专题一 配方法的十大应用（题型归纳+典例精讲+变式训练）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 专题一 配方法的十大应用（题型归纳+典例精讲+变式训练） 题型归纳： 【题型1 利用配方法识别一元二次方程】 【题型2 利用配方法解一元二次方程】 【题型3 利用配方法求字母的值】 【题型4 利用配方法比较代数式的大小】 【题型5 利用配方法证明代数式恒大于（或小于）某数】 【题型6 利用配方法求最值】 【题型7 利用配方法分解因式】 【题型8 利用配方法判定三角形形状】 【题型9 利用配方法求几何图形面积】 【题型10 利用配方法解决新定义问题】 【解题策略】 配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式；另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法. 典例精讲： 【题型1 利用配方法识别一元二次方程】 例1 .证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【变式1-1】关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【变式1-2】求证:无论m为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程. 【变式1-3】已知关于的方程 当时，解这个方程； 试证明：无论为何实数，这个方程都是一元二次方程． 【题型2 利用配方法解一元二次方程】 例2．利用配方法解方程时,化成的形式,则n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【变式2-1】．把多项式进行配方，结果为( ) A. B. C. D. 【变式2-2】．若把方程化为的形式,则n的值是( ) A.5 B.2 C. D. 【变式2-3】．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程：. 解：移项，得.① 两边同时除以2，得.② 配方，得，③ 即，所以.④ 故，.⑤ 上述过程中开始出错的步骤是__________（填序号），原因是__________.请写出正确的解答过程. 【题型3 利用配方法求字母的值】 例3．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【变式3-1】．式子中、满足条件，取时，式子取得最小值．且，则满足条件的所有整数的积为（   ） A．0 B．36 C． D．4 【变式3-2】．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 【变式3-3】．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【题型4 利用配方法比较代数式的大小】 例4．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【变式4-1】．“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【变式4-2】．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最小值． (2)若，，比较M、N的大小．（写出比较过程） (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【变式4-3】．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【题型5 利用配方法证明代数式恒大于（或小于）某数】 例5．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【变式5-1】．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．对于任意实数x，多项式的值是一个 ．（填“正数”或“负数”） 【变式5-3】．数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“我若输入，输出的多项式指定比1大”，你同意淇淇的说法吗？请通过计算说明理由． 【题型6 利用配方法求最值】 例6．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【变式6-2】．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【变式6-3】．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【题型7 利用配方法分解因式】 例7．在实数范围内因式分解： ． 【变式7-1】．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【变式7-2】．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【变式7-3】．把的实数范围内进行因式分解． 【题型8 利用配方法判定三角形形状】 例8．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式8-1】．已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形． 法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，判断三角形形状并求的周长． 【变式8-3】．先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：， ， ，， ，． (1)若，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？ (3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数． 【题型9 利用配方法求几何图形面积】 例9．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 【变式9-1】．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【变式9-2】．我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【变式9-3】．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【题型10 利用配方法解决新定义问题】 例10．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式10-1】．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【变式10-2】．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【变式10-3】．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 专题一 配方法的十大应用（题型归纳+典例精讲+变式训练）（解析版） 题型归纳： 【题型1 利用配方法识别一元二次方程】 【题型2 利用配方法解一元二次方程】 【题型3 利用配方法求字母的值】 【题型4 利用配方法比较代数式的大小】 【题型5 利用配方法证明代数式恒大于（或小于）某数】 【题型6 利用配方法求最值】 【题型7 利用配方法分解因式】 【题型8 利用配方法判定三角形形状】 【题型9 利用配方法求几何图形面积】 【题型10 利用配方法解决新定义问题】 【解题策略】 配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式；另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法. 典例精讲： 【题型1 利用配方法识别一元二次方程】 例1 .证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【答案】见详解 【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解． 【详解】解：由关于x的方程可知： ， ∵， ∴， ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键 【变式1-1】关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0，列出关于m的方程+1=2且m2-3m+2≠0，然后解方程求得m值． 【详解】解：由题意得：+1=2且m2-3m+2≠0 由+1=2得m=±1， 当m=1时，m2-3m+2=0不合题意． 当m=-1时，m2-3m+2=6≠0，∴m=-1． 故答案为-1 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点 【变式1-2】求证:无论m为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程. 【答案】无论 m 为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程 【详解】证明:∵m²-4m+5=(m-2)²+1>0，∴.m²-4m+5≠0. ∴.无论 m 为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程 【变式1-3】已知关于的方程 当时，解这个方程； 试证明：无论为何实数，这个方程都是一元二次方程． 【答案】；证明见解析. 【分析】（1）当a=2时，化简原方程，再解方程即可；（2）利用配方法证明≠0，由此即可证得结论． 【详解】当时，原方程化简为： 解得：. ∵ ∴ 故这个方程都是一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，解决第（2）问时，证明二次项系数≠0是解题的关键． 【题型2 利用配方法解一元二次方程】 例2．利用配方法解方程时,化成的形式,则n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：C 解析：, , , , , 故选：C. 【变式2-1】．把多项式进行配方，结果为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析： =x2-3x+ -+4 =(x-)2+ 故选B 【变式2-2】．若把方程化为的形式,则n的值是( ) A.5 B.2 C. D. 答案：A 解析：将配方得, , 则, 故选A. 【变式2-3】．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程：. 解：移项，得.① 两边同时除以2，得.② 配方，得，③ 即，所以.④ 故，.⑤ 上述过程中开始出错的步骤是__________（填序号），原因是__________.请写出正确的解答过程. 答案：③，不符合等式的性质；正确的解答过程见解析 解析：解答过程中开始出错的步骤为③，原因是不符合等式的性质. 故答案为③，不符合等式的性质. 正确的解答过程如下：移项，得. 两边同时除以2，得. 配方，得，即， 所以.故，. 【题型3 利用配方法求字母的值】 例3．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； 第二步：将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； 第三步：配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． ①移项，配方即可得出，，即可得解； ②将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 【变式3-1】．式子中、满足条件，取时，式子取得最小值．且，则满足条件的所有整数的积为（   ） A．0 B．36 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法的应用及不等式的性质，正确的配方是本题解题的关键，将已知的式子展开后配方，从而求得的表达式，然后用a表示出b，代入的表达式，再根据的取值求解的取值范围，从而得到a的整数解，即可解答． 【详解】解： ； ∵取时，式子取得最小值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为， ∴满足条件的所有整数的积为． 故选：D． 【变式3-2】．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将代数式配方后，即求出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型4 利用配方法比较代数式的大小】 例4．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 【变式4-1】．“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． （1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【详解】（1）解： 时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2）解： ， 【变式4-2】．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最小值． (2)若，，比较M、N的大小．（写出比较过程） (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，类比（1）可知，可得，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）∵，， ∴． ∵，则， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 【变式4-3】．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)，见解析 (3)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合（1）求解即可； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 【题型5 利用配方法证明代数式恒大于（或小于）某数】 例5．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 【变式5-1】．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】．对于任意实数x，多项式的值是一个 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】正数 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据完全平方公式，将转化为完全平方的形式，再进一步判断． 【详解】解：， 任意实数的平方都是非负数，其最小值是0， 所以的最小值是， 故多项式的值是一个正数， 故答案为：正数． 【变式5-3】．数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“我若输入，输出的多项式指定比1大”，你同意淇淇的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)同意淇淇的说法，见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出代数式，然后利用配方法将其变形从而分析其最值，即可解答． 【详解】（1）解：将代入可得：， ∴输出的多项式为：． （2）解：同意淇淇的说法，理由如下： 当输入为时多项式为． ． 输出的多项式指定比1大． 【题型6 利用配方法求最值】 例6．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 【变式6-1】．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 【变式6-2】．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 【变式6-3】．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 【题型7 利用配方法分解因式】 例7．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式7-1】．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 【变式7-2】．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 【变式7-3】．把的实数范围内进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解 【详解】解： 故答案为：． 【题型8 利用配方法判定三角形形状】 例8．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A． 点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 【变式8-1】．已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形． 【答案】 直角; 等边. 【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的关系. 【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0， ∴(a-3)2+(b-4)2+=0， ∴a=3，b=4，c=5， ∵32+42=52， ∴△ABC是直角三角形； ∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0， ∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, ∴a=b，b=c，a=c， ∴a=b=c， ∴△ABC是等边三角形. 故答案为直角；等边. 【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值. 【变式8-2】．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，判断三角形形状并求的周长． 【答案】(1)， (2)大，最值为 (3) 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，，所以三角形是等腰三角形 ， 的周长． 【变式8-3】．先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：， ， ，， ，． (1)若，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？ (3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数． 【答案】(1)； (2)△ABC是等边三角形； (3)答案见解析． 【分析】（1）将原式配方得，求出，的值，进而求解． （2）将原式配方得，求出，，的值进而求解． （3）利用配方法可以对式子化简，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：， ，， ， ． （2）解： ， ， 是等边三角形； （3）解： ， 故的值一定是一个正数． 【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状． 【题型9 利用配方法求几何图形面积】 例9．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得，，然后得到，，结合证明出平行四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，设，表示出，然后根据矩形的面积公式表示出四边形的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可． 【详解】解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 ∵，，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积． ∵ ∴ ∴四边形的最大面积是4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 【变式9-1】．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键 （1）仿照范例即可解答； （2）①直接根据题意列代数式即可；②先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 【变式9-2】．我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为： （2）解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6； （3）解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【变式9-3】．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 【题型10 利用配方法解决新定义问题】 例10．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴， ∴， ， 解得：， ， ∵， ∴， 当时，能取的最小值是2024， 故选：． 【变式10-1】．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式10-2】．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式10-3】．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， ， ， ， ， 代数式能取的最小值是2024， 故答案为：2024． 学科网（北京）股份有限公司 $$