21.3 实际问题与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.3 实际问题与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 例1．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 解题通法： 面积问题应注意三点： （1）图形的面积公式是基本的等量关系 （2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起 （3）取舍根时注意图形中边长的限制。 【变式1-1】．如图，某农场有一块长，宽的矩形种植地，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条宽均为的小路，使种植面积为，请依据题意列出方程（化为一般式）： ． 【变式1-2】．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【变式1-3】．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 知识点2 动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 例2．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 解题通法： （1）明确动点的运动方向、速度及终止条件（如到达终点停止），将运动过程分段处理。分阶段计算。 （2）注意时间变量的取值范围 【变式2-1】．如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【变式2-2】．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】．问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 知识点3 营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 例3．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 解题通法： ①代数式分别表示单件利润、销售数量 ②利用总利润=单件利润x销售数量列方程 ③解方程求解 【变式3-1】．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【变式3-2】．．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【变式3-3】．．某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？ 一、辨易错 1.忽略实际约束条件出错 例4．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42，篱笆长80．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． (1)求y与x，S与x的函数关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为840？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 【变式4-1】．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 2. 对运动状态变化理解错误 例5．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【变式5-1】．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 3.对“每降价/涨价x元，销量增加/减少y件”的转化错误 例6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 【变式6-1】．某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 二、综合应用 例7．根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【变式7-1】．某汽车店销售，两种型号的轿车，具体信息如表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） 30 20 （注：厂家要求店每季度型轿车的销量是型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： (1)用含的代数式表示； (2)今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求的值． 例8 .某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 2．某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 4．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 6．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件、为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若，，则该三角形的面积为（   ） A．6 B．12 C． D．7 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 10．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元． 11．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 12．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离为1尺，将它往前水平推送10尺，即尺，此时秋千踏板离地的距离与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索长为尺，则可列方程为 ． 13．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    15．某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 16．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 17．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 18．如图，为矩形的四个顶点，．动点分别从点同时出发，点P沿以的速度向点B移动，直到到达点B时停止，点Q沿以的速度向点D移动．经过几秒，点P和点Q之间的距离为？ 19．根据以下素材，完成探索任务： 如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？ 素材1 如图1是一张等腰直角三角形彩纸，，甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图裁剪出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在的边上．                  素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形；丙同学想裁出面积最大的正方形．            问题解决 任务1 请帮助甲同学判断此裁剪方案能否实现？并说明理由． 任务2 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积． 任务3 请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大． 20．某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.3 实际问题与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2（解析版） 知识点1 与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 例1．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 解题通法： 面积问题应注意三点： （1）图形的面积公式是基本的等量关系 （2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起 （3）取舍根时注意图形中边长的限制。 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 【变式1-1】．如图，某农场有一块长，宽的矩形种植地，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条宽均为的小路，使种植面积为，请依据题意列出方程（化为一般式）： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是本题的关键． 设小路的宽为，将 4 块种植地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设小路的宽为， 依题意有， 整理，得． 故答案为：． 【变式1-2】．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)米 (2)能；15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 【变式1-3】．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：，不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 知识点2 动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 例2．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 解题通法： （1）明确动点的运动方向、速度及终止条件（如到达终点停止），将运动过程分段处理。分阶段计算。 （2）注意时间变量的取值范围 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 【变式2-1】．如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 【变式2-2】．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【变式2-3】．问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键． （1）过点P作于E，根据四边形均为矩形可得，，据此即可求解； （2）分类讨论①当点P在线段上和②当点P在线段上两种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. 知识点3 营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 例3．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 解题通法： ①代数式分别表示单件利润、销售数量 ②利用总利润=单件利润x销售数量列方程 ③解方程求解 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． （2）解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 【变式3-1】．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 【变式3-2】．．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 【变式3-3】．．某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？ 【答案】该公司订购了箱款洗手液 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意由“订购这批洗手液的总进价为元”列出方程并解答． 【详解】解：设该公司订购了x箱款洗手液， 根据题意知， 解得，． 每次最多可订购箱款洗手液， 符合题意． 答：该公司订购了箱款洗手液． 一、辨易错 1.忽略实际约束条件出错 例4．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42，篱笆长80．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． (1)求y与x，S与x的函数关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为840？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)，；， (2)围成的矩形花圃面积不能为840．理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； （1）根据及矩形的面积公式即可求解； （2）令，得一元二次方程，利用判别式的意义判断此方程无实数解，即可作答． 【详解】（1）篱笆长80， ， ， ， 由解得， ， 矩形面积，． （2）不能，理由如下： 令，即， 整理得， 此时， 一元二次方程没有实数根， 围成的矩形花圃面积不能为840． 【变式4-1】．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】4米 【分析】用平移法，计算阴影的长为米，米，利用矩形的面积公式列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程，并解答是解题的关键． 【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽为4米． 2. 对运动状态变化理解错误 例5．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】(1)经过2秒或秒； (2)经过1秒或2秒． 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 【变式5-1】．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 3.对“每降价/涨价x元，销量增加/减少y件”的转化错误 例6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每件售价应定为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每次下降的百分率为，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）设每件售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：每次下降的百分率为； （2）设每件售价应定为元，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件售价应定为元． 【变式6-1】．某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元 (2)2400元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）将型洗衣机的售价定为m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元； （2）解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元． 二、综合应用 例7．根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务：；任务：元 【分析】任务：设该车间月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列出方程解答即可； 任务：设该零件的实际售价应定为元，根据题意列出方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务：设该车间月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：该车间月份到月份生产数量的平均增长率为； 任务：设该零件的实际售价应定为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴， 答：该零件的实际售价应定为元． 【变式7-1】．某汽车店销售，两种型号的轿车，具体信息如表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） 30 20 （注：厂家要求店每季度型轿车的销量是型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： (1)用含的代数式表示； (2)今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）根据“每季度型轿车的销量是型轿车销量的2倍”列方程并变形； （2）根据“第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同”列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：，且， 解得：或（此时利润为0，不合题意，舍去）， ∴． 例8 .某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 2．某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价元，平均每天能卖出件，每件盈利元，即可列出方程． 【详解】解：降价元，则可多卖出件，此时售价为元/件， ∴此时平均每天能卖出件，每件盈利元， ∴每天盈利元， 即可列方程为． 故选D． 3．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 故选：A． 4．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 5．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 6．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件、为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 7．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：C． 8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若，，则该三角形的面积为（   ） A．6 B．12 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键． 设小正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则两直角边长分别为和， 由全等三角形可得，直角三角形斜边长为， 由勾股定理得， 整理得， 所以三角形的面积为， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 10．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每个台灯的售价为元，根据售价每下降2元，其月销售量就增加400个即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每个台灯的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 当时，，不合，舍去； 当时，； ∴， 答：每个台灯的售价为元． 故答案为：． 11．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 12．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离为1尺，将它往前水平推送10尺，即尺，此时秋千踏板离地的距离与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索长为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故答案为：． 13．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    【答案】长方形等候区的边为15米，为20米 【分析】如图：设长方形等候区的边为x米，则米，然后再根据“设立一个面积为300平方米的长方形等候区”列一元二次方程即可解答． 【详解】解：如图：设长方形等候区的边为x米，则米，    由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去；当时，，符合题意． 答：长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． 15．某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3元 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意用代数式填表即可； （2）设每件应涨价元，结合（1）中的表格，再根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 2100 涨价后 / （2）解：设每件应涨价元， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：每件应涨价3元． 16．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 17．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步． 【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）； 故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）； （2）根据题意得， 解得（舍去），. 则的值为0.1. （3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000， 500÷（24000−23000）＝0.5（m）． 答：王老师这500米的平均步长为0.5米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 18．如图，为矩形的四个顶点，．动点分别从点同时出发，点P沿以的速度向点B移动，直到到达点B时停止，点Q沿以的速度向点D移动．经过几秒，点P和点Q之间的距离为？ 【答案】经过或，点P和点Q之间的距离为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用；利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 设经过，点和点之间的距离为，过点作，垂足为，则，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设经过，点和点之间的距离为． 点到达点时停止移动， ． 如图，过点作，垂足为， 则． ， ． 由勾股定理，得， ， ， 解得． 故答案为：经过或，点和点之间的距离为． 19．根据以下素材，完成探索任务： 如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？ 素材1 如图1是一张等腰直角三角形彩纸，，甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图裁剪出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在的边上．                  素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形；丙同学想裁出面积最大的正方形．            问题解决 任务1 请帮助甲同学判断此裁剪方案能否实现？并说明理由． 任务2 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积． 任务3 请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大． 【答案】任务1：不能，理由见解析；任务2：或；任务3：图见解析，按图4裁剪的正方形面积最大为． 【分析】任务1：由是等腰直角三角形，可知是等腰直角三角形，则，设，则，根据矩形的性质得到关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式得出无解，即此裁剪方案不能实现； 任务2：标记矩形顶点，过点作，设，先得出，都是等腰直角三角形，从而得到，，，再根据矩形两边长之比为，列方程分别求出的值，再计算矩形彩纸的面积； 任务3：按图4裁剪，设正方形的边长为，则，先得出，是等腰直角三角形，进而得出，，再根据求出的值计算正方形面积；按图5裁剪，设正方形的边长为，则，同理可得，是等腰直角三角形，根据求出的值计算正方形面积，再比较大小即可． 【详解】解：任务1：此裁剪方案不能实现，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 矩形的面积为， ， 整理得：， ， 方程无解， 即此裁剪方案不能实现； 任务2：如图，标记矩形顶点，过点作， 设， ∵是等腰直角三角形，四边形是矩形，， ，，，，， ，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵矩形两边长之比为， ∴或， ∴或， 解得：或， 当时，，，此时矩形彩纸的面积为； 当时，，，此时矩形彩纸的面积为； 综上可知，符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积为或； 任务3： 画图如下： 按图4裁剪，设正方形的边长为， 则， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴正方形面积为； 按图5裁剪，设正方形的边长为， 则， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴正方形面积为； 综上所述，按图4裁剪的正方形面积最大为． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，一元二次方程根的判别式，矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意数形结合，注意分类讨论． 20．某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 【答案】(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元，根据题意得，，再根据，得出，所以每件T恤的售价降价6元，进而可得出答案． 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元； （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：或， 因为， 所以， 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元． 学科网（北京）股份有限公司 $$