3.2.2双曲线的几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的几何性质 思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率… 渐进线 新知探索 1．范围 a -a O x F1 F2 y 所以或 双曲线在不等式所表示的区域内 画双曲线 从“形”上看： 新知探索 a -a O x F1 F2 y 于是双曲线上的点都满足不等式, 由双曲线的标准方程可知， 即, 所以或 双曲线在不等式所表示的区域内 从“数”上看： 新知探索 y O x F1 F2 2．对称性 从“形”上看：双曲线关于x轴、y轴和原点对称。是中心对称图形 ① 轴 ② 轴 ③ 原点 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 从“数”上看： 新知探索 3．顶点 观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？ 双曲线与x轴的交点： 双曲线与y轴的交点： y O x A1 A2 F1 F2 y=b y=-b B2 B1 令 令得， 方程无实数根，则双曲线与y轴无交点. 双曲线的两个顶点坐标为， 与椭圆不同 新知探索 -b b 4．轴长 双曲线的实轴： 双曲线的虚轴： 双曲线的焦距： 为实半轴长； 为虚半轴长； 为焦半距. 那b有没有意义呢？ 新知探索 1.已知双曲线方程为 x²-8y2=32，则( ) A.实轴长为4，虚轴长为2 B.实轴长为8，虚轴长为4 . C.实轴长为2，虚轴长为4. D.实轴长为4，虚轴长为8. B 课堂练习 探究：双曲线开口程度的刻画 思考：你能用适当的量刻画双曲线开口程度吗？ a,c是确定双曲线曲线的基本量， b 是衍生出来的量 双曲线的形状可以由什么确定？ 4.双曲线的离心率 (c>a>0) e >1 (1)定义： (2)范围： (3)变形： 概念形成 e越大，双曲线开口越大. (4)e的含义： 刻画双曲线开口大小的量 双曲线焦点偏离中心的程度 概念形成 从双曲线的图像中 (a>0,b>0) 我们发现了它的范围。 结合图像，我们还能发现什么？进一步精确双曲线范围 问题探究 F1 F2 O A1 A2 B1 B2 b -b -a a 探究：双曲线的渐近线 5.双曲线的渐近线 (如图)． y x O A1 A2 B2 B1 F1 F2 a b 叫做双曲线 的渐近线. 追问1： 如何理解渐近线？我们学过的哪些图像中存在渐近现象呢？ y x o 追问1：如何理解渐近线？我们学过的哪些图像中存在渐近现象呢？ y x o 几何角度：曲线与渐近线逐渐接近，永不相交. 代数角度：x接近某个数(无穷)，y趋近于某定值(取不到). 曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的 距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线． 5.双曲线的渐近线 (如图)以焦点在x轴为例． y x O A1 A2 B2 B1 F1 F2 a b 叫做双曲线 的渐近线. 两条直线： 图像特征：. ①有助于画双曲线； ②与双曲线无限接近，但永不相交. 从几何角度 O x A1 A2 B2 B1 a b F1 F2 的渐近线方程为 5.双曲线的渐近线 结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b. x y O F1 F2 • • (特征三角形) b 课堂练习 6.等轴双曲线 这时双曲线方程为x2－y2＝a2，实轴长和虚轴长都为， 渐近线方程为y＝±x， 它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角． 当a＝b时，实轴和虚轴等长 这样的双曲线叫等轴双曲线. y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 二级结论，适用选填 x y o a b 利用渐近线画双曲线草图 ⑴ 画出双曲线的顶点 ； ⑵画出双曲线的渐近线、双曲线的大致图象； ⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线. 画矩形 画渐进线 画双曲线的草图 方法总结 求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程。 解:化为标准方程为 实轴长: 虚轴长: 焦点坐标: 顶点坐标: 离心率: 渐近线方程: 课堂练习 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图. 解： 3 -3 4 -4 x y O • • F1(0,-5) F2(0,5) 顶点坐标A1(0,4) A2(0,-4) 课堂练习 根据双曲线方程研究几何性质根据 方法总结 求下列双曲线的标准方程 课堂练习 求下列双曲线的标准方程 课堂练习 双曲线 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 方程 范围 顶点/轴长 离心率 渐进线 特征量 c最大 A1(- a,0) A2(a,0) A1(0,-a) A2(0,a) 实轴2a 虚轴2b 课堂小结 通过本节课，你学习到了哪些知识与技能？ 一个特例： 四个性质： 等轴双曲线 三个意识： 类比意识、猜想意识、发现意识 范围、顶点、对称性、离心率、渐近线 二个方法： 待定系数法、数形结合法 课堂小结 作业布置 （1）阅读教材，记忆知识点 （2）完成配套的同步作业 EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 1.把双曲线方程化为标准形式； 2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； 3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． $$