精品解析：2025年湖北省武汉市汉阳区翠微中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

武汉市翠微中学2024-2025学年第二学期 九年级数学3月月考试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握这两个知识点． 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　） A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 【答案】D 【解析】 【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可． 【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误； B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误； C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误； D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了随机事件的判断，关键是掌握随机事件，确定性事件的定义． 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体俯视图的性质求解即可． 【详解】该几何体俯视图如下图所示： 故答案为：C． 【点睛】本题考查了几何体俯视图的问题，掌握几何体俯视图的性质是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简分别进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如图是一款折叠LED护眼灯示意图，是底座，，分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 7. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解. 【详解】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b， ∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能， ∴投放正确的概率是：. 故选C. 【点睛】本题主要考查画树状图求简单事件的概率，根据题意，画出树状图，是解题的关键. 8. 某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为（ ） A. 124cm B. 132cm C. 138cm D. 148cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形规律，观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知：当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴当时，总长度为：． 故选：D． 9. 如图，为直径，且过半径的中点H，过点A的切线交的延长线于G，且，点E为上一动点，于点F，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F经过的路径长是（ ） A. π B. π C. π D. π 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由，利用垂径定理得到H为的中点，证明，可求圆的半径，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以为直径的圆上，当E位于点B时，，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长． 【详解】解：连接，， ∵， ∴H为的中点，即， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∴ 即， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴，， ∴， ∵， ∴始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以为直径的圆上， 当E位于点B时，，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合， ∴当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长， 在中，， ∴， ∴， ∴所对圆心角的度数为， ∵直径， ∴的长， 则当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为的长是解本题的关键． 10. 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解． 【详解】解：的“滋生函数”是， ，即， 解得， 是关于的方程的根， ，即， ． 故选：A． 二、填空题（共6小题，18分） 11. 当春时节，“好汉归来”．2024年3月24日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约31000名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力．31000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：31000用科学记数法表示为：， 故答案为：． 12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的k的值____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大是解答此题的关键．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可． 【详解】解：反比例函数，当时，随着的增大而增大， ∴， ， 可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：． 经检验是原方程的根． 故答案为：． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为____________m（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则m，，，在中，，设m，则m，m，，在中，，解得，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设m， 根据题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为7m， ∴m，，， 在中，， ∴， ∴， ∴m， ∴m， ∴m， 在中，， ∴， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 15. 已知二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是_____．（填序号）；②；（是一个常数）；④若，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置（左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④顶点决定了最值． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断与0的关系；当时，；然后由图象确定，继而，再根据，抛物线开口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离得出，继而解不等式即可． 【详解】解：①如图所示，抛物线开口方向向上，则． 对称轴在轴右侧， 、异号， ， 故①正确； ②， ． ． ． 故②正确； ③根据图示知，当时，有最小值； 当时，有， 所以（是一个常数）． ∴ 故③正确． ④若， ∵抛物线开口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离， 即，即 解得：，故④错误， 综上所述，正确的结论是：①②③． 故答案为：①②③． 16. 如图，在中，分别在上，连接交于点．若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DH∥AC，且DH=CE，连接EH、HB，则四边形HECD是平行四边形，由题意易得△BDH∽△EAB，由相似的性质及直角三角形的性质可得∠HBE=90°，然后根据可求解． 【详解】解：过点D作DH∥AC，且DH=CE，连接EH、HB，则四边形HECD是平行四边形，如图所示： ∠HAD=∠A=∠BDH=90°，∠EFC=∠FEH， ， ， △BDH∽△EAB， ∠HBD=∠BEA， 又∠AEB+∠ABE=90°， ∠HBD +∠ABE=90°， ， ，即； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形，关键是根据题意得到三角形的相似，然后利用相似三角形的性质及三角函数进行求解即可． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组：的整数解． 【答案】不等式组的整数解为：，，，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解； 分别求出不等式组中两个不等式的解集，取其公共部分就是不等式组的解集，进而可得整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为：，，，，． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若平分，，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1） 四边形为平行四边形，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，推出四边形是菱形，而，则是等边三角形，得出，即可求得四边形周长是． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形周长是． 【点睛】本题考查了等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明，以及在平分的条件下证明四边形为菱形是解题的关键． 19. 2024年3月24日，武汉马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 40 请根据表中提供的信息．解答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）据悉，本次武汉马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目参赛人数共30000人，试估计其中评价武汉马拉松A等级的人数． 【答案】（1）800；40；5 （2）126 （3）16500人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表以及扇形统计图； （1）根据等级的人数除以占比得出总人数，进而求得，的值； （2）根据等级的占比乘以，即可求解； （3）用总人数乘以等级的百分比计算即可求解． 【小问1详解】 解：此次调查的样本容量是， ， ，即， 故答案为：800；40；5． 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：评价武汉马拉松A等级的人数的有16500人． 20. 如图，的两条弦，交于点，且． （1）求证：； （2）连接，，若为的直径，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧与弦的关系得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，，即可证明； （2）设，则，在中，，进而得出，，证明，则，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵为的直径， ∴， 设，则， ∵ ∴， 在中， 即 解得：（负值舍去） ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，的顶点均为格点，与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，并画出点D的对应点M； （2）如图1，平移至，使点A的对应点为点D； （3）如图2，与网格线交于点E，过点E作于Q； （4）如图3，在上找一点G，使最小． 【答案】（1） 如图，点M即为所求； （2） 如图， （3） 如图，点Q即为所求． （4） 点G即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，菱形的性质，三角形的中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先画出线段旋转后的线段，再取与网格线的交点，即可； （2）取格点M，构造平行四边形，再取的中点N，连接，即可； （3）取格点M，N，连接，再取的中点F，连接，交于点Q，即可； （4）作点D关于直线的对称点K，连接，交于点G，即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​ （1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围． 【答案】（1）3， （2）2.25米 （3）；的取值范围为： 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，代入求出值，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由、之间的水平距离为8米得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点， 已知墙与等高， 即（米， 当时，，即顶点坐标为， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； 【小问3详解】 解：由题意知，点、纵坐标均为3，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得； 当时，即，解得（不合题意的值已舍去）； 当时，同理可得， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 23. 如图，在中，点，分别在，上，且． （1）【问题背景】如图1，若，求证：； （2）已知，. ①【变式运用】如图2，若，，求证：； ②【拓展创新】如图3，若，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴ 又， ∴ ∴； （2）①证明：如图所示，在上取一点，使得，         同（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据外角的性质得到，由，，得出，结合已知条件，证明，即可得出结论； （2）①在上取一点，使得，同（1）可得，得出，进而得出，进而可得，即； ②延长至，使得，则，过点作于点，勾股定理求得，在上取一点，使得，同（1）可得，进而得出，，过点作于点，则，求得，根据已知，可得，设，则，根据，得出，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②延长至，使得，则，， ∴， 过点作于点， 则，， ∴， 在上取一点，使得， 同（1）可得， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ， ， 又， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定，利用好（1）中的相似模型是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的解析式为 ； （2）如图1，若为y轴上一点，M是直线上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点．若线段与恰好关于平面内一点P成中心对称，求点P的横坐标； （3）如图2，平移抛物线使其顶点为原点，过的直线交平移后的抛物线于E，F两点，是y轴正半轴上一点，直线交抛物线于另一点G，直线交抛物线于另一点H，设直线的解析式为，试求的值． 【答案】（1）或 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）先由已知得，先将其代入可得a的值，进而可得抛物线的解析式； （2）先求出线解析式为，再由线段与恰好关于平面内一点P成中心对称，得到轴，且，点P的横坐标为，设，，根据列方程求解，最后根据点P的横坐标为得到答案； （3）先求出平移后的抛物线为，设直线的解析式为，与抛物线联立得到，，再设直线的解析式为，直线的解析式为，抛物线联立得到，，最后联立与抛物线得到，代入求值即可得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 将代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：令，解得， ∴，， 设直线解析式为，代入，得，解得， ∴线解析式为， ∵线段与恰好关于平面内一点P成中心对称，都在轴上， ∴点P是以和为对边的平行四边形的对角线交点， ∴轴，且，点P的横坐标为， ∵M是直线上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点， ∴设，， ∴，点P的横坐标为， ∵， ∴， 分以下两种情况： 当时，解得，（不合题意，舍去），，此时点P的横坐标为； 当时，解得，，，此时点P的横坐标为，； 综上所述，点P的横坐标为或或； 【小问3详解】 解：依题意，平移后的抛物线为：， 设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立，消去y得：， 由根与系数的关系，得：，， ∵， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，消去y得：， 由根与系数的关系，得：， ∴， 同理可得，， 联立，消去y得：， 由根与系数的关系，得：， ∴，即， ∴， 整理得． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，一次函数与二次函数综合，二次函数线段周长问题，二次函数与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，中心对称，二次函数的平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市翠微中学2024-2025学年第二学期 九年级数学3月月考试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　） A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一款折叠LED护眼灯示意图，是底座，，分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为（ ） A. 124cm B. 132cm C. 138cm D. 148cm 9. 如图，为直径，且过半径的中点H，过点A的切线交的延长线于G，且，点E为上一动点，于点F，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F经过的路径长是（ ） A. π B. π C. π D. π 10. 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、填空题（共6小题，18分） 11. 当春时节，“好汉归来”．2024年3月24日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约31000名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力．31000用科学记数法表示为____________． 12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的k的值____________． 13. 方程的解是___________． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为____________m（结果保留整数）．（参考数据：，，） 15. 已知二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是_____．（填序号）；②；（是一个常数）；④若，则． 16. 如图，在中，分别在上，连接交于点．若，则的值是__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组：的整数解． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若平分，，，直接写出四边形的周长． 19. 2024年3月24日，武汉马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 40 请根据表中提供的信息．解答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）据悉，本次武汉马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目参赛人数共30000人，试估计其中评价武汉马拉松A等级的人数． 20. 如图，的两条弦，交于点，且． （1）求证：； （2）连接，，若为的直径，，，求的长． 21. 如图，的顶点均为格点，与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，并画出点D的对应点M； （2）如图1，平移至，使点A的对应点为点D； （3）如图2，与网格线交于点E，过点E作于Q； （4）如图3，在上找一点G，使最小． 22. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​ （1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围． 23. 如图，在中，点，分别在，上，且． （1）【问题背景】如图1，若，求证：； （2）已知，. ①【变式运用】如图2，若，，求证：； ②【拓展创新】如图3，若，，直接写出的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的解析式为 ； （2）如图1，若为y轴上一点，M是直线上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点．若线段与恰好关于平面内一点P成中心对称，求点P的横坐标； （3）如图2，平移抛物线使其顶点为原点，过的直线交平移后的抛物线于E，F两点，是y轴正半轴上一点，直线交抛物线于另一点G，直线交抛物线于另一点H，设直线的解析式为，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $