章末培优专题训练第二十一章 一元二次方程二、整数根问题2025-2026学年 人教版九年级数学上册

九年级数学（人教版）章末培优专题训练 第二十一章 一元二次方程 二、整数根问题 重难点知识归纳： (1) 整数根条件： 判别式 且为完全平方数（确保根为有理数）。 求根公式 的结果必须为整数（分子能被分母整除）。 (2) 常用方法： 判别式法：计算 Δ 并令其等于完全平方数，解参数范围。 因式分解法：将方程化为，其中 为整数。 韦达定理法：利用为整数，结合整数性质求解。 参数讨论法：根据整数根的可能取值（通常是常数项的因数）代入方程求解参数。 (3) 易错点： 二次项系数（含参数时需单独讨论）。 整数根包括正整数、负整数和零。 重根时（），根必须为整数。 利用有理根定理缩小整数根范围（整数根是常数项的因数）。 1. 考点：因式分解求整数根 方程  的整数根是（ ）。 A. B. C. D. 2. 考点：根的定义与韦达定理 若方程有一个整数根是 11，则另一个根是 ______. 3. 考点：因式分解求整数根 已知方程 的两个根都是整数，求这两个根。 4. 考点：判别式与整数根条件 若关于 x 的方程有两个不相等的整数根，则整数m 的值可以是（ ）。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 考点：韦达定理与整数根 若方程 有两个整数根，则整数 k 的值为 ______. 6. 考点：韦达定理与整数根 已知方程  有两个整数根，求整数 m 的值。 7. 考点：判别式为完全平方数 若方程的根都是整数，且 m 为小于 5 的正整数，则  ______。 8. 考点：因式分解与整数根 若方程 有两个不相等的整数根，且，则整数 a 的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 3 D. 9. 考点：连续整数根与韦达定理 已知方程的两个根为连续整数，且 p，q为整数，求 p，q的一组值。 10. 考点：求根与比较大小 若方程 的较小整数根为 a，则 a =  ______。 11. 考点：两个方程的整数根问题 已知关于x的方程有整数根，且方程 也有整数根，求整数 k 的值。 12. 考点：判别式为完全平方数 求所有整数 m，使方程 有两个整数根. . 13. 考点：韦达定理 方程的整数根之和为 ______。 14. 考点：整数根条件 若方程有整数根，则整数 c 的值可以是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 考点：因式分解与整数根 已知关于 x 的方程  的根都是整数，求整数 m 的值。 16. 考点：直接求根与整数条件 已知关于 x 的方程  有两个整数根，且整数 a 满足 ，求 a 的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学（人教版）章末培优专题训练 第二十一章 一元二次方程 二、整数根问题 重难点知识归纳： (1) 整数根条件： 判别式 且为完全平方数（确保根为有理数）。 求根公式 的结果必须为整数（分子能被分母整除）。 (2) 常用方法： 判别式法：计算 Δ 并令其等于完全平方数，解参数范围。 因式分解法：将方程化为，其中 为整数。 韦达定理法：利用为整数，结合整数性质求解。 参数讨论法：根据整数根的可能取值（通常是常数项的因数）代入方程求解参数。 (3) 易错点： 二次项系数（含参数时需单独讨论）。 整数根包括正整数、负整数和零。 重根时（），根必须为整数。 利用有理根定理缩小整数根范围（整数根是常数项的因数）。 1. 考点：因式分解求整数根 方程  的整数根是（ ）。 A. B. C. D. 答案：B 详解：因式分解得： 解得或，均为整数. 2. 考点：根的定义与韦达定理 若方程有一个整数根是 11，则另一个根是 ______. 答案：2 详解：将代入方程： 方程为，因式分解： 另一个根为 3. 考点：因式分解求整数根 已知方程 的两个根都是整数，求这两个根。 答案：2和4 详解：因式分解： 根为和，均为整数. 4. 考点：判别式与整数根条件 若关于 x 的方程有两个不相等的整数根，则整数m 的值可以是（ ）。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：A 详解： 判别式  有两个不相等整数根需且为完全平方数： 根为x = 1,3（整数）. ：Δ = 0（根相等，不满足条件）. （无实根）. 故选 A. 5. 考点：韦达定理与整数根 若方程 有两个整数根，则整数 k 的值为 ______. 答案：0或6 详解： 设两根为整数 a,b，则： 消去k 得： 整理为： 枚举整数因子对： 验证： 方程，根0，1（整数） 方程，根，（整数） 6. 考点：韦达定理与整数根 已知方程  有两个整数根，求整数 m 的值。 答案：m = 0 详解： 设两根为整数 a , b，则： 代入消元： 整理得： 两边乘以 2 并配方： 解得： 两种情况下  验证： 时，方程，根 0,1（整数）. 7. 考点：判别式为完全平方数 若方程的根都是整数，且 m 为小于 5 的正整数，则  ______。 答案：3 详解： 判别式：. 根为整数需为完全平方数，即为完全平方数： （非完全平方） （非完全平方） （符合） （非完全平方） 当时，方程根1,7（整数）. 8. 考点：因式分解与整数根 若方程 有两个不相等的整数根，且，则整数 a 的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 3 D. 答案：B 详解： 因式分解： 设（整数），则 由且为整数，枚举： （非整数根） （不相等整数根） 故选B. 9. 考点：连续整数根与韦达定理 已知方程的两个根为连续整数，且 p，q为整数，求 p，q的一组值。 答案：（答案不唯一） 详解：设两根为（n整数），则： 解得： 取 方程为根1，2（连续整数）. 10. 考点：求根与比较大小 若方程 的较小整数根为 a，则 a =  ______。 答案：2 详解： 解方程： 根为，较小根为2. 11. 考点：两个方程的整数根问题 已知关于x的方程有整数根，且方程 也有整数根，求整数 k 的值。 答案：无解 详解： 方程一：设整数根为 m，则： 需k 为整数，枚举 m： k非整数 方程二： 当方程为 （无实根） 当：方程为（无实根） 无k 同时满足两方程有整数根。 12. 考点：判别式为完全平方数 求所有整数 m，使方程 有两个整数根. 答案： 详解： 判别式： 需 Δ 为完全平方数，即 为完全平方数。 因  互质，故均为完全平方数： 解得： 即 验证：时，方程根（重根，整数）. 13. 考点：韦达定理 方程的整数根之和为 ______。 答案：5 详解：由韦达定理： 或直接求根：和为5. 14. 考点：整数根条件 若方程有整数根，则整数 c 的值可以是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 详解： 设整数根为 k，则： 枚举： （不在选项） 当 时，根为1，2（整数）. 15. 考点：因式分解与整数根 已知关于 x 的方程  的根都是整数，求整数 m 的值。 答案： 详解： 设两根为整数，则： 消去 m： 整理得： 枚举因子对： 验证： 方程，根0,3（整数） 方程，根（整数）. 16. 考点：直接求根与整数条件 已知关于 x 的方程  有两个整数根，且整数 a 满足 ，求 a 的值。 答案： 详解： 解方程 根为整数需a为整数.由 验证： 根0,4（整数） 根7,11（整数）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$