专题1.1集合及其表示方法重难点题型讲义（3个知识点+20题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

专题1.1集合及其表示方法重难点题型专训 （3个知识点+20大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 根据集合相等关系进行计算 题型四 常用数集或数集关系应用 题型五 集合的分类 题型六 判断元素与集合的关系 题型七 根据元素与集合的关系求参数 题型八 根据集合中元素的个数求参数 题型九 利用集合元素的互异性求参数 题型十 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十一 集合元素互异性的应用 题型十二 空集的概念以及判断 题型十三 空集的性质及应用 题型十四 判断两个集合是否相等 题型十五 根据两个集合相等求参数 题型十六 自然语言表示集合 题型十七 描述法表示集合 题型十八 列举法表示集合 题型十九 列举法求集合中元素的个数 题型二十 区间的定义与表示和区间的关系与运算 拓展训练一 集合的表示方式 拓展训练二 常见的集合求参问题 知识点一：集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断. 【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 2．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①某校高一年级的数学教师组成一个集合； ②由－1，0，1，，，，3，－3组成的集合中有8个元素； ③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的． 其中不正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】①根据集合元素的性质可判断某校高一年级的数学教师组成一个集合，故①正确； ②，，由集合中元素的互异性，知这个集合中有6个元素，故②不正确； ③两个集合中的元素相同，只是排列次序不同，由集合中元素的无序性，知它们表示同一个集合，故③不正确． 故答案为：②③. 知识点二：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3、集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即时训练】 1.下列说法中正确的是(　　) A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 【答案】Ｃ 【解析】A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由title中的字母构成的元素为t，i，l，e，共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合． 2.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b,0组成的集合B相等，则a2 023＋b2 023的值为________． 【答案】－1 【解析】由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0， 所以＝0，所以b＝0， 所以a2＝1，即a＝±1， 又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以a＝－1. 所以a2 023＋b2 023＝－1. 知识点三：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： ①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）. 3.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误． 【详解】∵x3=x的解为-1，0，1， ∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{0，1}，故①错误； 实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D． 【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题． 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 【答案】 【分析】根据被7除余3的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除7的商为，余数为3，这个数可表示为，所以设被7除余3的自然数组成的集合为. 故答案为： 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【例2】（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 【答案】(1) (2),其中为相异正整数，理由见解析 【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可； （2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为： （2）解：设,其中, 由题意:,故， 所以，或, 下面讨论和时的情况， 当，即时，由于，故有，即， 所以，但此时，不满足“好集合”的定义，故舍去； 当，即时，此时， 满足“好集合”的定义. 所以，,其中为相异正整数. 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2023年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2023年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 【经典例题二 判断是否为同一集合】 【例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【例2】（多选题）（23-24高一上·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（    ） A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．是不大于3的正整数组成的集合 C．集合和表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 【答案】BC 【分析】根据集合的元素的特征逐一判断即可. 【详解】我校爱好足球的同学不能组成一个集合； 是不大于3的正整数组成的集合； 集合和表示同一集合； 由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素； 故选：BC 1．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比 【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是， ， ， ，集合中的元素是点， . ∴. 故选：D. 2．（2023高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断； 【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误； B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确； C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误； D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误； 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题. 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列关于集合的说法正确的有（    ） ①很小的整数可以构成集合； ②集合与集合是同一个集合； ③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误． 集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误． 1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误． 故选：A． 4．（多选题）（23-24高一上·浙江·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可. 【详解】A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合； B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合； C选项中，集合P中有一个元素是点，集合 Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合； D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合. 故选：ABD. 【经典例题三 根据集合相等关系进行计算】 【例1】（23-24高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 【答案】C 【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 【详解】由 且，则， ∴，于是，解得或, 根据集合中元素的互异性可知应舍去， 因此，, 故． 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值． 【答案】1 【分析】依题意可得，则，即可求出，再由，即可求出，即可得解； 【详解】解：因为，所以，则，即，即，所以，解得或，又，所以，所以 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知集合，集合，若 ，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由两集合相等可得结合中元素，结合集合中元素的无序性，分两种情况进行讨论，从而可选出正确答案. 【详解】解：因为，所以中元素为,当时，此时， 当时，此时, 故选：D. 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合P含有两个元素2,4，集合Q含有两个元素 ，且P和Q相等，则的值为 【答案】或 【分析】根据P和Q相等，由求解. 【详解】解：因为集合P含有两个元素2，4，集合Q含有两个元素，且P和Q相等， 所以，解得或， 故答案为：或 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，求的值. 【答案】或. 【解析】利用两个集合相等它们的元素分别对应相等,得到关于的方程,再利用集合中元素的互异性进行取舍即可. 【详解】由题意知，当时，，此时符合题意； 当时，，此时不符合集合中元素的互异性，（舍去）； 当时，，此时，符合题意； 综上可知，或. 【点睛】本题考查两个集合相等和集合中元素的互异性;属于中档题、常考题型. 【经典例题四 常用数集或数集关系应用】 【例1】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，使代数式的值为有理数的的集合是（    ） A． B． C．使的集合 D．使的集合 【答案】B 【分析】根据分母有理化化简后的结果判断可得． 【详解】，则， 故选：B． 【例2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为，且，所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据实数集，有理数集，自然数集，整数集的概念判断即可. 【详解】因为是实数集，所以，故①正确； 因为是有理数集，所以，，故②③错误； 因为是自然数集，所以，故④正确； 因为是整数集，所以，故⑤正确； 综上：关系正确的个数为3个. 故选：C. 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，建立方程求解即得. 【详解】依题意，，令，则，解得， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 【答案】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．举反例见解析 【详解】试题分析：根据给出的“闭集”的定义，验证给出的集合是否满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”即可得到结论． 试题解析： （1）数集N，Z不是“闭集”， 例如，3∈N,2∈N，而＝1.5∉N； 3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集． （2）数集Q，R是“闭集”． 由于两个有理数a与b的和，差，积，商， 即a±b，ab， (b≠0)仍是有理数， 故Q是闭集． 同理R也是闭集． 点睛：与集合有关的新概念问题的解题思路 (1)理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义； (2)利用学过的数学知识进行逻辑推理； (3)对选项进行筛选、验证，得出结论． 【经典例题五 集合的分类】 【例1】（2023高一上·辽宁抚顺·期中）下列集合中是有限集的是（    ） ①使得有意义的所有实数组成的集合； ②使得有意义的所有自然数组成的集合； ③方程的所有实数解组成的集合. ④15的质因数的全体构成的集合 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据有限集的知识进行分析，由此确定正确选项. 【详解】①，，为无限集，不符合题意，①错误，所以选B. ②，，为有限集，符合题意，②正确. ③，方程的所有实数解组成的集合为空集，为有限集，符合题意，③正确. ④，15的质因数的全体构成的集合为，为有限集，符合题意，④正确. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）证明：自然数集N是无限集． 【答案】证明见解析 【分析】定义从自然数集N到全体非负偶数集合M之间的一一对应，通过两集合的关系证明即可 【详解】定义一一对应：，即从自然数集N到全体非负偶数集合M之间的一一对应． 而全体非负偶数的集合M是N的真子集，且全体非负偶数的集合为无限集， 所以自然数集N是无限集． 1．（2023高一·全国·专题练习）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【分析】根据集合A、B的元素的个数，判断集合的类型. 【详解】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确； 故选：C． 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可. 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 3．（23-24高一上·全国·课后作业）有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2023的正约数的全体组成的集合；③2023年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 【答案】 ②③； ①④⑤. 【分析】根据题意分析即可得答案. 【详解】①由于负整数集是无限集，所欲5的负整数倍的全体组成的集合是无限集， ②由于，所以2023的正约数的全体组成的集合是有限集， ③2023年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集， ④由于圆的直径有无数条，所以给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合是无限集， ⑤末位是7的全体自然数组成的集合，显然是无有限集. 故答案为：②③；①④⑤. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【分析】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 【经典例题六 判断元素与集合的关系】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【答案】(1) (2)不是，证明见解析 【分析】（1）根据题意代入即可得结果； （2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明. 【详解】（1）若，则，所以集合． （2）4不是集合A中的元素，理由如下： 若，则有或； 当时，，不满足题意； 当时，解得，不满足题意； 综上所述，4不是集合中的元素． 1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 【答案】（2） 【分析】由集合的定义逐个判断即可. 【详解】若，则不能作为分母，故，（1）正确； 当时，，所以，故（2）错误； 当时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（2） 4．（2023高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1）若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2）若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 【经典例题七 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A中含有两个元素a和，若，则a为何值? 【答案】或 【分析】根据题意分析可知或，并结合集合的互异性运算求解. 【详解】已知集合A中含有两个元素a和，且， 则或，解得或， 所以a值为或． 1．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 3．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，且.求实数的值. 【答案】或0 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，再进行检验即可得解. 【详解】因为，， 所以或，解得或或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当或，或，满足题意； 综上，实数的值为或0. 【经典例题八 根据集合中元素的个数求参数】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 【例2】（24-25高一上·贵州期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的子集个数确定元素个数，进而求出值. 【详解】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，符合题意，则， 当时，一元二次方程有相等实根，，解得， ，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此， 所以a的取值是. 故选：D 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 【经典例题九 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 【例2】（2023高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得 【详解】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 1．（2023高三·全国·专题练习）设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解. 【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​. 当 ​时,​或​; 当​时,​. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求. 综上, ​或​. 故选: D. 2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【答案】 【分析】由元素的互异性求解即可. 【详解】解：由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 4．（2023高一·全国·课后作业）已知集合A可表示为{a,a2,},求实数a应满足的条件. 【答案】a≠0,a≠1,a≠-1. 【详解】分析：利用元素的互异性求解． 详解： 由题意可得A={a,a2,},由集合中元素的互异性可得,解得a≠0,a≠1,a≠-1.故实数a应满足的条件为a≠0,a≠1,a≠-1. 点睛：本题考查集合中元素的互异性，由集合中元素两两不等，可得的范围． 【经典例题十 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 1．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素. 【详解】因为，即，所以的可能取值为， 分别代入可得，所以集合中共有8个元素. 故选：D 2．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由已知可得，可取-1，0，1.分别令、、，求解出即可. 【详解】因为，，，所以，可取-1，0，1. 当时，原式为，又，所以； 当时，原式为，又，所以或或； 当时，原式为，又，所以. 所以，，共有5个元素. 故选：B． 3．（2023高三·河北·学业考试）设集合，，，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数. 【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8． 根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素． 故答案为：4． 4．（2023高三·全国·专题练习） ，，，求中元素个数. 【答案】33个. 【分析】集合B中的元素为300以内3的倍数，集合C中的元素为200以内2的倍数，即可解出. 【详解】由题意，集合B中的元素为300以内3的倍数，集合C中的元素为200以内2的倍数， 所以中元素为200以内6的倍数，故共有个，即有33个元素. 【经典例题十一 集合元素互异性的应用】 【例1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列语句是否正确，并说明理由. （1）某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合; （2）由1，，0.5构成的集合有5个元素; （3）将小于100的自然数，按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合. 【答案】（1）错误，理由见解析；（2）错误，理由见解析；（3）错误，理由见解析. 【分析】(1)利用集合中元素具有确定性判断命题；(2)利用集合中元素具有互异性判断命题；(3)利用集合中元素具有无序性判断命题． 【详解】(1)错误.因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性. (2)错误.因为=0.5，根据集合中元素的互异性知，由1，，0.5构成的集合只有3个元素:1，，0.5. (3)错误.根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一个集合 【点睛】本题考查集合中元素的特点，考查学生逻辑推理能力，属于基础题． 1．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中，则满足关系式的的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可. 【详解】当时， 当时， 当时， 当时， 则满足关系式的的个数为2个， 故选：C． 2．（2024·山东枣庄·一模）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 3．（2023高一上·北京海淀·阶段练习），则 . 【答案】0 【分析】根据元素的互异性原则,a不能是1,,只能,再求出b的值即可求出的值. 【详解】根据集合的元素具有互异性，由集合,得，,则，, 所以， 故答案为:0. 【点睛】本题考查集合的元素具有互异性,属于基础题. 4．（23-24高一上·安徽宿州·阶段练习）集合中，x应满足的条件 【答案】x≠0且x≠－1且x≠3 【分析】利用集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合互异性知，故x≠0且x≠－1且x≠3. 【经典例题十二 空集的概念以及判断】 【例1】（2023·全国·一模）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，方程无解，. 选:D. 【例2】（23-24高一上·江苏·课后作业）＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0，x∈R}，求a的取值范围． 【答案】a≤0． 【解析】转化为关于x的方程ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解可求得结果. 【详解】因为＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0，x∈R}， 所以关于x的方程ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解， ①当a＝0时：无解，符合题意， ②当a≠0时：△＝4a2﹣4a（a﹣1）＜0，解得：a＜0， 综上所述：a≤0． 1．（23-24高三·湖南常德·阶段练习）下列集合中，是空集的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由于= ，而，所以该集合空集,故选D． 考点：空集的概念． 2．（23-24高一·全国·课后作业）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【解析】根据空集的定义判断． 【详解】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素． 故选：B． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 【经典例题十三 空集的性质及应用】 【例1】（23-24高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）集合，，若集合中至少有一个非空集合，求实数的取值范围. 【答案】{或，且} 【分析】先求出都是空集时，再从补集角度求出两个集合至少有一个集合不为空集或，且. 【详解】对于，由，解得； 对于B，由，解得. 当集合都是空集时，则， 当两个集合至少有一个集合不为空集， 所以的取值范围是{或，且} 【点睛】关于“至少”“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是都是空集，由此能求出的取值范围.对于难于从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决. 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空集的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集； 对D，因为，所以不存在实数，使得，所以. 故选：D 2．（23-24高一·天津武清·阶段练习）下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合关系的表示，空集的定义和性质，集合相等，交集运算的定义，逐一判断五个结论的正误，可得答案． 【详解】“∈”表示元素与集合的关系，故①错误； 空集是任何集合的子集，故②正确； 由{0，1，2}＝{1，2，0}可得{0，1，2}⊆{1，2，0}成立，故③正确； 空集不含任何元素，故④错误 “∩”是连接两个集合的运算符号，0不是集合，故⑤错误 所以错误写法的个数为3个 故选：C． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解，属于基础题． 3．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【经典例题十四 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据是的倍数，，即可求解. 【详解】由于是与的公倍数,， 故是的倍数,， ,故， 故选：C 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 【答案】相等 【分析】求出集合，进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 1．（2023高一·全国·专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出. 【详解】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·课后作业）集合M＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（    ） A．M＝N B．MN C．NM D．M与N关系不确定 【答案】A 【分析】对k分奇偶进行讨论，即可判断M与N关系. 【详解】对于集合M，当k＝2n(n∈Z)时，M＝{x|x＝＋，n∈Z}，当k＝2n－1，n∈Z时， M＝{x|x＝－，n∈Z}，所以M＝N， 故选：A． 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）角的集合与集合之间的关系为 ． 【答案】 【分析】在集合中，分析的奇偶，可得出集合所表示的角的终边，与集合相比较，可得出结果. 【详解】解：集合，当为奇数时，假设，则，即表示终边在轴非正半轴上的角，当为偶数时，假设，集合，表示终边在轴非负半轴上的角； 集合，则集合表示终边落在轴上的角的集合，所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）集合，，试证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据集合相等的定义“若且，则”证明即可. 【详解】一方面，对N中任一元素u，有， 从而. 另一方面，对M中任一元素u，有， 从而. 故． 【经典例题十五 根据两个集合相等求参数】 【例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 【例2】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）若，集合，求. 【答案】2 【分析】根据集合相等列等式，解方程即可. 【详解】因为，所以两个集合中的元素完全相同， 因为a做分母，所以，因此只能，从而，即，所以，，所以. 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由集合相等，建立方程组求解即可． 【详解】，且， 易知，解得，即. 故选：C． 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】根据集合相等求出，然后代入式子可得. 【详解】因为，所以，故， 又，所以，解得， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 4．（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，求b2010－a2011的值 【答案】2 【详解】试题分析：两集合相等，即元素完全相同，由此可得到关于的等式关系，由此解得其值，代入所求式子得其值 试题解析：由已知得a+b=0或a=0（舍） a=-b a=-1 b=1 b2010－a2011=2 考点：集合相等 【经典例题十六 自然语言表示集合】 【例1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值性质分析可得，运算求解即可. 【详解】对于不等式， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合M={1,3,m+1}，集合N={1,4}，若N⊆M，求实数m的值。 【答案】3 【分析】根据子集的定义，若N⊆M，则集合N中的所有元素都必须是集合M中的元素，由此可列出关于m的方程，进而求解。 【详解】已知集合M={1,3,m+1}，集合N={1,4}，且N⊆M 因为4是集合N中的元素，所以4也必须是集合M中的元素。 在集合M的元素1、3、 m+1中，只有m+1可能等于4，即m+1=4。 解得m=3 此时集合M={1,3,4}，满足N⊆M。 所以，实数m的值为3。 1．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出不等式，然后由描述法表示成集合即可. 【详解】解不等式可得：， 故其解集为：. 故选：C 2．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据集合元素的特征，即可判断选项. 【详解】第一象限内的点的坐标，即，第三象限内的点的坐标，即，故①正确； 所有奇数组成的集合为，故②错误； 集合是点集，集合表示数集，不是同一集合，故③错误. 故选：A 3．（2023·上海·二模）甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 . 【答案】 【分析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为,甲的答案为,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为,,,,等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为,故答案为. 【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．（23-24高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【经典例题十七 描述法表示集合】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所得结果列举出来即可. 【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 2．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·专题练习） ． 【答案】 【分析】根据描述法表示集合的意义，即可求解. 【详解】因为，，所以， 得， 则. 故答案为： 4．（2023高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【经典例题十八 列举法表示集合】 【例1】（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 【例2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【详解】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 1．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【详解】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； 【详解】（1）由可得：，所以. （2）. 【经典例题十九 列举法求集合中元素的个数】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·期末）2023年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用标记亚运会开始的日期，即，用表示亚运会结束的日期，即.那么以实数为端点的区间可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的定义得到答案 【详解】以实数为端点的区间可以表示为 故选：C 【例2】（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【答案】9 【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素. 【详解】，， ，共9个元素. 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 2．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用区间表示集合的交集. 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，则中所含的元素个数为 ． 【答案】 【分析】采用列举法表示出集合，由此可得元素个数. 【详解】， ， 中共有个元素. 故答案为：. 4．（23-24高一·江苏·课后作业）不包含－1， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，求A中的元素． 【答案】集合A中的元素为2， －3， －， ． 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，集合A中的元素为2， ， ， ． 【经典例题二十 区间的定义与表示和区间的关系与运算】 【例1】（2023高一上·辽宁阜新·阶段练习）下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 【答案】C 【分析】根据常用数集的字母表示即可选出答案. 【详解】表示：自然数集，表示：全体实数集，表示：有理数集，表示整数集. 故选：C 【点睛】本题主要考查常用数集的字母表示，属于简单题. 【例2】（23-24高一上·西藏昌都·期中）解下列不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来，解集用区间表示. （1）5x+15>4x-13； （2）. 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【解析】将不等式或不等式组直接求解出来，画出数轴即可. 【详解】（1）由解得， 故不等式的解集为，数轴表示如下： （2）由解得， 故不等式的解集为，数轴表示如下： 1．（2023高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 2．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】（1）由集合元素的确定性特征判断；（2）由数集和点集判断；（3）由集合元素的互异性判断；（4）由x，y可以为0判断. 【详解】（1）很小的实数不确定，不能构成集合，故错误； （2）集合表示二次函数的值域，是数集， 集合是二次函数图象上的点构成的集合，是点集，故不同一个集合，故错误； （3），，，0.5，这些数组成的集合有，，，是3个元素，故错误； （4）集合是指第二和第四象限内及坐标轴上的点集，故错误. 故选：A 3．（2023·上海浦东新·一模）设集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 4．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 【拓展训练一 集合的表示方式】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 【例2】（2024高一·全国·专题练习）求证： (1)集合中都是合数； (2)集合中存在无穷多合数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）因为，对为偶数或奇数进行分类讨论即可得出一定为合数； （2）取即可得是2026的倍数，是合数，可得结论. 【详解】（1）由于， 若为偶数，则为偶数； 若为奇数，为偶数，故也为偶数． 又因为， 所以为合数，即集合中都是合数． （2）取，，则． 此时是2026的倍数，是合数， 故集合中存在无穷多合数． 1．（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 2．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素. 【详解】集合，集合， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上. 故选：C 【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题. 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）三角形的周长为31，三边，，均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为 . 【答案】24 【分析】根据三角形三边关系、周长为，可求得且，采用列举法列举出所有可能的结果，从而得到三元数组的个数. 【详解】由三角形三边关系及周长可得：     又    ，，即， ，所以所有可能的取值为：且 ①当时，或 ②当时，或或 ③当时，或或或或 ④当时，或或或或或 ⑤当时，或或或或或或或 则三元数组共有：个 本题正确结果： 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题关键是能够得到边长的取值范围，然后根据分类计数原理，采用列举的方法求得结果. 4．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）设集合，，其满足（1）：（2）若，则. (1)能否为单元素集，为什么？ (2)求出只含两个元素的集合. (3)满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)或或 (3)满足条件的共在个，列举答案见解析 【分析】(1)不是为单元集，通过题意推出方程，直接求解推出的值即可说明； (2)通过列举法可求出只含两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合，通过，所以必然时的约数，然后一一列举出来即可. 【详解】（1）不能，因为，，且， 而， 如果是单元素集，必须， 解得， 与矛盾， 所以不能为单元素集； （2）只有两个元素， ，， 为的约数，可取或或或或或， 即可取，，，，，， 其对应的可取，，，，，，与的取值一一对应， 所以只含两个元素的集合或或； （3）由（2）得，可取，，，，，， 其对应的可取，，，，，，与的取值一一对应， 所以满足条件的集合有或或或或或或，共个. 【拓展训练二 常见的集合求参问题】 【例1】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 【例2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）1.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则∈A． (1)集合A是否为双元素集，并说明理由； (2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A． 【答案】(1)集合A不是双元素集合；理由见解析 (2) 【分析】（1）由x∈A，得∈A，往后继续代入，发现循环规律，得到集合A中至少有3个元素，从而集合A不是双元素集合． （2）发现规律：集合A中至少有3个元素，所有元素的积为，故分情况讨论，得到，，，另外由3∈A，同理得，∈A，从而得到集合A． 【详解】（1）因为，所以，则所以，循环往复，因为，，故集合A中至少有3个元素，所以集合A不是双元素集合； （2）因为集合A中至少有3个元素，所有元素的积为， 当时，解得：，因为x≠1且x≠0，所以，故，接下来，，循环 当，解得：或，因为题干条件x≠1且x≠0，所以，则，，，循环 当，解得：，因为，所以，所以， 所以，循环，以上三种情况答案一样. 因为3∈A，同理得，∈A， 因为A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 经检验． 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 【答案】C 【解析】由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案. 【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题. 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解 【详解】因为集合且， 若， 则中也包含四个元素，即， 剩下的， 对于①：由得，故①正确； 对于②：由得，故②正确； 对于③：由得，故③正确； 故选：D 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 4．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知，，.求： （1）使，的 的值； （2）使的 的值. 【答案】（1），或，；（2），或， 【分析】（1）由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，，，联立方程即可得出结果. （2）根据集合相等，集合中的元素相同，可得，解方程即可得出结果 。 【详解】（1）因为，所以 又因为，所以，解得或 当时，，解得 当时，，解得 所以，，或，； （2），，解得或 所以，，或，. 【点睛】本题考查了集合的性质及元素与集合、集合与集合间的关系，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 2．（2024高一·全国·竞赛）我们称数集为数域，当且仅当数集中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集中，则下列数集能称作数域的是（     ）. A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 【答案】C 【分析】根据数域的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，不在自然数集里，不正确； 对于B，不是整数，不正确； 对于C，有理数经过加法、减法、乘法、除法四则运算后，仍为有理数，正确； 对于D，不在无理数集里，不正确. 故选：C. 3．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 5．（2023·全国·模拟预测）设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果． 【详解】若①错，则，，， 有两种情况：，，，， 或，，，，； 若②错，则，，互相矛盾，故②对； 若③错，则，，， 有三种情况：，，，，； ，，，，； ，，，，； 若④错，则，，， 只有一种情况：，，，， 所以 故选：C 6．（多选题）（23-24高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 7．（多选题）（（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】元素与集合的关系，就是看元素是否符合集合的要求，逐个验证即可. 【详解】A选项：，且，∴，故A正确； B选项：，且，∴，故B正确； C选项：，且，∴，故C不正确； D选项：，且，∴，故D正确. 故选：ABD 8．（多选题）（（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 9．（多选题）（（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 则，A错误，C正确； ，B正确； ，D不正确. 故选：BC 10．（多选题）（（24-25高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件得到，再利用集合的表示方法，即可求解. 【详解】由且，得到，所以集合为或. 故选：AC. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 12．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若，则 ． 【答案】-4 【分析】利用元素与集合的关系和集合中元素的互异性求解. 【详解】若，由元素与集合的关系和集合中元素的互异性， 则有且，或者且， 解得. 故答案为：-4 13．（23-24高一上·河北·阶段练习）如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为 .    【答案】 【分析】根据阴影部分的点构成的集合求解即可. 【详解】易知阴影部分的点构成的集合为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·全国·课后作业）对于一个集合S，若a∈S时，有∈S，则称这样的数集为“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由“可倒数集”的定义求解即可. 【详解】由“可倒数集”的定义，若，， 若，，所以“可倒数集”可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 15．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）已知集合={}，直角坐标系中的点集={|∈∈}.若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集中的所有点，则这张纸片的面积至少是 . 【答案】 【分析】由题意运用列举法求得集合B，由此可求得答案. 【详解】解：因为集合={}，点集={|∈∈}. 所以点集=， 所以这张纸片的面积至少是， 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验，从而得出解法的正误． 【详解】解：不正确．原因为：由题意知， ①或②， 由①得，但此时，不满足互异性，故舍去． 由②得（舍）或，经检验符合题意． 综上所述，实数的值为． 17．（23-24高一·湖南·课后作业）记为平面上所有点组成的集合并且，，说明下列集合的几何意义： (1)； (2)． 【答案】(1)以为圆心，5为半径的圆内部分 (2)线段的垂直平分线 【分析】（1）由圆的定义可得； （2）由线段垂直平分线的定义可得． 【详解】（1）表示到点距离小于5的点组成的集合，即以为圆心，5为半径的圆内部分； （2）到距离相等，即线段的垂直平分线． 18．（23-24高一·全国·课后作业）设M是一个非空集合，f是一种运算.如果对于集合M中任意两个元素p，q，实施运算f的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算f是“封闭的”.已知集合，试验证M对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算是封闭的. 【答案】见解析 【分析】在集合中设出，，再根据有理数集对加减乘除运算是封闭的及无理式的运算法则进行逐一验证. 【详解】设，，，， 且，，，. 对于加法： ， 因为，，，， 所以，， 即； 对于减法： ， 因为，，，， 所以，， 即； 对于乘法： ， 因为，，，， 所以，， 即； 对于除法： 设，则 ， 因为，，，， 所以，， 即； 综上所述，由集合的定义及封闭的定义可以验证M对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算是封闭的. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 20．（24-25高一上·云南昆明·期中）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据集合相等的概念列式计算即可求； （2）由，根据题意，结合，准确运算，即可证明. 【详解】（1）因为集合可表示为，也可表示为， 即. 则满足，且，解得，， 所以. （2）证明：若，则； 若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另外两个元素和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1集合及其表示方法重难点题型专训 （3个知识点+20大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 根据集合相等关系进行计算 题型四 常用数集或数集关系应用 题型五 集合的分类 题型六 判断元素与集合的关系 题型七 根据元素与集合的关系求参数 题型八 根据集合中元素的个数求参数 题型九 利用集合元素的互异性求参数 题型十 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十一 集合元素互异性的应用 题型十二 空集的概念以及判断 题型十三 空集的性质及应用 题型十四 判断两个集合是否相等 题型十五 根据两个集合相等求参数 题型十六 自然语言表示集合 题型十七 描述法表示集合 题型十八 列举法表示集合 题型十九 列举法求集合中元素的个数 题型二十 区间的定义与表示和区间的关系与运算 拓展训练一 集合的表示方式 拓展训练二 常见的集合求参问题 知识点一：集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①某校高一年级的数学教师组成一个集合； ②由－1，0，1，，，，3，－3组成的集合中有8个元素； ③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的． 其中不正确的是 （填序号）． 知识点二：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3、集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即时训练】 1.下列说法中正确的是(　　) A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 2.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b,0组成的集合B相等，则a2 023＋b2 023的值为________． 知识点三：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： ①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）. 3.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【例2】（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 3．（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2023年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【经典例题二 判断是否为同一集合】 【例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（多选题）（23-24高一上·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（    ） A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．是不大于3的正整数组成的集合 C．集合和表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 1．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列关于集合的说法正确的有（    ） ①很小的整数可以构成集合； ②集合与集合是同一个集合； ③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（多选题）（23-24高一上·浙江·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题三 根据集合相等关系进行计算】 【例1】（23-24高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值． 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知集合，集合，若 ，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合P含有两个元素2,4，集合Q含有两个元素 ，且P和Q相等，则的值为 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，求的值. 【经典例题四 常用数集或数集关系应用】 【例1】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，使代数式的值为有理数的的集合是（    ） A． B． C．使的集合 D．使的集合 【例2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 【经典例题五 集合的分类】 【例1】（2023高一上·辽宁抚顺·期中）下列集合中是有限集的是（    ） ①使得有意义的所有实数组成的集合； ②使得有意义的所有自然数组成的集合； ③方程的所有实数解组成的集合. ④15的质因数的全体构成的集合 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【例2】（2025高三·全国·专题练习）证明：自然数集N是无限集． 1．（2023高一·全国·专题练习）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 3．（23-24高一上·全国·课后作业）有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2023的正约数的全体组成的集合；③2023年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【经典例题六 判断元素与集合的关系】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 4．（2023高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【经典例题七 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A中含有两个元素a和，若，则a为何值? 1．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，且.求实数的值. 【经典例题八 根据集合中元素的个数求参数】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·贵州期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【经典例题九 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【例2】（2023高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 1．（2023高三·全国·专题练习）设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 4．（2023高一·全国·课后作业）已知集合A可表示为{a,a2,},求实数a应满足的条件. 【经典例题十 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 1．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 3．（2023高三·河北·学业考试）设集合，，，则中的元素个数为 ． 4．（2023高三·全国·专题练习） ，，，求中元素个数. 【经典例题十一 集合元素互异性的应用】 【例1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列语句是否正确，并说明理由. （1）某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合; （2）由1，，0.5构成的集合有5个元素; （3）将小于100的自然数，按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合. . 1．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中，则满足关系式的的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024·山东枣庄·一模）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（2023高一上·北京海淀·阶段练习），则 . 4．（23-24高一上·安徽宿州·阶段练习）集合中，x应满足的条件 【经典例题十二 空集的概念以及判断】 【例1】（2023·全国·一模）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·江苏·课后作业）＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0，x∈R}，求a的取值范围． 1．（23-24高三·湖南常德·阶段练习）下列集合中，是空集的是 A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B．，且 C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【经典例题十三 空集的性质及应用】 【例1】（23-24高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）集合，，若集合中至少有一个非空集合，求实数的取值范围. 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24高一·天津武清·阶段练习）下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【经典例题十四 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 1．（2023高一·全国·专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）集合M＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（    ） A．M＝N B．MN C．NM D．M与N关系不确定 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）角的集合与集合之间的关系为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）集合，，试证：． 【经典例题十五 根据两个集合相等求参数】 【例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【例2】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）若，集合，求. 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 4．（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，求b2010－a2011的值 【经典例题十六 自然语言表示集合】 【例1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合M={1,3,m+1}，集合N={1,4}，若N⊆M，求实数m的值。 1．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（2023·上海·二模）甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 . 4．（23-24高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【经典例题十七 描述法表示集合】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·专题练习） ． 4．（2023高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【经典例题十八 列举法表示集合】 【例1】（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【例2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 1．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) 【经典例题十九 列举法求集合中元素的个数】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·期末）2023年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用标记亚运会开始的日期，即，用表示亚运会结束的日期，即.那么以实数为端点的区间可以表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，则中所含的元素个数为 ． 4．（23-24高一·江苏·课后作业）不包含－1， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，求A中的元素． 【经典例题二十 区间的定义与表示和区间的关系与运算】 【例1】（2023高一上·辽宁阜新·阶段练习）下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 【例2】（23-24高一上·西藏昌都·期中）解下列不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来，解集用区间表示. （1）5x+15>4x-13； （2） . 1．（2023高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2023·上海浦东新·一模）设集合，，则 . 4．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，求，，． 【拓展训练一 集合的表示方式】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（2024高一·全国·专题练习）求证： (1)集合中都是合数； (2)集合中存在无穷多合数． 1．（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）三角形的周长为31，三边，，均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为 . 4．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）设集合，，其满足（1）：（2）若，则. (1)能否为单元素集，为什么？ (2)求出只含两个元素的集合. (3)满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来. 【拓展训练二 常见的集合求参问题】 【例1】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【例2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）1.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则∈A． (1)集合A是否为双元素集，并说明理由； (2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A． 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 4．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知，，.求： （1）使，的 的值； （2）使的 的值. 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 2．（2024高一·全国·竞赛）我们称数集为数域，当且仅当数集中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集中，则下列数集能称作数域的是（     ）. A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 3．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（      ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 9．（多选题）（（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则（ ） A． B． C． D． 10．（多选题）（（24-25高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 12．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若，则 ． 13．（23-24高一上·河北·阶段练习）如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为 .    14．（23-24高一上·全国·课后作业）对于一个集合S，若a∈S时，有∈S，则称这样的数集为“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”： . 15．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）已知集合={}，直角坐标系中的点集={|∈∈}.若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集中的所有点，则这张纸片的面积至少是 . 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 17．（23-24高一·湖南·课后作业）记为平面上所有点组成的集合并且，，说明下列集合的几何意义： (1)； (2)． 18． （23-24高一·全国·课后作业）设M是一个非空集合，f是一种运算.如果对于集合M中任意两个元素p，q，实施运算f的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算f是“封闭的”.已知集合，试验证M对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算是封闭的. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 20．（24-25高一上·云南昆明·期中）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $$