7.专题七 动点与图象信息专题-【分层导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

·.此时MP+MQ的值最小. (2)解：AP=CQ=2, DQ=1, ∴DQ'=DQ=1, CD =CQ +DQ=3. D为BC的中点， △ABC是等边三角形， ∴AC=BC=2CD=6, ∠C=60° ∴.PC=AC-AP=4, CO'=CD+DO'=4. .PC=CQ'. ∴.∠CPQ'=∠CQ'P =2180-40 =60°=∠C. .PO'=PC=4. ∴MP+MQ的最小值为4. 10.解：(1)如图2，作点A关于直线 BC的对称点A1,连接A,E,交BC 于点P,点P即为所求 B 图2 (2)如图3，作点P关于直线OA的 对称点F,关于直线OB的对称点 G,连接FG,分别交OA,OB于点 M,N,连接OF,OG, 图3 根据“将军饮马问题”得到△PMN 的周长的最小值为GF, 由轴对称的性质得 ∠FOA=∠AOP, ∠GOB=∠POB, OP=OF,OP=0G, ∠AOP+∠POB=∠AOB=30°， 0P=5, ∴.∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB +∠G0B=60°， 0F=0G=0P=5 ∴.∠OFG=∠OGF =2(1-LF00 阅盟学堂 =60°=∠F0G a2-b, ∴.GF=0F=5. 阴影部分的面积还可以表示为 △PMW的周长的最小值为5. a(a-b)+b(a-b)=(a+b)·(a- 专题七动点与图象信息专题 b). 1.c (2)①当点M在E→B上运动时， 2.解：(1)当点P在边EF上运动时， EM=t, 1 y-SamcBCPF 六y=EM·EF=)··2= =26c1x=780x 故答案为y= ②存在 :BC为定值， I.当点M在E→B上运动时， ∴y随x的增大而增大 SAEmM =t=1; 由图2知，当x=3时，y=a,此时 Ⅱ.当点M在B→C上运动时， EF=1×3=3(cm). 当点P在边ED上运动时，点P到 Sm=FB服=×2x2 BC的距离等于3cm, =2(cm2)≠1(cm2): Ⅲ.当点M在C→D上运动时，如 图，延长EF交CD于点H, ·y的值不变 D H :四边形CDEF是正方形， .CD =DE =EF =3 cm. x=3+3=6(8).6=6. 1 B 当点P在DA上运动时， 当点M在点H的右侧时， y=SBC PC, HM=8-1, ·y随PC的增大而增大 2.SauEF IM 当点P与点A重合时， 即x=8时，y最大， 2×2(8-)=1, 此时AD=8×1-3-3=2(cm), 解得1=7； .·.BC=AC=CD+AD=3+2 当点M在点H的左侧时， =5(cm) HM=t-8, .G EF .SauE IM 5x32 1 =2×2(1-8)=1, 1 (2)BP=AF.理由如下： 解得t=9; 由(1)知，当x=6时，点P在点D V.当点M在DG上运动时， 处，如图3所示， SAm-7EF GF-7x2x2 =2(cm2)≠1(cm2). 综上所述，存在t使得△EFM的面 积为1cm2,t的值为1秒或7秒或9 秒 图3 4.解：(1)240出发2h后，小张与小 ,·BC=AC,∠BCD=∠ACF=90°， 李相遇 CD =CF, (2)8040 ·△BDC≌△AFC(SAS). (3)设出发xh后，两人相距60km. .BD=AF,即BP=AF 分三种情况： 3.解：(1)阴影部分的面积为 ①相遇前： 数学七下FCBS35参考答案 80x+40x+60=240 解得x=1.5; ②相遇后且小张未到达B市前： 80x+40x-60=240. 解得x=2.5; ③小张到达B市后返回A市的 途中： 40x-80(x-3)=60, 解得x=4.5. 综上所述，出发1.5h,2.5h,4.5h 后，两人相距60km. 专题八中考新考方向探究 1A2四3分 4.(1)证明：BD平分∠ABC ,∴.∠ABC=2∠ABD 在△ABC中，：∠ACB=80°， ∴.∠A+∠ABC=180°-∠ACB =100° 即∠A+2∠ABD=100°. ∴△ABD为“奇妙三角形” (2)证明：在△ABC中， ∠C=80°， ,∴.∠A+∠B=100° :△ABC为“奇妙三角形”， ∴∠C+2∠B=100或 ∠C+2∠A=100°. ∴∠B=10°或∠A=10° ①当∠B=10°时，∠A=90°，△ABC 是直角三角形： ②当∠A=10°时，∠B=90°，△ABC 是直角三角形. 综上所述，△ABC是直角三角形. (3)解：.BD平分∠ABC ∴.∠ABC=2∠ABD. :△ABD为“奇妙三角形”， ∠A=40°， ∠A+2∠ABD=100或 2∠A+∠ABD=100. ①当∠A+2∠ABD=100时， ∠ABD=(100°-∠A)÷2 =30°， ∴.∠ABC=2∠ABD=60°. ∴∠C=180°-∠A-∠ABC =80°； ②当2∠A+∠ABD=100°时， ∠ABD=100°-2∠A=20°， ∴.∠ABC=2∠ABD=40°. 阅盟学堂 ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC ∠BAC=100°， =100° ∴∠MBC=20°， 综上所述，∠C的度数为80°或100. ∠ABC=∠ACB=40°. 5.(1)证明：：△ABD是等边三角形， ,△ABD是等边三角形， 且E为AB的中点， 且E为AB的中点， .DE⊥AB,AB=AD. ∴∠ADE=∠BDE=30° .AB=AC,..AC=AD. 由翻折知，△ADM≌△ACM, ∴.∠ACD=∠ADC. ∴.∠ACM=∠ADM=30°. .∠BAC=90°=∠AED. ∴.∠MCB=∠ACB-∠ACM ·AC∥DE. =10 ·.∠ACD=∠FDC .∠NMC+∠BMC=180°， ∴.∠ADC=∠FDC. ∠MBC+∠MCB+∠BMC=180°， ·DC平分∠ADF ∴.∠NMC=∠MBC+∠MCB (2)解：①正确.证明如下： =30°. :△ABD是等边三角形， ·.∠NMC=∠NCM. 且E为AB的中点， .MN=NC, ∴.DE⊥AB,BE=AE 即线段MN与NC一定相等。 ∠DAB=60. 6.解：【知识生成】 ∴.∠BEM=∠AEM=90o (a+b)2-4ab=(a-b)2 又：EM=EM, 【知识迁移】 ∴.△BEM≌△AEM(SAS). (a+b)3=a2+b2+3a2b+3ab ..∠MBE=∠MAE. 【成果运用】 ,BM平分∠ABC, (1)由(a+b)2-4ab=(a-b)2, ∴.∠MBC=∠MBA. 得(x-y)2=(x+y)2-4xy, 设∠MAB=∠MBA=∠MBC=a. +y=6y=4, AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC=2∠MBA=2a. (g-列2=62-4×4=25 由翻折知， x-y=±5. ∠MAC=∠MAD=∠DAB+∠MAB= (2)|a+b-6|+(ab-7)2=0, 60°+a, ,.a+b=6,ab=7. .在△ABC中， (a+b)3=a3+b+3a2b+3ab2, ∠ABC+∠ACB+∠MAB+∠MIC a3+b3 =2a+2a+a+60°+a=180°. =(a+b)3-3a2b-3ab .a=20° =(a+b)'-3ab(a+b) ∴.∠BAC=∠MAB+∠MAC =63-3×7×6=90. =20°+60°+20°=100°. 7.解：(1)∠BAE+∠FAD=∠E4F “.∠BAC的度数是一个定值， (2)仍然成立.理由如下： 为100°. 如图2，延长FD到点G,使DG= ②正确.证明如下： BE,连接AG, 如图2，连接MC, F 图2 图2 :∠B+∠ADF=180°， 由①知，a=20°， ∠ADG+∠ADF=180°， 数学七下FCBS36参考答案150分层导学案数学七年级下册BS版 阅盟学堂 专题七 动点与图象信息专题 1.如图，在正方形ABMF中剪去一个小正方形CDEM,动点P从点A出发，沿A→BC→D→E→F的路线 绕多边形的边匀速运动到点F时停止，则△AP℉的面积S随着时间t变化的图象大致是 () B 2.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在边AC上，以CD为边在AC的右侧作正方形 CDEF.点P以每秒1cm的速度沿F→E→D→A→B的路径运动，连接BP,CP,△BCP的面积 y(cm2)与运动时间x(s)之间的图象关系如图2所示. (1)求EF的长度和a的值； (2)当x=6时，连接AF,判断BP与AF之间的数量关系，并说明理由. ylcm 图1 图2 阅盟学堂 专题突破151 3.通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形4.某天，司机小张开车将顾客从A市送到B市， 的面积，从而得到一个等式，这种方法习惯称 到达B市放下顾客后立即按原路原速返回A 为“算两次”，在数学学习中有着广泛的应用. 市（顾客下车时间忽略不计），而快递员小李 公元三世纪，三国时期的赵爽创制了“勾股圆 则骑摩托车从B市向A市运送快递.若他们出 方图”，验证了著名的勾股定理 发时间相同，均沿两市之间同一条公路匀速行 D 驶，设两人行驶的时间为x(h),两人相距y (km),如图表示y随x变化而变化的情况，根 据图象解答下列问题： (1)A、B两市之间的路程为 km;点M 备用图 表示的实际意义是 (1)如图，边长为a的大正方形ABCD中有一 个边长为b的小正方形AEFG,请你用两种 (2)小张开车的速度是 km/h,小李骑摩 不同的方法求阴影部分的面积， 托车的速度是 km/h; (2)在(1)的条件下，若a=4cm,b=2cm, (3)求出发多长时间后，两人相距60km. 动点M以每秒1cm的速度从点E出发， Ay/km 240 沿着E→B→C→D→G的方向运动， ①当点M在E→B上运动时，请表示出△EFM 的面积y与时间t的关系式： ②是否存在t使得△EFM的面积为1cm2? 若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由。