专题1.6集合与逻辑40道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

专题1.6集合与逻辑40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 根据集合相等关系进行计算 题型二 根据元素与集合的关系求参数 题型三 根据集合中元素的个数求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型六 根据集合的包含关系求参数 题型七 根据交集结果求集合或参数 题型八 已知命题的真假求参数 题型九 充要条件的证明 题型十 反证法证明 【经典例题一 根据集合相等关系进行计算】 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 2．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合，则 . 3．（23-24高二下·湖南常德·阶段练习）若集合，且下列四个关系：（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 . 4．（23-24高一上·上海·期中）已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 【经典例题二 根据元素与集合的关系求参数】 5．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 6．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 7．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 8．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)①求证：；②求证：. 【经典例题三 根据集合中元素的个数求参数】 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选）（22-23高一上·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 11．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 12．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 13．（2023高一·全国·专题练习）集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 14．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 15．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 16．（23-24高一·全国·课后作业）设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ． （1）若，试证明集合中有元素，； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【经典例题五 根据两个集合相等求参数】 17．（2023高一上·全国·专题练习）已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A．12 B．21 C．102 D．201 18．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若有限集，且满足，则称A为“完美集”． （1）若为“完美集”，则实数 ： （2）若且为“完美集”，则 ． 20．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，求证：，并直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【经典例题六 根据集合的包含关系求参数】 21．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 23．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 24．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【经典例题七 根据交集结果求集合或参数】 25．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 26．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若集合，，满足，则实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 27．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 28．（2025高三·全国·专题练习）对于点集，，是否存在非零整数a，使得？ 【经典例题八 已知命题的真假求参数】 29．（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 30．（多选）（23-24高三上·湖北·期中）若“”为假命题，“”为真命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 32．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【经典例题九 充要条件的证明】 33．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 34．（多选）（2025高三·全国·专题练习）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 35．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”. 其中正确的结论是 （填所有正确的结论的序号）. 36．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【经典例题十 反证法证明】 37．（22-23高三上·上海徐汇·期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 38．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）某公司有10名股东.其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项正确的有（    ） A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于 B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于 C．公司最大的股东所持股份不超过 D．公司最大的股东所持股份可以超过但不超过 39．（2023高二下·全国·专题练习）已知均为实数，给出下列条件：①；②；③；④．其中能推出“中至少有一个大于1”的条件是 ．（填序号） 40．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6集合与逻辑40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 根据集合相等关系进行计算 题型二 根据元素与集合的关系求参数 题型三 根据集合中元素的个数求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型六 根据集合的包含关系求参数 题型七 根据交集结果求集合或参数 题型八 已知命题的真假求参数 题型九 充要条件的证明 题型十 反证法证明 【经典例题一 根据集合相等关系进行计算】 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 2．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合，则 . 【答案】2或4或1 【分析】根据，，，，，利用集合元素的互异性，分别求出与即可． 【详解】，，，，， ，，， 若或，则或． 当时，，2，，，， 即，解得或， 此时或， 当时，，，，1，， 即，解得，， 所以或4或1， 故答案为：2或4或1. 3．（23-24高二下·湖南常德·阶段练习）若集合，且下列四个关系：（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 . 【答案】6 【分析】利用集合的相等关系，结合（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的,通过分析推理即可得出结论. 【详解】若（1）正确，则（2）也正确不合题意; 若（2）正确，则（1）（3）（4）不正确，即， 则满足条件的有序组为: ；或; 若（3）正确，则（1）（2）（4）不正确,即, 则满足条件的有序组为: ; 若（4）正确，则（1）（2）（3）不正确,即, 则满足条件的有序组为: 或或, 所以符合条件的有序数组的个数是6个. 故答案为6 【点睛】本题考查集合的相等关系,考查分类讨论思想,正确分类是关键,属于中档题. 4．（23-24高一上·上海·期中）已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)A不具有，B具有，理由见解析 (3)∉，2 (4)证明见解析 【分析】(1)假设为单元素集，则，化简后可得不存在，所以即可证明； (2)根据定理罗列出与值 ，看是否属于数集与数集，即可判断； (3) 已知数集具有性质P，则，所以只有，再根据已知条件可求得，假设，代入可发现矛盾，所以可判断； (4)根据数集具有性质P，可判定且，则可以证得结论. 【详解】（1）根据题意设为单元素集，即，且， 代入可得，可以算出无解，所以， 故不可能为单元素集； （2）由于均不属于数集，所以数集不具有性质P， 由于都属于数集， 所以数集具有性质P； （3）已知数集具有性质P，则， 所以只有，又因， 则可得，若，则有，与矛盾， 所以； 若，设，均满足规律：， 则，根据集合元素互异性，所以. 故答案为：；2. （4）由(3)知，所以 由于数集具有性质P， 故，所以， ，所以， 则， 所以 【点睛】思路点睛：对于新定义题关键在于对定义的理解，通常通过类比、举例分析等方法加深对新概念的理解，然后围绕所给定义进行求解. 【经典例题二 根据元素与集合的关系求参数】 5．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可． 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 6．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 【答案】BC 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 7．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 8．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)①求证：；②求证：. 【答案】(1)集合M具有，集合N不具有，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用性质的定义判断即可； （2）利用，可得，又，，分析可得，即得解； （3）① 由 ，，可证明； ② 由，以及，可得，将等式左右两边相加可证明. 【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质 理由如下： 对集合，由于 所以集合具有性质； 对集合，由于，故集合不具有性质. （2）由于，故 又，故 又，故 因此集合 （3）①由于，故 ，故得证 ②由于 故 又 将各个式子左右两边相加可得： 故得证 【经典例题三 根据集合中元素的个数求参数】 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】选项A，B和C，利用方程至少有一个根，所有解的个数取决于；方程的解得个数取决于及，逐一分析判断即可得答案；选项D，根据条件得到，，，设为的一个根，从而得到，即为方程的根，即可求解. 【详解】令，， 对于选项A，当时，方程无实根， 所以，，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有且只有一根，又一定是的根，所以， 又且时，无解，此时，所以选项B错误， 对于选项C，若时，则有且只有根， 又一定是的根，所以且，或且， 当时，存在，使且，此时只有一根，所以选项C错误， 对于选项D，当时，方程有三个根，所以，，， 设为的一个根，即，则， 且，所以为方程的根， 故有三个根，即时，必有，所以选项D错误， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分理解二次函数的根与系数的关系，观察分析两函数的区别与联系，从而得解. 10．（多选）（22-23高一上·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 11．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 12．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得到有关于的两个一元二次方程，再根据有四个元素可得到两个二次方程均有两个实数根可求得结果； （2）根据（1）中的不等式可得到只能让有一解，让有两个解，即可得到之间的关系. 【详解】（1）有4个元素，即等价于与分别有两个不同实数根， 因为， 于是要求即可； （2）由于有3个元素，因此仅有一解，可以得到， 设是方程的两个解，于是得到， 可解得， 由于点到直线的距离为3，因此三个点构成的三角形为等边三角形， 所以. 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 13．（2023高一·全国·专题练习）集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=3时，x-1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误； 当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 故选B． 14．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 15．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 16．（23-24高一·全国·课后作业）设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ． （1）若，试证明集合中有元素，； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3） 【分析】（1）由，可得，从而，由此得到结论； （2）由，可推得，，，，，即可得到集合中至少有3个元素； （3）由集合中所有元素的积为1，从而得出，进而求得的值，由此能求得集合． 【详解】（1）由题意，因为，可得． 因为，则．所以集合中有元素，． （2）由题意，可知若（且）， 则，，且，，， 故集合中至少有3个元素． （3）由集合中的元素个数不超过8，所以由（2）知中有6个元素． 设，，且，且， 因为集合中所有元素的积为1， 不妨设，或，或． 当时，（舍去）或；若，则． ∵集合中所有元素的和为，∴， ∴，即， 即，即， ∴或3或，∴． 当或时，同理可得． 综上，． 【点睛】本题主要考查了集合定义、集合的表示方法，以及集合中元素的个数的求法等知识的综合应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 【经典例题五 根据两个集合相等求参数】 17．（2023高一上·全国·专题练习）已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A．12 B．21 C．102 D．201 【答案】D 【分析】根据集合相等的条件，列出所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出的值后代入求值. 【详解】由得的取值情况如下： 当时，，或，，此时不满足条件； 当时，或此时不满足条件； 当时，此时不满足条件； 当时，此时满足条件； 综上得，代入. 【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏. 18．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解 【详解】因为集合且， 若， 则中也包含四个元素，即， 剩下的， 对于①：由得，故①正确； 对于②：由得，故②正确； 对于③：由得，故③正确； 故选：D 19．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若有限集，且满足，则称A为“完美集”． （1）若为“完美集”，则实数 ： （2）若且为“完美集”，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到方程，求出； （2）不妨设，且均为正整数，因为，故，当时，推出，，无解，不合要求，时，推出，进而列出方程，求出，得到一个“完美集”，为；当时，推出矛盾，不存在“完美集”，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得； （2），不妨设，且均为正整数， 因为，故， 由于，故当时，，由于为正整数，故， 由“完美集”的定义，，显然无解， 故当时，不存在“完美集”； 当时，可得，由于且为正整数，故， 由“完美集”的定义，， 解得，故当时，存在一个“完美集”，为； 当时，由得， 故， 而当时，恒成立， 即， 这与矛盾， 故当时，不存在“完美集”， 综上，. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 20．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，求证：，并直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析； (3)集合A中元素的个数的最大值为1348. 【分析】(1)根据题目的定义，直接计算集合S、T即可； (2)根据相等集合的概念即可得出结果； (3)通过假设集合()，求出对应的集合S、T，通过建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）根据题意，由集合，计算集合，，所以； （2）由于，，且， 所以T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以，，所以， 因为，由容斥原理，， 最小的元素为0，最大的元素为，所以， 所以，解得， 实际上当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 依题意，有，即，所以m的最小值为674，于是当时， 集合A中的元素最多，即时满足题意. 综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【经典例题六 根据集合的包含关系求参数】 21．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 22．（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【分析】由，分类讨论即可求解； 【详解】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 23．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 24．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【分析】由题意，所以，这里可以分三种情况，集合是空集、集合中只含有集合中的一个元素，集合中含有集合中的两个元素；对于是的真子集这种情况，较为简单，直接对比即可得解. 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 【经典例题七 根据交集结果求集合或参数】 25．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 26．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若集合，，满足，则实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】先用列举法表示集合，再由得出，对进行分类讨论即可确定的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以当时，，满足，即符合题意； 当时，，要满足，则有或，解得或； 综上所述，的值可能是. 故选：BCD. 27．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 【答案】8 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【详解】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 28．（2025高三·全国·专题练习）对于点集，，是否存在非零整数a，使得？ 【答案】存在,理由见解析. 【分析】假设存在满足条件的，通过联立可得的两个根中至少有一个正整数解；再利用根的判别式可以得到的取值范围，然后结合为整数且可以求出的值； 最后对的可能取值进行分析，判断其是否满足即可. 【详解】假设存在非零整数，使得. 联立，消去y，得到关于x的方程（*）， 则方程（*）的两个根中至少有一个为正整数． 由得， 解得， ∵， ∴或或. 当时，（舍）； 当时，或1； 当时，或.（舍） 故存在整数，. 【经典例题八 已知命题的真假求参数】 29．（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】先求出，是真命题的的范围，由于或为假命题，得到，应该全假，即，的否定为真，列出方程组，求出的范围． 【详解】解：若真则； 若真，即恒成立， 所以△， 解得． 因为或为假命题，所以，全假． 所以有， 所以． 故选：B． 【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：且的真假，当，全真则真，有假则假；或的真假，，中有真则真，全假则假；非的真假与的真假相反． 30．（多选）（23-24高三上·湖北·期中）若“”为假命题，“”为真命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】求出”为假命题，对应的的范围，“”为真命题，对应的的范围，求交集即可. 【详解】因为”为假命题， 所以为真命题， 所以，， 若“”为真命题， 所以的范围是 集合可以是的子集， 故选：AB 【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围，属于中档题. 31．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 32．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （3）由，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 【经典例题九 充要条件的证明】 33．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 34．（多选）（2025高三·全国·专题练习）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 35．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”. 其中正确的结论是 （填所有正确的结论的序号）. 【答案】①③④ 【分析】根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误. 【详解】对于①，，则，①正确； 对于②，，则，②不正确； 对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类， 则，③正确； 对于④，若整数、属于同一“类”， 则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，， 则，故， 若，不妨令， 则， 显然，于是得，，即整数属于同一“类”， “整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确． 正确的结论是①③④. 故答案为：①③④. 36．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)具有性质，不具有性质； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合. （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“期待子集”即可. 【详解】（1）集合具有性质，理由如下： 取，满足，，是偶数， 因此集合具有性质； 集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取或或，均有，不满足条件②， 所以不具有性质. （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令，解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”. （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.   再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 【经典例题十 反证法证明】 37．（22-23高三上·上海徐汇·期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案. 【详解】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集， 假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即， 同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾， 再证满足要求，当时，， 可以分成2个破晓集的并集， 事实上，只要取，， 则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外， 剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：， 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合， 可以分为下列2个破晓集的并：， 最后，集合中的数的分母都是无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，， 则和是不相交的破晓集，且． 综上，的最大值为14. 故选：B． 【点睛】思路点睛：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出为破晓集相矛盾，再证满足要求去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题.. 38．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）某公司有10名股东.其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项正确的有（    ） A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于 B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于 C．公司最大的股东所持股份不超过 D．公司最大的股东所持股份可以超过但不超过 【答案】ABC 【分析】举例即可判断A；利用反证法即可判断BCD. 【详解】解：对于A，当公司持股最少的5位股东所持股份都是，另外5位股东所持股份都是时，公司持股最少的5位股东所持股份之和等于， 此时任何六名股东所持股份之和最少为，符合题意，故A正确； 对于B，若公司持股较多的5位股东所持股份有一个股东所持股份少于等于时， 则其余5位股东所持股份股东所持股份都少于， 此时这6位股东所持股份之和小于，与题意不符， 所以公司持股较多的5位股东所持股份均不少于，故B正确； 对于C，设公司最大的股东所持股份超过， 由题意公司持股最少的6位股东所持股份之和大于等于， 因此这6个股东之中至少有1个股东所持股份大于等于， 则其余3个股东所持股份之和小于， 因此这3个股东之中至少有1个股东所持股份小于， 这与假设矛盾，所以公司最大的股东所持股份不超过，故C正确，D错误. 故选：ABC. 39．（2023高二下·全国·专题练习）已知均为实数，给出下列条件：①；②；③；④．其中能推出“中至少有一个大于1”的条件是 ．（填序号） 【答案】③ 【详解】①当，时，有，但，，不能推出“中至少有一个大于1”； ②当时，有，但均不大于1，不能推出“中至少有一个大于1”； ③假设且，则，与矛盾，因此假设不成立，故中至少有一个大于1，能推出“中至少有一个大于1”； ④当，时，有，但，，不能推出“中至少有一个大于1”． 综上，只有③满足题意．故填③． 40．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【答案】(1)、、、； (2)； (3)见解析 【分析】（1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证． 【详解】（1）已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 学科网（北京）股份有限公司 $