第3章勾股定理练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理 练习 一、单选题 1．一个直角三角形的周长为48，一条直角边与斜边长度的比值是，则另一条直角边的长度为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 2．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 3．如图，中，，，，，则为（   ） A． B．3 C． D． 4．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（   ） A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺 5．如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为等腰三角形时，那么满足条件的点的位置有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（   ） A．8 B． C．7 D．6 9．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则 ． 12．在中，，以为边，向外作等腰直角三角形，则 ． 13．如图，在等腰中，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，…，则的长度为 ． 14．如图，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为 ． 15．如图，中，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 三、解答题 16．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 17．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 18．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点． (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个钝角三角形，且三角形的面积为2； (3)如图③，点A，B，C均在格点上，求的度数． 19．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 20．如图，在中，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D为线段上一点，连接，作，连接，延长至点N，连接，使且，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章 勾股定理 练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A A C C B C A 1．C 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的周长，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设该直角三角形的斜边为，则其中一条直角边为，利用勾股定理求出另一条直角边长，再利用直角三角形的周长为48，列方程求解． 【详解】设该直角三角形的斜边为，则其中一条直角边为， 由勾股定理可求得另一条直角边长为， 由直角三角形的周长为48，可得，解得，， 另一条直角边的长度为16． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用平行线的性质得出，求出的长度，然后利用勾股定理即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， ． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，设水深为x尺，则荷花茎长为尺，根据题意，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】设池塘深为尺， 则， 解得， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查勾股定理，圆柱的侧面展开，先把侧面展开，得到一个矩形，然后再利用两点间线段最短，利用勾股定理求出长． 【详解】解：展开后矩形的长为，高为， 所以利用勾股定理可得最短距离为． 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．分三种情况：当点P与点C重合时；当时；当时，即可求解． 【详解】解：当点P与点C重合时，，满足为等腰三角形； 过点A作于点D，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，满足为等腰三角形； 当时，满足为等腰三角形；    此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点的位置有3个． 故选：C 7．C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积等知识，运用等面积法求出DE的长是解题的关键． 根据题意利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出的长，再利用等积法求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：，， 是的垂直平分线，是的角平分线， ， 是的角平分线，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据作图得出，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， 分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ， 的周长为． 故选：A． 11．6 【分析】本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 本题需要分三种情况讨论，分别为①时，②，③，再根据勾股定理分别计算出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， （1）当时，过D点作的垂线交的延长线于E，如图 ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）当时，过点D作的垂线，交延长线于E，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，过D点作的垂线，垂足分别为E、F，如图 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或或． 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；由等腰三角形的性质，勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 14．5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，点的轨迹，垂线段的性质，利用已知条件求得点D的轨迹是解题的关键．连接并延长，证明，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，连接并延长，过点作于点，于点． 又∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线， ∴，点的轨迹为的平分线， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，此时， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 15． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积及勾股定理，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为D和F， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵的面积为1.5， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 16． 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 17．(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）画一个边长为的正方形即可； （2）画一个底边长为2，高为2的钝角三角形即可； （3）根据勾股定理及其逆定理，得到为等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：由题意，作图如下： （3）解： 由勾股定理，得． 因为， 所以为等腰直角三角形，， 所以． 19．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 20．(1)见解析 (2)60° (3)2 【分析】此题考查等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据直角三角形30度角的性质得到，再利用勾股定理即可求出结论； （2）取的中点M，连接，得到为等边三角形，同理为等边三角形，证明，得到，再证明，推出，，根据，得到． （3）由（2）知，，证明得到，求出，导角得，利用勾股定理求得． 【详解】（1）在中，∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． （2）取的中点M，连接，过D作交延长线于点G， ∵，， ∴为等边三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 在与中，，， ∴， ∴， 在和中，∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． （3）由（2）知，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$