6.专题六 最短路径的三大模型-【分层导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

阅盟学堂 专题突破147 专题六 最短路径的三大模型 模型1两定一动型（异侧） 模型3两动一定型 1.如图，两定点A,B位于直线l的异侧，在直线l5.如图，A是锐角MON内部的任意一点，在 上找一点P,使得PA+PB的值最小 ∠MON的两边OM,ON上各求作一点B,C,组 成△ABC,使△ABC周长最小.（不写作法，保 留作图痕迹) B M 2.(模型应用)如图，铁路L的两侧有C,D两个 城市，要在铁路上建一个出口P,使C,D两个 城市到出口P的距离之和最短.请你找出出口 P的位置 C D 模型2两定一动型（同侧） 6.(模型应用)如图，将军牵马从军营P处出发， 3.如图，两定点A,B位于直线l的同侧，在直线1 先到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回 上找一点P,使得PA+PB的值最小 到军营.试分别在河流OA和草地OB上各找 .A 一点E,F,使得走过的路程最短.（保留作图痕 ·B 迹，辅助线用虚线，最短路径用实线) ●P 4.(模型应用)如图，已知△ABC为等边三角形， 高AH=8cm,P为AH上一动点，D为AB的 中点。 (1)当PD+PB的值最小时，在图中确定点P 的位置；（保留作图痕迹，不用写作法）》 (2)PD+PB的最小值为 cm. D 148分层导学案数学七年级下册BS版 闵盟学堂 7.如图，在△ABC中，AB=AC,P是底边BC上任9.如图1，在等边△ABC中，D为BC的中点，P,Q 意一点（不与点B,C重合），CD⊥AB于点D, 分别为边AC,BC上的点，AP=CQ=2,DQ=1, PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.求证：CD= M是线段AD上的动点，连接MP,MQ,求MP+ PE +PF. MQ的最小值.小明提出的探究思路如下： 如图2，作，点Q关于直线AD的对称，点Q',连接 PQ'交AD于点M,连接MQ,根据“两点之间线 段最短”，可知此时MP+MQ的值最小 (1)请你运用小明的探究思路，证明此时MP+ MQ的值最小； (2)求MP+MQ的最小值. B DO B ODO 图1 图2 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, E,P分别是AB,AD上任意一点.若BC=6, AD=4,AB=5,求BP+EP的最小值 阅盟学堂 专题突破149 10.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上存在一点P,使得PA+PB的值最小.解法：如图1，作点 A关于直线I的对称点A',连接A'B,则A'B与直线I的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B. 图1 图2 图3 请利用上述模型解答下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是边BC上一动点，作出点P,使得PA+PE 的值最小； (2)如图3，∠AOB=30°，M,N分别为OA,OB上一动点.若OP=5,求△PMN的周长的最小值SAACE SADCE =24. G EN+CDE24. 即2(4C+6D)=24 又：AC+CD=16, .x=3.∴EM=3. .AB=10. ∴.△ABE的面积为 之AB.BW=3x10x3=l15 9.4 10.解：如图，过点D作DM⊥AC于 点M, B :DF⊥BC,CD平分∠ACB, 且DF=4, ,.DM=DF=4, 即点D到直线AC的距离为4 11解：(1)根据作法描述，所作的是 ∠ABC的平分线， ∴，BF平分∠ABC (2)如图1，过点C作CQ⊥AB于 点Q, 图1 则5e=2AB.GQ =7×40c0=-6, 解得CQ=3. 由(1)知BF平分∠ABC, 又AB=CB, ∴AF=CF, LAPB=LcFB=7×180°=0 又PF=PF, ∴.△APF≌△CPF(SAS). .PA=PC. ∴PA+PN=PC+PN. 当P,C,N三点共线，且与AB垂 直，即与线段CQ重合时，PC+PN 阅盟学堂 的长度最小，最小值为CQ, 7.证明：如图，连接PA, .PA+PN的最小值为3 专题六最短路径的三大模型 1解：如图所示，点P即为所求 A 1 ·B SAAc=2AB CD, 2.解：如图所示，点P即为所求 S P. Se=之4C,PpR, SAAC=S△PB+S△PMC, ∴2B.cD 3.解：如图所示，点P即为所求 APE+AG PF. AB=AC,..CD=PE PF. B 8.解：如图，连接PC, B 4.解：(1)如图1所示，点P即为 所求 AB=AC,AD⊥BC, BD=c=28C=3, AD是BC的垂直平分线. 图1 .BP=PC. (2)8 ..BP+EP=CP+EP≥CE. 5.解：如图所示，点B,C即为所求 当C,P,E三点共线时， D CP+EP的值最小， 此时BP+EP=CE, 而当CE⊥AB时， CE取得最小值。 E 6.解：如图所示，分别作点P关于OA, SC=7AB·CE OB的对称点C,D,连接CD分别交 1 OA,OB于点E,F,则路线PE,EF, =2BC·AD, PF即为所求. ÷5CE=6x4.CE=24 :BP+EP的最小值为 24 9.(1)证明：：△ABC是等边三角形， D为BC的中点， D ..AD⊥BC 理由如下： :点Q,Q'关于直线AD对称， CE PE,DF =PF, .DQ'=DQ. 则PE+EF+PF=CE+EF+DF. .MO'=MO. 由“两点之间线段最短”可知路线 ∴PM+MQ=PM+MQ'=PQ' PE,EF,PF即为所求 ,:两点之间线段最短， 数学七下FCBS34参考答案 ·.此时MP+MQ的值最小. (2)解：AP=CQ=2, DQ=1, ∴DQ'=DQ=1, CD =CQ +DQ=3. D为BC的中点， △ABC是等边三角形， ∴AC=BC=2CD=6, ∠C=60° ∴.PC=AC-AP=4, CO'=CD+DO'=4. .PC=CQ'. ∴.∠CPQ'=∠CQ'P =2180-40 =60°=∠C. .PO'=PC=4. ∴MP+MQ的最小值为4. 10.解：(1)如图2，作点A关于直线 BC的对称点A1,连接A,E,交BC 于点P,点P即为所求 B 图2 (2)如图3，作点P关于直线OA的 对称点F,关于直线OB的对称点 G,连接FG,分别交OA,OB于点 M,N,连接OF,OG, 图3 根据“将军饮马问题”得到△PMN 的周长的最小值为GF, 由轴对称的性质得 ∠FOA=∠AOP, ∠GOB=∠POB, OP=OF,OP=0G, ∠AOP+∠POB=∠AOB=30°， 0P=5, ∴.∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB +∠G0B=60°， 0F=0G=0P=5 ∴.∠OFG=∠OGF =2(1-LF00 阅盟学堂 =60°=∠F0G a2-b, ∴.GF=0F=5. 阴影部分的面积还可以表示为 △PMW的周长的最小值为5. a(a-b)+b(a-b)=(a+b)·(a- 专题七动点与图象信息专题 b). 1.c (2)①当点M在E→B上运动时， 2.解：(1)当点P在边EF上运动时， EM=t, 1 y-SamcBCPF 六y=EM·EF=)··2= =26c1x=780x 故答案为y= ②存在 :BC为定值， I.当点M在E→B上运动时， ∴y随x的增大而增大 SAEmM =t=1; 由图2知，当x=3时，y=a,此时 Ⅱ.当点M在B→C上运动时， EF=1×3=3(cm). 当点P在边ED上运动时，点P到 Sm=FB服=×2x2 BC的距离等于3cm, =2(cm2)≠1(cm2): Ⅲ.当点M在C→D上运动时，如 图，延长EF交CD于点H, ·y的值不变 D H :四边形CDEF是正方形， .CD =DE =EF =3 cm. x=3+3=6(8).6=6. 1 B 当点P在DA上运动时， 当点M在点H的右侧时， y=SBC PC, HM=8-1, ·y随PC的增大而增大 2.SauEF IM 当点P与点A重合时， 即x=8时，y最大， 2×2(8-)=1, 此时AD=8×1-3-3=2(cm), 解得1=7； .·.BC=AC=CD+AD=3+2 当点M在点H的左侧时， =5(cm) HM=t-8, .G EF .SauE IM 5x32 1 =2×2(1-8)=1, 1 (2)BP=AF.理由如下： 解得t=9; 由(1)知，当x=6时，点P在点D V.当点M在DG上运动时， 处，如图3所示， SAm-7EF GF-7x2x2 =2(cm2)≠1(cm2). 综上所述，存在t使得△EFM的面 积为1cm2,t的值为1秒或7秒或9 秒 图3 4.解：(1)240出发2h后，小张与小 ,·BC=AC,∠BCD=∠ACF=90°， 李相遇 CD =CF, (2)8040 ·△BDC≌△AFC(SAS). (3)设出发xh后，两人相距60km. .BD=AF,即BP=AF 分三种情况： 3.解：(1)阴影部分的面积为 ①相遇前： 数学七下FCBS35参考答案