第3章 勾股定理(提升卷） 单元过关测试 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理(提升卷） 单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B． C．1，2，2 D．5，12，13 2．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 4．我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c．下列各组数中，满足a，b，c关系的是（　　） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 5．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 7．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14 8．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（　　） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 10．“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图，这是可近似看作一个等腰△ABC的衣架，其中腰长26cm，底边的高长10cm，则底边BC＝ 　 　 cm． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边作正方形．若AB＝5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，点D，E，F依次在斜边AC上，分别以AD，DE，EF，FC为斜边在Rt△ABC内作四个直角三角形，且满足AG∥DH∥EI∥FJ，点G，J分别在边AB，BC上．若AB＝8，BC＝6，则这四个直角三角形的周长的和是　 　 ． 14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ． 15．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是 　 　 ． 16．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度BC＝0.5m，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点D的位置，测得推送的水平距离为2m，即DE＝2m，此时秋千踏板离地面的垂直高度DF＝1.5m，那么绳索AB的长度为 　 　 m． 17．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2+BC2＝　 　 ． 18．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC＝4cm，BC＝3cm．现将4个直角三角形中边长为4cm的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为　 　 cm． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c． （1）已知c＝25，b＝15，求a； （2）已知c＝12，∠B＝30°，求a、b． 20．本小题分如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 21．本小题分如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 22．本小题分如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”，你同意吗？请说明理由． 23．本小题分清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题，通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手B到地面的距离BE为1.7米； ②测出放风筝的手B到铅垂线AD的水平距离BC为15米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线AB的长为17米． 相关说明 点A，B，C，D，E在同一平面内，直线DE表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： （1）求风筝离地面的垂直高度AD； （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则需再放出多少米的风筝拉线？ 24．本小题分请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得a2+b2＝c2，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2＝ab+10，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是　 　 ； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 7页） 第 3 章 勾股定理(提升卷） 单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B． 3， 4， 5 C．1，2，2 D．5，12，13 2．如图：4×1网格中每个正方形边长为 1，表示 5长的线段是（ ） A．OA B．OB C．OC D．OD 3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是： 一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3尺远， 则折断处离地面的高度为（ ） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 4．我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由 4 个全等的直角三角形和一个小正方 形组成，其中直角三角形的直角边长为 a，b，斜边长为 c．下列各组数中，满足 a，b，c关系的是（ ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 5．如图，数轴上的点 A，点 C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点 C，且 BC＝1，连接 AB．若以点 A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点 A右边的点 P，则点 P所表示的实数为（ ） 第 2页（共 7页） A． 10 − 2 B．2 − 10 C． 10 D．2 + 10 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃 A，如图 ①所示，人只要移至该门铃 5m及 5m以内时，即 AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图 ②所示，一个身高 1.5m的学生走到 D处，即 CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则 BD的长为（ ） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 7．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图 1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形 顶点相连构成．图 2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图 2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14 8．已知一个直角三角形的两条边长为 5和 13，则第三边的平方是（ ） A．12 B．169 C．144或 194 D．144或 169 9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为 a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 10．“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理 最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边 第 3页（共 7页） 为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．如图，这是可近似看作一个等腰△ABC 的衣架，其中腰长 26cm，底边的高长 10cm，则底边 BC＝ cm． 12．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以 AC，BC为边作正方形．若 AB＝5，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG的面积和为 ． 13．如图，在 Rt△ABC中，点 D，E，F依次在斜边 AC上，分别以 AD，DE，EF，FC为斜边在 Rt△ABC 内作四个直角三角形，且满足 AG∥DH∥EI∥FJ，点 G，J分别在边 AB，BC上．若 AB＝8，BC＝6， 则这四个直角三角形的周长的和是 ． 14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中 1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章 第 4页（共 7页） 有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门 的高比宽多 6尺 8寸，门的对角线长 1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高 x尺，根据题意，可列方 程为 ． 15．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A，D在格点上，点 B在网格线上，线段 AB的垂 直平分线恰好经过格点 C，则 BD的长是 ． 16．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架 秋千的绳索 AB的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度 BC＝0.5m，将踏板往 前推送，使秋千绳索到达点 D的位置，测得推送的水平距离为 2m，即 DE＝2m，此时秋千踏板离地面 的垂直高度 DF＝1.5m，那么绳索 AB的长度为 m． 17．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角 线 AC，BD相交于点 O，若 AB＝5，CD＝6，则 AD2+BC2＝ ． 18．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由 4个全等的直角三角形围成的，AC＝4cm，BC＝3cm．现 将 4个直角三角形中边长为 4cm的直角边分别向外延长 1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数 学风车”的外围周长为 cm． 第 5页（共 7页） 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 8分)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为 a、b、c． （1）已知 c＝25，b＝15，求 a； （2）已知 c＝12，∠B＝30°，求 a、b． 20．(本小题 8分)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线 DE与 AB、AC分别交于点 D、E，且 CB2＝ AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若 AC＝8，BC＝6，求 CE的长． 21．(本小题 8分)如图，在离水面高度为 8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC的长为 17米， 此人以 1 米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点 D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直 保持是直的） 第 6页（共 7页） 22．(本小题 8分)如图，一架 2.5m长的梯子 AB，斜靠在竖直的墙 AC上，这时梯子的底部 B到墙底端 C 的距离为 0.7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部 B在水平方向滑动了 0.8m至 D，那么梯子的顶端 A也沿墙垂直下滑 了 0.8m”，你同意吗？请说明理由． 23．(本小题 12 分)清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地 面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题，通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手 B到地面的距离 BE为 1.7米； ②测出放风筝的手 B到铅垂线 AD的水平距离 BC为 15米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线 AB的长为 17米． 相关说明 点 A，B，C，D，E在同一平面内，直线 DE表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： （1）求风筝离地面的垂直高度 AD； （2）如果想要风筝沿 DA方向再上升 12米，BC长度不变，则需再放出多少米的风筝拉线？ 第 7页（共 7页） 24．(本小题 12分)请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的 是三国时期吴国的数学家赵爽．如图 1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验 证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一 个小正方形的面积之和，从而得到等式�2 = 12 �� × 4 + (� − �) 2，化简得 a2+b2＝c2，这里用两种求法来 表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图 2，△ABC中，AD是 BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设 BD＝x，求 x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和 2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含 赵爽弦图，如图 3，如果大正方形的面积为 18，直角三角形中较短直角边长为 a，较长直角边长为 b， 且 a2+b2＝ab+10，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是 ； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （4）请借助图 4，利用“双求法”验证勾股定理． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A B B C A B 一．选择题（共10小题） 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B． C．1，2，2 D．5，12，13 【解答】解：A、因为22+32≠42，不能构成直角三角形，此选项不符合题意； B、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项不符合题意； C、因为12+22≠22，不能构成直角三角形，此选项不符合题意； D、因为52+122＝132，能构成直角三角形，此选项符合题意． 故选：D． 2．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 【解答】解：由勾股定理得， ， ， ， ∴表示应为线段OB． 故选：B． 3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 依题意，得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 故选：C． 4．我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c．下列各组数中，满足a，b，c关系的是（　　） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【解答】解：∵a2+b2＝c2， ∴A中、42+52≠62，故不符合题意； B中，52+72≠82，故不符合题意； C中，32+42＝52，故符合题意； D中，52+102≠132，故不符合题意； 故选：C． 5．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1， ∴AC＝1﹣（﹣2）＝3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， ∴点P表示的数为2， 故选：A． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【解答】解：由题意可知，BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m）， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE4（m）， ∴BD＝CE＝4米， 即门铃恰好自动响起，则BD的长为4米， 故选：B． 7．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14 【解答】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， 则图2中三个正方形的面积可能取值为5，6，11， 故选：B． 8．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（　　） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 【解答】解：分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方是52+132＝194； ②当第三边是直角边时，第三边的平方是132﹣52＝144； 故选：C． 9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 【解答】解：A、如果 a2＝b2﹣c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误，符合题意； B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； C、如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； D、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； 故选：A． 10．“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四个选项中的图形都可以用面积相等法列出等式： A.， 整理得：c2＝a2+b2， A选项可证明勾股定理，不符合题意； B.2ab+a2+b2＝（a+b）2，此图可证明完全平方公式， B选项不能证明勾股定理，符合题意； C.， 整理得：a2+b2＝c2， C选项可证明勾股定理，不符合题意； D.， 整理得：a2+b2＝c2， D选项可证明勾股定理，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．如图，这是可近似看作一个等腰△ABC的衣架，其中腰长26cm，底边的高长10cm，则底边BC＝ 　48　 cm． 【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，AD＝10cm，AD⊥BC， ∴BC＝2CD＝2248（cm）， 答：底边BC＝48cm， 故答案为：48． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边作正方形．若AB＝5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为　25　 ． 【解答】解：正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为AC2+BC2， Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝5， ∴AC2+BC2＝52＝25， 故答案为：25． 13．如图，在Rt△ABC中，点D，E，F依次在斜边AC上，分别以AD，DE，EF，FC为斜边在Rt△ABC内作四个直角三角形，且满足AG∥DH∥EI∥FJ，点G，J分别在边AB，BC上．若AB＝8，BC＝6，则这四个直角三角形的周长的和是　24　 ． 【解答】解：由勾股定理得，AC， 如图，由题意将DH，EI，FJ移到边AB上，将边FI，EH，DG平移到边BC上，则四个直角三角形的周长的和＝AB+BC+AC＝8+6+10＝24， 故答案为：24． 14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　x2+（x﹣6.8）2＝102　 ． 【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺， 根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102， 故答案为：x2+（x﹣6.8）2＝102． 15．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是 　　 ． 【解答】解：连接CA，CB， 因为每个小正方形的边长均为1， 则勾股定理得， AC2＝12+52＝26． 因为线段AB的垂直平分线恰好经过格点C， 所以CB＝CA， 则CB2＝CA2＝26． 在Rt△BCD中， BD． 故答案为：． 16．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度BC＝0.5m，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点D的位置，测得推送的水平距离为2m，即DE＝2m，此时秋千踏板离地面的垂直高度DF＝1.5m，那么绳索AB的长度为 　2.5　 m． 【解答】解：∵EC＝DF＝1.5m，BC＝0.5m， ∴EB＝EC﹣BC＝1m， 在Rt△AED中，AD2＝AE2+ED2，ED＝2m， 设秋千的绳索长为x m，则AE＝（x﹣1）m， 故x2＝22+（x﹣1）2， 解得：x＝2.5． 答：绳索AB的长度为2.5m， 故答案为：2.5． 17．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2+BC2＝　61　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是“垂美”四边形， ∴AC⊥BD， ∴AD2+BC2＝OA2+OD2+OC2+OB2＝AB2+CD2＝52+62＝25+36＝61， 故答案为：61． 18．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC＝4cm，BC＝3cm．现将4个直角三角形中边长为4cm的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为　　 cm． 【解答】解：如图，由题意知，CD＝24， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD， ∴这个风车的外围周长为（4）×4＝（416）cm， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c． （1）已知c＝25，b＝15，求a； （2）已知c＝12，∠B＝30°，求a、b． 【解答】解：（1）由勾股定理得：； （2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝12，∠B＝30°， ∴， ∴． 20．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 【解答】（1）证明：连接BE，如图： ∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AE＝BE， ∵CB2＝AE2﹣CE2， ∴CB2＝BE2﹣CE2， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴∠C＝90°； （2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x， ∴在Rt△BCE中， EC2+BC2＝BE2， 即x2+62＝（8﹣x）2 解得：， 则． 21．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 【解答】解：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴CD＝17﹣1×7＝10（米）， ∴（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米． 22．如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”，你同意吗？请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得：AB＝2.5m，BC＝0.7m， ∴， 答：这个梯子的顶端距地面有2.4m； （2）不同意，理由如下： ∵BC＝0.7m，BD＝0.8m， ∴CD＝1.5m， ∴， ∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣2＝0.4（m）， ∴梯子的顶端A沿墙垂直下滑了0.4m， ∴马小虎说法错误．我不同意． 23．清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题，通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手B到地面的距离BE为1.7米； ②测出放风筝的手B到铅垂线AD的水平距离BC为15米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线AB的长为17米． 相关说明 点A，B，C，D，E在同一平面内，直线DE表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： （1）求风筝离地面的垂直高度AD； （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则需再放出多少米的风筝拉线？ 【解答】解：（1）根据题意，得：∠BCD＝∠CDE＝∠BED＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴CD＝BE＝1.7米， 由题意得：BC＝15米，∠ACB＝90°，AB＝17米， ∴在Rt△ABC中，AC8（米）， ∴AD＝AC+CD＝9.7米． （2）∵风筝沿DA方向再上升12米后， ∴AC＝8+12＝20米， ∴此时风箏线的长为25（米）， ∴风箏应该再放出线的长度为25﹣17＝8米， 答：需再放出8米线． 24．请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得a2+b2＝c2，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2＝ab+10，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是　D　 ； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【解答】（1）解：∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∵AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD＝x， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，整理可得12x＝27， ∴； （2）解：设大正方形的边长为c， 根据题意，c2＝18， ∴a2+b2＝c2＝18， ∵a2+b2＝ab+10， ∴ab＝8， 又∵小正方形的边长为：b﹣a， ∴（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2＝18﹣2×8＝2， 即小正方形的面积为2； （3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：D； （4）证明：， 梯形的面积又可表示为：， ∴， 即a2+b2＝c2， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$