湖北省武汉市东湖高新区光谷实验学校2024-2025学年九年级下学期周测数学试卷（3月份）

2024-2025学年湖北省武汉市东湖高新区光谷实验学校九年级（下）周测数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，y是x的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 2.关于反比例函数，下列说法正确的是(    ) A. 该函数图象在一、三象限 B. 当时，y随x增大而减小 C. 若在该函数图象上，则 D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 3.若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于(    ) A. B. C. D. 4.若点和在图象上，若，则m的取值范围是(    ) A. 或 B. C. 或 D. 5.根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是(    ) A. B. C. D. 6.将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为(    ) A. B. C. D. 7.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图的中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若，，，，则BN的长度为何？(    ) A. B. C. D. 9.如图，AB为直径，点C在圆上，I为内心，AI交于点D，，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点，其中一个是，则另一个交点是______. 12.在中，，，则______. 13.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点A作轴 于连接OB，与AD相交于点C，若，则k的值为______. 14.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，便于社区居民休憩.在如图所示的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳棚AB长为5米，与水平面的夹角为当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，量得影长CD为米，则遮阳篷靠墙端离地高BC的长为______米结果精确到米；参考数据：， 15.已知在中，，D、E分别在AC，BC上，连接AE，BD交于点F，若，，则的值为______. 16.函数为常数有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当函数最小值为0时，；③若时，y随x的增大而减少，则；④若关于x的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为，其中正确的结论是______填写序号 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二四象限的点A和点B，过A点作x轴的垂线，垂足为点，若的面积为则 ______，______； 点坐标为______； 结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______. 18.本小题8分 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且， 求证：∽； 若，，的面积为4，求的面积. 19.本小题8分 如图，点O是四边形BCED外接圆的圆心，点O在BC上，点A在CB的延长线上，且，于点F，交于点M， 求证：AD是的切线； 若，，求的值. 20.本小题8分 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，B，C三点是格点，点P在AB上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图. 在图1中，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段DC；再在DC上画点E，使； 在图2中，在AC上画点F，使； 在图3中，在AB上画点Q，使 21.本小题10分 在2025年毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动，小泽同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米. 如图2，两墙AB、CD的高度是______米，抛物线的顶点坐标为______； 为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； 为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，直接写出m的取值范围为______. 22.本小题12分 如图，抛物线：经过，两点，且与y轴的正半轴交于点 求抛物线的解析式； 如图1，D在第二象限内抛物线上，BD交AC于点E，连接BC，若的面积是面积的2倍，求点D的坐标； 如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，若，点H与点Q关于x轴对称，点F是对称轴左侧抛物线上一动点，连接FQ交抛物线于点M，连接FH并延长交抛物线于点N，连接MN，若直线MN的解析式为，求k的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：根据反比例函数定义逐项分析判断如下： A、是正比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； C、变形为，是正比例函数，不符合题意， 故选： 根据，据此依次判断即可． 本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式． 2.【答案】C  【解析】解：A、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； B、当时，y随x增大而增大，故不符合题意； C、若在该函数图象上，则，故符合题意； D、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选： 根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可， 本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】【分析】 直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案． 此题考查了坡度坡角问题，特殊角的三角函数值，借助解直角三角形的知识求解是关键． 【解答】 解：斜坡的坡比为1：，设坡角为， ， 故选： 4.【答案】A  【解析】解：， 反比例函数的图象在一，三象限，且在每个象限y随x的增大而减小， ， 当时，， 当时，， 的取值范围是或， 故选： 根据反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质即可得到结论． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， 分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为； 故选： 可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案． 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6.【答案】C  【解析】解：由“左加右减”的原则可知， 的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：； 由“上加下减”的原则可知， 函数的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是： 故选： 直接根据函数图象的变换规律进行解答即可． 本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； 当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过二、三、四象限， 观察A、C选项，选项C符合题意， 故选： 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键． 根据，，可得∽，∽，所以 ①， ②，即可得到答案. 【解答】 解：四边形DEFG是正方形， ，，且， ∽，∽，  ①， ②， 由①可得，，解得：， 将代入②，得：， 解得：， 故选： 9.【答案】D  【解析】解：连接BI，BD，AD与BC交于E， 连接BI，BD，AD与BC交于E，由三角形内心的定义得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 是直径， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选： 连接BI，BD，AD与BC交于E，由三角形内心的定义得，，由圆的基本性质及三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，设，由垂径定理及三角形中位线定理得，由勾股定理得，由正切函数得，，，结合勾股定理求出AC，由正弦的定义，即可求解． 本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，圆的基本性质，勾股定理，三角函数，垂径定理等，掌握三角形内心的定义，等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，圆的基本性质，垂径定理，能熟练利用勾股定理及三角函数进行求解是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：，当时，， ， 、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由函数图象可知  ，，根据已知条件无法判定，， 故选： 由可得则、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由此画出函数图象求解即可． 本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 该点的坐标为 故答案为 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数． 12.【答案】或  【解析】解：在中，当时， ，， ， ， 在中，当时， ，， ， 综上分析可知，或 故答案为：或 分或两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案． 本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键． 13.【答案】12  【解析】解：设点A的坐标为，则点B的坐标为， 轴，， ， ， ∽， ， ， ，则， 点B的横坐标是3a， ， 解得，， 故答案为： 根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答． 14.【答案】  【解析】解：过点A作，垂足为F，作，垂足为G， 在中，米， 米， 由题意得四边形AGCF为矩形， ，米， 米， 米， 在中，， 米， 米， 在中， 米， 米， 故答案为： 作，，在中，根据三角函数的定义求出AF的长，再依次求出DG，AG，FC的长，在中，根据三角函数的定义求出BF的长，即可求解， 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是连接辅助线构造直角三角形． 15.【答案】  【解析】解：过E作交，过点B的垂线于G，连接AG， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 四边形ADBG是平行四边形， ， ， ， ， 设，， ， ， ； 故答案为： 过E作交过B作BC的垂线于G，连接AG，由相似三角形的判定方法得∽，由相似三角形是性质得，由平行四边形的判定方法得四边形ADBG是平行四边形，可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，余弦函数，勾股定理等；掌握相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能构建相似三角形，利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． 16.【答案】①④  【解析】解：根据二次函数的性质可知：函数为常数的图象具有对称性， 对称轴为直线，故①正确； ， 函数最小值为0，此时， 当抛物线经过时，；当抛物线不经过时，，故②错误； 由图象可知，若时，y随x的增大而减少，则b可以取任意实数，故③错误； 若关于x的方程有四个实数根， 当时，解得，， 当时，解得，， ，故④正确； 正确的结论是①④， 故答案为：①④． 由函数解析式可画出二次函数大致图象，根据图象可判断①；由绝对值的性质可得，即得函数最小值为0，可知当抛物线经过时，；当抛物线不经过时，，据此可判断②；根据函数图象可判断③；求出方程可判断④． 本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 17.【答案】；   ；   或  【解析】因为点C坐标为， 所以 因为的面积为4， 则， 所以， 则点A的坐标为 将点A坐标代入一次函数解析式得， ， 解得 将点A坐标代入反比例函数解析式得， 故答案为： 由知， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 则， 解得或 当时，， 所以点B的坐标为 故答案为： 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或 故答案为：或 先根据的面积及点C的坐标，求出点A的坐标，再将点A坐标分别代入一次函数和反比例函数解析式即可解决问题． 结合中的计算结果，将一次函数的解析式和反比例函数的解析式组成方程进行计算即可． 利用数形结合的数学思想即可解决问题． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 18.【答案】证明见解答过程；     【解析】证明：， ， 即， ， ∽； 解：由得：∽， ， ， ∽， ，， ， ， 由，，即可得出∽； 证明∽，得，从而可得结论． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相似三角形性质． 19.【答案】证明：连接OD， 是的直径， ，即； 又，且， ， 即，而OD是的半径， 故AD是的切线； 解：，， ， 设，则， 由勾股定理得：； ， ， ，，； 是的直径， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 过E作直径EN，连接DN，则， 在中，，， 由勾股定理得：； ；   【解析】连接OD，证即可；可根据圆周角定理、直角三角形及等腰三角形的性质进行证明； 可通过解直角三角形求得CF的长，证明∽，求得BF的长，即可得到的直径；过E作的直径EN，根据圆周角定理，即可将转化到中，先利用勾股定理求得DN的长，据此求解即可． 本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20.【答案】解：如图，线段CD，点E即为所求：   如图，点F即为所求： 如图，点Q即为所求：   【解析】利用平移变换的性质画出线段CD即可，取点M，连接PM，延长PM交CD与点E，点E即为所求； 取点M，构造等腰直角，找到格点M，N，K，则，连接BT交AC于点F，点F即为所求； 在的基础上作出的角平分线AO，交MB于点O，进而作出关于AC的中点的对称点四边形AOCT是平行四边形，则，进而得出，连接CT交AB于点Q，点Q，即为所求． 本题考查作图，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，平移变换，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，中心对称，全等三角形等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21.【答案】3，；  米；    【解析】解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 顶点坐标为， 故答案为：3，； 的顶点为， 可设的解析式为， 在上， 解得：， ， 当时， ， ， 故点M到地面的距离米； ， M到地面的距离提升为3米， 的顶点横坐标为， 抛物线的最低点到地面的距离为n米， 设的解析式为， ， 解得：， 当时， ， 解得：，舍去， 当时， ， 解得：，舍去， ； 故答案为： 可求出，根据题意得，代入求出解析式，化成顶点式，即可求解； 的顶点为，待定系数法设，将代入，即可求解； 待定系数法可设抛物线的解析式为，将代入，求出，当时，当时，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法，理解横纵坐标的实际意义，能熟练利用待定系数法求解是解题的关键． 22.【答案】解：抛物线：经过，两点，将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式：； 过D作轴交AE的延长线于G，如图1， ∽， ， ， ， ， 由题意知：， ， 解得：， 设， ， 抛物线：与y轴的正半轴交于点C， 当时，得：， ， 设直线AC的解析式：，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线AC的解析式：， ， 解得：，， 当时，解得：， 当时，解得：， 点D的坐标为或； 的解析式为：， 设，，， 设直线FM的解析式为，将点F，点M的坐标代入得： ， 解得：， 直线FM的解析式为， 同理可求：直线FN的解析式为， 直线MN的解析式为， 是关于x轴的对称点， ， ， ， 整理得：①， ②， ①+②得：， 整理得：， 点F是对称轴左侧抛物线上一动点， ， ， ， 联立得， ， 、N在抛物线上， ， ， 解得：； 故k得值为  【解析】将，两点代入解析式，即可求解； 过D作轴交AE的延长线于G，由相似三角形的判定方法得∽，由相似三角形的性质得，由三角形的面积得，设，，待定系数法求出直线AC的解析式，将G的坐标代入，即可求解； 设，，，由待定系数法得直线FM的解析式为，直线FN的解析式为，直线MN的解析式为，将Q、H的坐标分别代入直线FM、FN的解析式，将两式相加整理得，联立抛物线与直线MN解析式得，即可求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定及性质，直线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，理解直线与线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，能熟练利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式及相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$