精品解析：江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

2025年春学期八年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，计18分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 有一个角是直角 6. 探究函数的图像发现，可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（ ） A. 经过点且平行于x轴的直线 B. 经过点且平行于x轴的直线 C. 经过点且平行于y轴的直线 D. 经过点且平行于y轴的直线 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，计30分） 7. 事件“打开电视机，正在播放天气预报”，这是______事件（填“随机”，“必然”或“不可能”）． 8. 若有意义，则x的取值范围是_______． 9. 一元二次方程的根是________． 10. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 11. 若点、都在反比例函数的图像上，则_______（填 “”或“”或“”）． 12. 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为_______．（结果精确到） 13. 若，则代数式的值是_________． 14. 已知，化简二次根式的正确结果是_______________． 15. 如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，若直线经过点A、B，则k的值为_________． 16. 如图，在平行四边形中，，点E是的中点，，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P，在旋转过程中，当点落在边上时，则_________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知是的小数部分，求的值 20. 为响应红十字会“博爱万人捐”活动，某学校1500名同学参与了捐款活动．数学兴趣小组随机调查了部分同学的捐款数额．将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）调查的样本容量为________，并请补全条形统计图； （2）捐款数额为5元对应的扇形的圆心角为________°； （3）根据样本数据，估计该校本次捐款数额为20元的学生人数． 21. “瞎转圈”现象指人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈，圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数． （1）求R与d的函数表达式； （2）若小王蒙上眼睛走出的圆圈半径不小于35m，求他两腿迈出的步长差d的范围． 22. 如图在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式． （2）写出不等式上的解集． （3）求的面积． 23. 如图，已知菱形，点A、B、E在一条直线上． （1）用圆规和无刻度的直尺在射线上作一点F，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的面积． 24. 如在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数的图像上的两点，且点A与点关于原点对称，直线经过点，设点A、B的横坐标分别为． （1）若，． ①求函数的表达式； ②求的面积； （2）若，求的值． 25. 综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 26. 在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图像上，其中，点A，B的横坐标分别为，． （1）若，设点A，B的纵坐标分别为，，比较与的大小，并说明理由； （2）点P从点A出发，沿水平方向运动到过点B且平行于y轴的直线l上，再沿l运动到点B，运动路程记为d（运动路线不重复）． ①若过点A、B的直线经过一、三象限，求m的取值范围； ②在①的条件下，设，是否存在大小确定的t的值，对于任意实数m，使得d为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期八年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，计18分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2. 下列各运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件进行计算即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，本选项正确； C、根据二次根式有意义的条件可得和没有意义，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，二次根式有意义的条件，掌握这些知识点是解题关键． 3. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：． 故选：D． 4. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式应满足两个条件：被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；被开方数中不含有分母；根据这两个条件判断即可． 【详解】A、，故不是最简二次根式； B、，故不是最简二次根式； C、故不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，掌握二次根式的含义是关键． 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不符合题意； 、菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，不符合题意； 、矩形有一个角是直角，不符合题意； 故选：． 6. 探究函数的图像发现，可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（ ） A. 经过点且平行于x轴的直线 B. 经过点且平行于x轴的直线 C. 经过点且平行于y轴的直线 D. 经过点且平行于y轴的直线 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得平移后的反比例函数不会与直线，相交，分析判断出答案． 【详解】由题意得函数的图像可以由先向右平移个单位，再向下平移3个单位得到． 由反比例图像性质和平移的定义可得函数不会与直线，相交． 故选B． 【点睛】本题考查了平移的定义和反比例函数、一次函数的图像性质．本题解题的关键在于掌握平移的定义以及反比例函数、一次函数的图像性质．运用了数形结合的数学思维． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，计30分） 7. 事件“打开电视机，正在播放天气预报”，这是______事件（填“随机”，“必然”或“不可能”）． 【答案】随机 【解析】 【分析】根据随机事件的定义：事前无法确定是否发生的事件是随机事件． 【详解】根据定义，该事件属“随机”事件． 故答案为：随机． 【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的定义，掌握相关定义是解题的关键． 8. 若有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先把方程化为，再解两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解一元二次方程的解本题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，； 故答案为：， 10. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，理解“化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式”是解决问题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 11. 若点、都在反比例函数的图像上，则_______（填 “”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的图像和性质得到函数值的增减性，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点、都在反比例函数的图像上， ∴点、都在第四象限，且， ∴， 故答案为：． 12. 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为_______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率； 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， 所以估计“钉尖着地”的概率为， 故答案为：． 13. 若，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可通过对代数式进行变形，构造出含有的形式，再将转化后代入求值．本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： ． 14. 已知，化简二次根式的正确结果是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意：-a3b≥0，即ab≤0， ∵a＜b， ∴a≤0＜b； 所以原式=|a|=-a． 15. 如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，若直线经过点A、B，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，正确求出点A、B的坐标是解题的关键． 先求出，然后表示出点A、B的坐标，再由待定系数法求解一次函数解析式中的． 【详解】解：如图， 当时，， ， 过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B， ， 将代入， 则， 两式相减得： ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点E是的中点，，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P，在旋转过程中，当点落在边上时，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，由，点E是的中点，，得，，则求出，再分两种情况讨论，一是点在边上，且点不与点C重合，由旋转得，则，推导出，由，平分，证明垂直平分，推导出，则；二是点在边上，且点与点C重合，可证明与重合，则线段不存在，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ，点E是的中点，， ， ， ， 如图1，点在边上，且点不与点C重合， 由旋转得， ， ， ， ， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， ； 如图2，点在边上，且点与点C重合， ， 垂直平分， 与重合，此时点P与点A重合， 线段不存在， 故答案为：5． 【点睛】本题考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、翻折变换的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本次考查了二次根据性质，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质化简，再利用二次根式混合运算法则进行解答即可； （2）根据二次根式性质、绝对值的性质先化简，再利用二次根式混合运算法则进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法和配方法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解： （1）运用因式分解法求解即可； （2）方程两边同乘以化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 则或， 解得，，； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘以，得：， 解得，， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为： 19. 已知是的小数部分，求的值 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的分母有理化，可得答案． 【详解】解：是的小数部分， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质，分母有理化． 20. 为响应红十字会“博爱万人捐”活动，某学校1500名同学参与了捐款活动．数学兴趣小组随机调查了部分同学的捐款数额．将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）调查的样本容量为________，并请补全条形统计图； （2）捐款数额为5元对应的扇形的圆心角为________°； （3）根据样本数据，估计该校本次捐款数额为20元的学生人数． 【答案】（1）50， 补图如下： （2） （3）360 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是∶ （1）用捐款5元的人数除以所占的百分比即可求样本容量，然后求出捐款10元的人数即可补图； （2）用乘以捐款5元所占的百分比即可； （3）用1500乘以捐款20元所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：样本容量为， 捐款10元的人数为， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校本次捐款数额为20元的学生人数为360人． 21. “瞎转圈”现象指人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈，圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数． （1）求R与d的函数表达式； （2）若小王蒙上眼睛走出的圆圈半径不小于35m，求他两腿迈出的步长差d的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意，结合图形求出函数关系式是解题的关键． （1）设R与d的函数表达式为，把代入，求出k即可得到解析式． （2）当时，即，求出d的范围即可． 【小问1详解】 解：设R与d的函数表达式为， ， ， ∴与d之间的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，即 ∴，又， ∴． ∴两腿迈出的步长之差d的范围是． 22. 如图在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式． （2）写出不等式上的解集． （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式； （2）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的区域，可得答案； （3）根据可得答案． 【小问1详解】 解：把代入， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图所示，设直线与y轴交于C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用了图象法解不等式，三角形面积的和差求三角形的面积．掌握用待定系数法求函数解析式和图象法求不等式解集是解题的关键． 23. 如图，已知菱形，点A、B、E在一条直线上． （1）用圆规和无刻度的直尺在射线上作一点F，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】（1） 如图点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、复杂作图及等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）先根据菱形的性质求出的长，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：以为圆心，为半径作圆交于点，点即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过作于点， 在菱形中，有，， ， ， ， 由（1）得：， 的面积为． 24. 如在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数的图像上的两点，且点A与点关于原点对称，直线经过点，设点A、B的横坐标分别为． （1）若，． ①求函数的表达式； ②求的面积； （2）若，求的值． 【答案】（1）①，②15 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①先求出点，，然后用待定系数法求出函数的表达式即可； ②设直线与x轴交于点M，直线交x轴于N，则，求解即可； （2）先求出，，，当是直角三角形时，只能是，则即代入计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：①点A、B是反比例函数的图像上的两点， 时，， ， 当时，，解得：， ， 把代入， 得，解得： ； ②令，则， ． 设直线与x轴交于点M，直线交x轴于N， ． 点与点关于原点对称， ， 设直线解析式为，把，代入， 得，解得： 直线解析式为． 令，则， ． ； 【小问2详解】 由题意，当时，， ， 当时，， ， 点与点关于原点对称， ， ， ， ， 又， ， ， 整理得：， ， ， ． 25. 综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ∴ 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形； （2）直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点）；理由如下： 连接、，交点为，如图所示： 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 正方形的对角线互相平分， 为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）点运动的路径长为． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由证明三角形全等，得出，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论； （2）连接、，交点为；先证明，得出，证出为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，设，则，点运动的路径直线上，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则， ∴，， ∵为的中点， ∴即， ∵， ∴在直线上， 当时，，当时，，解得 ∴点运动的路径长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，求一次函数及勾股定理，勾股定理，本题综合性强，有一定难度，正确地作出辅助线及构造直角坐标系是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图像上，其中，点A，B的横坐标分别为，． （1）若，设点A，B的纵坐标分别为，，比较与的大小，并说明理由； （2）点P从点A出发，沿水平方向运动到过点B且平行于y轴的直线l上，再沿l运动到点B，运动路程记为d（运动路线不重复）． ①若过点A、B的直线经过一、三象限，求m的取值范围； ②在①的条件下，设，是否存在大小确定的t的值，对于任意实数m，使得d为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，理由：点A，B在函数的图像上，且横坐标分别为，， ，， ， ， , ∴在每个象限内， 随的增大而减小， ； （2）①； ②不存在符合条件的t，理由： 点P的路径分为两段: 水平移动： 从到直线，距离为， 竖直移动：从到 ，距离为 ， ， ， ， 要求d为定值，须消去m的影响，即 恒为常数，仅当时成立，但此时，与矛盾， 故不存在符合条件的t 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，反比例函数值大小比较，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的相关性质为解题关键 （1）将函数横坐标代入解析式，比较纵坐标的值即可； （2）①根据题意可得两点的横坐标符号相反，列式解不等式即可；②先表示出点P的路径分为两段的长度，再求长度的和，代入题目中给出的k的值，得到，因m无法确定从而d值无法确定 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当直线经过一、三象限时，点A和B需分别位于不同象限，函数在第一、三象限的横坐标符号相反， 当，时，，，m不存在， 当，时， 则m的取值范围是； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $