3.3探索与表达规律（第1课时）（导学案）数学北师大版2024七年级上册

　　3.3探索与表达规律（第1课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）经历由特殊到一般和由一般到特殊的问题解决过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 （2）能用代数式表示规律，并借助运算解释一些现象、论证一些规律或关系的正确性。 （3）能利用代数式设计一些蕴含规律的问题。 重点：用代数式表示并借助代数式运算解释某些一般规律或现象。 难点：对解决问题的思路和方法的分析与选择。 第一环节 自主学习 温故知新： ①整式加减运算法则：进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。 新知自研：自研课本第96--97页的内容 【学法指导】 自研课本P96-97页内容，思考： (一)　日历问题（方形框） 观察图3-7所示的日历图，回答下列问题: 　　　　　　　　　　　　　 （1）日历图中的数有什么规律? 如:横向相邻两数相差1，纵向相邻两数相差7，因此横向相邻的三个数可分别表示为a-l，a,a+l,纵向相邻的三个数可分别表示为a-7，a,a+7。还可以引导学生观察对角线上相邻两数之间的关系。 （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? 9个数之和为90，90=9×10。有的学生可能得出其他关系，让学生再找几个方框试试，看发现的规律是否还成立。 （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? 让学生体会运算能用来论证所发现的数量关系的正确性。设正中间的数是a，则这9个数可以表示 　　　　　　　　　　　　 所以这9个数的和等于9a。 （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 如，对角线上3个数之和相等，第一列3个数加第三列3个数的和是第二列3个数之和的2倍等。 尝试·思考 问题1：图3-7所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么? （1）：你可以通过哪些方法说明能否使框中9个数的和为144?180呢?讨论交流？ 可以通过逆向思考问题，运用前面得出的结论，结合运算进行代数推理。还可以设这中间的数为，求出根据结论来判断。 （2）能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么？ 都不能。框中9个数之和一定是9的整数倍，而144不能被9整除;如果9a=180，那么a=20，但在图3-7的日历中，20不能作为方框正中间的数。 问题2：在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? （1）设这5个数正中间的数是b，那么这5个数的和怎样表示？ 设这5个数正中间的数是b，则这5个数可以表示为b-14，b-7，b,b+7,b+14，因此这5个数之和为（b-14）＋（b-7）＋b＋（b+7）＋（b+14）＝5b。 （2）这个月的第一个星期日是几号?为什么？ 设这5个数正中间的数是b，则5b=80，可得b=16。16-14=2，所以这个月的第一个星期日是2号。 归纳总结解决规律问题的一般思维路径：“观察一分析一归纳一论证” （二）日历问题（＋、H、M、W形框等） 思考·交流 （1）如图3-8，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?它们有什么共同规律? 　　　　　　　 将方框改成十字形框、H形框，答案不唯一。 （2） 你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 还可以设计成M形框、W形框等。 总结归纳：通过以上学习，我们会用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性。 【自研自探】 自研课本96-97页例题内容，回答问题： 例1　图1是某年某月的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为． (1)直接填空： ________；（填“>”、“<”或“=”） (2) ________， ________， ________（用含a的代数式分别表示）； (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 【分析】本题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律。 （1）分别用含n的式子表示，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）根据（1）的结论，分别用含a的式子表示，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别把代入，再化简，即可解决问题。 【详解】（1）解：设（为正整数），则，，， 则：，， ∴， 故答案为：； （2）解：根据（1）得：，，； 故答案为：，，； （3）解：代数式的值为定值， ． 例2．图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用（，且为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 【分析】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）根据题意和图形，可以用含的代数式表示出本周二和下周三； （2）根据题意和图形，可以S关于a的函数关系式． 【详解】（1）解：由图可得， 如果本周三对应的日期用（，且x为整数）表示，那么本周二可以表示为，下周三对应的日期可以表示， 故答案为：，； （2）解：由图可得， ， 即S与a之间的关系式为． 例3．将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第_____ 行第_____ 列； (2)数表中第行第1列的数是_____ ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 【分析】本题考查找规律，涉及数字规律、用代数式表示数字规律、整式加减运算等知识，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中数表的规律即可得到答案； （2）由题中数表的规律即可得到答案； （3）①由“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，分别计算即可猜想出关系；②设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为；分别计算即可验证关系． 【详解】（1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第行的最后一个数为，则， 数100位于第15行第2列， 故答案为：15；2； （2）解：由题中数表可知第行最后一个数为， 第行第1列的数是， 故答案为：； （3）解：①如图所示，， ，则， 故答案为：； ②成立， 理由如下： 设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为． ；； ， 即． 例4．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2025个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2025个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 第二环节 合作探究 1.讨论日历图中的数有什么规律?日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么?你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 2.讨论在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? 3.讨论解决规律问题的一般思维路径。 4.讨论如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?它们有什么共同规律?你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 5.讨论通过以上学习，我们怎样用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性？ 6.拓展提升：1.下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 课本课堂练习：1.下面是用棋子摆成的“小房子”。摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子?摆第n个这样的“小房子”呢?你是如何得到的? 　　　　　 答案：59；. 1．（2025.六安金安期末考试）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 ________． 【详解】解：由图可得，第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， ， ∴第个图形中一共有个圆， ∴第个图形中圆的个数为， 故答案为：． 2．（2025.湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　　　　 ，b是 　　　　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　　　　 ，d是 　　　　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　　 ，f是 　　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　　 （用含n的代数式表示g）． 【解答】解：（1）根据题意得：a＝4+1＝5，b＝4+7＝11． 故答案为：5，11； （2）根据题意得：c＝n+1，d＝n+7． 故答案为：n+1，n+7； （3）根据题意得：17+2+e＝2+10+18，17+10+f＝2+10+18， 解得：e＝11，f＝3． 故答案为：11，3； （4）根据题意得：9g＝n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16， 解得：g＝n+8． 故答案为：n+8． 1. 解决规律问题的一般思维路径：“观察一分析一归纳一论证”。 2.通常用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　　3.3探索与表达规律（第1课时）（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）经历由特殊到一般和由一般到特殊的问题解决过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 （2）能用代数式表示规律，并借助运算解释一些现象、论证一些规律或关系的正确性。 （3）能利用代数式设计一些蕴含规律的问题。 重点：用代数式表示并借助代数式运算解释某些一般规律或现象。 难点：对解决问题的思路和方法的分析与选择。 第一环节 自主学习 温故知新： ①整式加减运算法则：进行整式加减运算时，如果遇到括号 ，再 。 新知自研：自研课本第96--97页的内容 【学法指导】 自研课本P96-97页内容，思考： (一)　日历问题（方形框） 观察图3-7所示的日历图，回答下列问题: 　　　　　　　　　　　　　 （1）日历图中的数有什么规律? （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 尝试·思考 问题1：图3-7所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么? （1）：你可以通过哪些方法说明能否使框中9个数的和为144?180呢?讨论交流？ （2）能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么？ 问题2：在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? （1）设这5个数正中间的数是b，那么这5个数的和怎样表示？ （2）这个月的第一个星期日是几号?为什么？ 归纳总结解决规律问题的一般思维路径：“观察一分析一归纳一论证” （二）日历问题（＋、H、M、W形框等） 思考·交流 （1）如图3-8，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?它们有什么共同规律? 　　　　　　　 （2） 你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 总结归纳：通过以上学习，我们会用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性。 【自研自探】 自研课本96-97页例题内容，回答问题： 例1　图1是某年某月的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为． (1)直接填空： ________；（填“>”、“<”或“=”） (2) ________， ________， ________（用含a的代数式分别表示）； (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 例2．图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用（，且为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 例3．将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第_____ 行第_____ 列； (2)数表中第行第1列的数是_____ ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 例4．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2025个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 第二环节 合作探究 1.讨论日历图中的数有什么规律?日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么?你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 2.讨论在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? 3.讨论解决规律问题的一般思维路径。 4.讨论如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?它们有什么共同规律?你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 5.讨论通过以上学习，我们怎样用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性？ 6.拓展提升：1.下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 课本课堂练习：1.下面是用棋子摆成的“小房子”。摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子?摆第n个这样的“小房子”呢?你是如何得到的? 　　　　　 1．（2025.六安金安期末考试）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 ________． 2．（2025.湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　　　　 ，b是 　　　　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　　　　 ，d是 　　　　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　　 ，f是 　　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　　 （用含n的代数式表示g）． 1. 解决规律问题的一般思维路径：“ 一 一 一 ”。 2.通常用 表示规律，并借助 一些数量关系的正确性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$