图是某几何体的表面展开图，该几何体的侧面积_________．（用含的代数式表示） 6．树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 7．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 8．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：由展开图计算几何体的体积 解题思路：①从展开图读取几何体底面边长、高；②代入对应体积公式计算，留意圆柱、圆锥公式区别。 9．如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 10．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A．216 B．540 C．648 D．684 11．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积_____． 12．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 题型四：正方体几种展开图的识别 解题思路：①熟记正方体11种标准展开图；②用口诀“一线不过四，田凹应弃之”排除无效展开图。 13．下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是________（填序号） 14．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 15．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 16．下面图形不能拆成正方体的是（     ） A．B． C． D． 题型五：正方体相对两面上的字 解题思路：①运用“相间、Z端是对面”规律；②找出展开图相对面，确定折叠后对应文字。 17．如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 18．“满招损，谦受益”最早出自于先秦《尚书·大禹谟》．某数学小组将“满招损，谦受益”六个字写在一个正方体的六个面上，如图为该正方体的一种表面展开图，则“谦”字一面相对面上的汉字是（     ） A．满 B．招 C．受 D．益 19．若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为___________． 20．嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六：含图案的正方体的展开图 解题思路：①折叠前后图案相对位置、朝向不变；②结合相对面、相邻面关系，判断折叠后图案样式。 21．如图是正方体纸盒的展开图，当还原成纸盒时，与点7重合的点是( )和( )．    22．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 23．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是________． 24．如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 题型七：求展开图上两点折叠后的距离 解题思路：①还原正方体，确定两点折叠后的空间位置；②结合棱长，计算两点间距离。 25．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 26．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 27．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 28．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型八：补一个面使图形围成正方体 解题思路：①对照正方体11种标准展开图结构；②找出所有可行位置，补全图形使之能围成正方体。 29．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 30．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 31．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 32．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型九：从不同方向看几何体 解题思路：①分清主视图、左视图、俯视图的观察方向；②可见棱画实线，遮挡棱画虚线，完成识图或画图。 33．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 34．从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 35．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 36．桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 解答题 1．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 2．综合与实践 【问题情境】学习小组的同学要制作图①所示的底面是正方形的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)下列通过折叠能围成该纸盒的有 ；（填写序号） A．     B．    C．      D． (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖纸盒后，与标有数字“5”的面成相对面标记的数字是 ； (3)图③是一张边长为25cm的正方形卡纸，小强准备将其四个角各剪去一个正方形，折成图①所示的无盖纸盒． Ⅰ．在图③中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； Ⅱ．若折成的无盖纸盒的底面正方形的边长为3cm，求这个纸盒的容积．（不考虑卡纸厚度） 3．正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 4．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 5．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 6．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $