精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高一下学期5月阶段性测试数学试题

江苏省天一中学2024-2025学年第二学期5月阶段性测试 高一数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 2. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标. 【详解】依题意，， 所以复数对应点坐标为，该点在第四象限. 故选：D 3. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各项的正误. 【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误． 故选：C 4. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 5. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，三棱锥的各边为长方体的面对角线，计算出三棱锥的体积与表面积，结合等体积法可求出其内切球的半径. 【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中. 设长方体的长宽高分别为、、， 则，解得， 四面体体积为， 在中，，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 四面体的表面积为, 设内切球半径，则，所以， 所以蛋黄半径的最大值为. 故选：B. 6. 在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 7. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 8. 在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出与平面所成角，再利用解三角形即可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】取中点，连接,分别在线段上 取，连接. 则在正三棱台中， 分别为的中心， 且平面，平面,. 则平面平面，则即为与平面所成角. 令，由正三棱台中， 可得， 又四边形为菱形，则，,, 则， 则 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 以下叙述不正确的是（ ） A. 若事件两两独立，则 B. 若，则事件两两独立 C. 若，则事件两两互斥 D. 若事件两两互斥，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D. 【详解】A：若事件两两独立，则，，， 抛两次硬币，第一次正面，第二次正面，两次结果相同， 所以，，显然满足前提， 而，此时，不满足，即A错； B：对于样本空间，若，，，则， 所以，且，此时满足， 但，即，显然，显然不相互独立，即B错； C：若，而， 所以， 必有，即事件两两互斥时成立，即C对； D：若事件两两互斥，必有，即D对. 故选：AB 10. 棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（ ） A. EP的最小值为1 B. 的最小值为 C. 存在一点P，使得 D. 在点P运动过程中，l不可能与AD平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取的中点为，则得，证明平面，即得EP的最小值为1；对于B，作出点关于平面的对称点，连接，利用三点共线时，距离之和最短即可求得；对于C，运用反证法思想，假设，通过证明平面，推得引出矛盾，排除C项；对于D，利用平面，而平面平面，得到平面与平面的交线必与直线交于一点即可. 【详解】对于A，当点为的中点时，因E是的中点，易得， 因平面平面，平面平面， 而 平面，则平面，此时取得最小值1，故A正确； 对于B，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 此时，，则取得最小值， 因平面，平面，故， 在中，， 则，即的最小值为，故B正确； 对于C，如图，连接，因平面，平面，故， 假设，因平面，故平面， 又平面，则，产生矛盾，故假设不成立， 即不存在一点P，使得，故C错误； 对于D，在点P运动过程中，因平面，而平面平面， 则平面与平面的交线必与直线交于一点，故l不可能与AD平行，故D正确. 故选：ABD. 11. 在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（ ） A. 表面积为 B. 体积为 C. 外接球的半径为 D. 内切球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用四面体有两个面是等边三角形，有另两个面是等腰三形，即可求解表面积，利用取中点作直截面即可求体积，利用等体积法可求内切球半径，利用过截圆面的圆心作垂线必过球心，可作出外接球球心，再结合等腰三角形进行求解即可. 【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为， 两个等腰三角形的面积为， 所以四面体的表面积为，故A错误； 取的中点，由等边三角形的性质可得：， 由于平面，所以平面， 由此可得等腰三角形面积为， 所以四面体的体积为，故B正确； 设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确； 由两个等边三角形的外心分别为，可得， 过分别作两个平面平面的垂线，相交于点， 根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心， 由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上， 则有，即， 又因为，所以， 所以外接球半径为，故C正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 13. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解. 【详解】依题意，设，，， 则， 由，则，整理得， 显然，否则，，与已知矛盾， 故，可得， 由，即，故，解得， 故. 故答案为：. 14. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. 【小问2详解】 由，可得，， 因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，解得. 故的面积为. 16. 已知复数. （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （2）若，在复平面内对应的点分别为B，C，求（点O为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得，再根据在复平面内对应的点在第三象限时的实部虚部的正负求解范围即可； （2）计算，，得到B，C的坐标，再用向量的数量积公式求解即可 【小问1详解】 因为，所以. 因为复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以解得，即实数m的取值范围是. 【小问2详解】 由题可知，， 则点，，，.因此. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求直方图中a，b的值； （2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由. 【答案】（1）， （2）吨 （3） 【解析】 【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案； （2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可； （3）结合图中数据易知标准在中，由此即可求出的估计值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 ， 又，则，. 【小问2详解】 该市居民用水的平均数估计为： （吨）. 【小问3详解】 因的频率为， 的频率为，           故的估计值为（吨）． 所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）． 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，侧棱与底面所成角的余弦值为． （1）求O到侧面的距离； （2）若E为BC的中点，F为PD的中点，证明：平面ABP． 【答案】（1）； （2）取中点，连接，由F为PD的中点，得， 又E为BC的中点，则，因此， 即四边形是平行四边形，则，而平面ABP，平面ABP， 所以平面ABP． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得四棱锥为正四棱锥，由侧棱与底面所成角的余弦值求出及侧棱长，再由等体积法求出点到侧面的距离. （2）取中点，借助平行公理，利用线面平行的判定推理即得. 【小问1详解】 由为正方形的中心，底面，得， 即四棱锥是正四棱锥，由正方形的边长为，得， 侧棱与底面所成角的余弦值为，则在中，， 于是，，显然到各侧面的距离相等，设到平面的距离为， 由，得， 即，解得， 所以到侧面的距离为. 【小问2详解】 略 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明: ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面， ∴平面平面. （2）证明： 由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2024-2025学年第二学期5月阶段性测试 高一数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 4. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 5. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）. A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 8. 在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 以下叙述不正确的是（ ） A. 若事件两两独立，则 B. 若，则事件两两独立 C. 若，则事件两两互斥 D. 若事件两两互斥，则 10. 棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（ ） A. EP的最小值为1 B. 的最小值为 C. 存在一点P，使得 D. 在点P运动过程中，l不可能与AD平行 11. 在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（ ） A. 表面积为 B. 体积为 C. 外接球的半径为 D. 内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 13. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________. 14. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 16. 已知复数. （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （2）若，在复平面内对应的点分别为B，C，求（点O为坐标原点）. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求直方图中a，b的值； （2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，侧棱与底面所成角的余弦值为． （1）求O到侧面的距离； （2）若E为BC的中点，F为PD的中点，证明：平面ABP． 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $