21.2.1 配方法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.2.1 配方法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1. 直接开平方法解一元二次方程 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1） 的解是；（2）的解是；（3）的解是。 要点诠释： 需确保方程右边为非负数，否则无实数解。 开平方时需考虑正负根，防止漏根 例1 ..解方程：． 解题通法： （1） 转化为左边含未知数的完全平方式，右边非负数形式。 （2） 利用平方根定义转化为两个一元一次方程、 （3） 解一元一次方程求解。 【变式1-1】1．解方程：. 【变式1-2】．已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值. 【变式1-3】．用直接开平方解下列一元二次方程,其中无解的方程为( ) A. B. C. D. 【变式1-4】．在等式(□中，□内的数等于__________. 知识点2.配方法解一元二次方程 解一元二次方程时，在方程的左右两边加上一次项系数一半的平方，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 要点诠释： 配方时需确保方程两边同时加减相同的数，保持等式平衡。 适用于所有一元二次方程，尤其适合二次项系数为1或需降次处理的方程 例2．将一元二次方程配方，得，则h、k的值分别为( ) A.3、8 B.-3、8 C.、 D.、 解题通法： 一移、二化、三配、四解 ①把常数项移到方程右边 ②方程两边同时除以二次项系数 ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④用直接开平方法解方程。 【变式2-1】．用配方法解方程，下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 【变式2-2】．．用配方法解方程： （1）； （2）. 【变式2-3】．．小明同学解一元二次方程的过程如下. 解：，① ，② ，③ ，④ ，.⑤ （1）小明解方程的方法是_________； A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 他的求解过程从第_________步开始出现错误. （2）解这个方程. 知识点3.配方法的应用 一元二次方程实际应用要点 1.解方程  用于求解标准形式的一元二次方程， 2.求最值 将代数式ax2+bx+c配方为a（x-h）2+k，直接确定最大值或最小值。 3.证明与不等式 通过配方将复杂表达式转化为平方和形式，利用非负数性质证明等式或不等式， 4.比较大小  作差后配方，判断差的正负、 例3-1 .已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解题通法： ①配方：把所满足条件的式子配方成完全平方式 ②利用平方式的非负性确定字母的值 例3-2.【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 解题通法： ①将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和 ②利用平方式的非负性确定最值 【变式3-1】．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式的最小值. 解： ， 无论x取何实数，总有， ， 即二次三项式的最小值是-10. 问题： （1）已知x可取任意实数，则二次三项式的最值情况是( ) A.有最大值-1 B.有最小值-1 C.有最大值1 D.有最小值1 （2）已知，求证：y是正数. 【变式3-2】．已知.若,,则P与Q的大小关系是( ) A. B. C. D. 【变式3-3】．已知a，b，c满足，，，则等于( ) A. B. C.14 D.2016 【变式3-4】代数式的最小值是_________. 1.辨易错 配方时添项错误 例4．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程：. 解：移项，得.① 两边同时除以2，得.② 配方，得，③ 即，所以.④ 故，.⑤ 上述过程中开始出错的步骤是__________（填序号），原因是__________.请写出正确的解答过程. 【变式4-1】．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 【变式4-2】．数学课上，老师讲解配方法解一元二次方程时，让嘉琪在黑板上用配方法解方程，嘉琪在黑板上的书写过程如下： 解：由于，可将方程变形为： ，第一步 ，第二步 ，第三步 .第四步 这位同学第一次出错的步骤是( ) A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 2.综合应用 例5 .我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【变式5-1】阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【变式5-2】1．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式的最小值. 解： ， 无论x取何实数，总有， ， 即二次三项式的最小值是-10. 问题： （1）已知x可取任意实数，则二次三项式的最值情况是( ) A.有最大值-1 B.有最小值-1 C.有最大值1 D.有最小值1 （2）已知，求证：y是正数. 例6．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【变式6-1】．先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： (1)若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； (2)求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； (3)试比较多项式与的大小． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程的解是( ) A. B.25 C. D. 2．用配方法解一元二次方程,此方程可变形为( ) A. B. C. D. 3．已知，（t为任意实数），利用配方法判断M，N的大小关系为( ) A. B. C. D.与t的值有关 4．不论x，y取何实数，代数式总是( ) A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数 5．用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上的数为( ) A.4 B.9 C.25 D.36 6．解一元二次方程，用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是( ) A. B. C. D. 7．利用配方法解方程时,化成的形式,则n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为( ) A.-3 B.0 C.3 D.9 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若一元二次方程有整数根，则m的值可以是__________.（填一个可能的值） 10．将一元二次方程配方后得到，则__________. 11．规定：，如：.若，则___________. 12．用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为______. 13．代数式的最小值是_________. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．解下列方程： (1)； (2)； 15．用配方法解下列方程: （1）； （2）. 16．若是的三边长,且满足. (1)求的值; (2)请判断的形状. 17． 已知实数x满足，求的值. 18．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题.求代数式的最小值. 解:. , , 的最小值是4. (1)求代数式的最小值; (2)求代数式的最大值. 19．已知满足x满足,求的值. 20．观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为，； （3）的解为，； …… 解答下列问题： （1）请猜想：方程的解为____________； （2）请猜想：关于x的方程__________的解为，； （3）以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性. 解：原方程可化为.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.2.1 配方法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1. 直接开平方法解一元二次方程 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1） 的解是；（2）的解是；（3）的解是。 要点诠释： 需确保方程右边为非负数，否则无实数解。 开平方时需考虑正负根，防止漏根 例1 ..解方程：． 解题通法： （1） 转化为左边含未知数的完全平方式，右边非负数形式。 （2） 利用平方根定义转化为两个一元一次方程、 （3） 解一元一次方程求解。 【答案】 【解析】利用直接开平方法解方程． 解： ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并熟练应用是解题的关键． 【变式1-1】1．解方程：. 答案：， 解析：原方程可化为， 直接开平方，得， 即或， 解得，. 【变式1-2】．已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值. 答案：或 解析：， 直接开平方，得， 或， ，， ，或，， 当，时，； 当，时，. 综上，的值为或. 【变式1-3】．用直接开平方解下列一元二次方程,其中无解的方程为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：解：(A)移项可得,故选项A无解； （B）,即,故选项B有解； （C）移项可得,故选项C有解； (D),故选项D有解； 故选A. 【变式1-4】．在等式(□中，□内的数等于__________. 答案：2或-12 解析：设□内的数为x，则等式(□为，两边开平方，得或，解得或. □内的数为2或-12. 知识点2.配方法解一元二次方程 解一元二次方程时，在方程的左右两边加上一次项系数一半的平方，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 要点诠释： 配方时需确保方程两边同时加减相同的数，保持等式平衡。 适用于所有一元二次方程，尤其适合二次项系数为1或需降次处理的方程 例2．将一元二次方程配方，得，则h、k的值分别为( ) A.3、8 B.-3、8 C.、 D.、 解题通法： 一移、二化、三配、四解 ①把常数项移到方程右边 ②方程两边同时除以二次项系数 ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④用直接开平方法解方程。 答案：D 解析：∵， ∴， 则，即， ∴，， 故选：D. 【变式2-1】．用配方法解方程，下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：，，，，故选C. 【变式2-2】．．用配方法解方程： （1）； （2）. 答案：（1）， （2）， 解析：（1）， 移项，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，. （2）， 移项，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，. 【变式2-3】．．小明同学解一元二次方程的过程如下. 解：，① ，② ，③ ，④ ，.⑤ （1）小明解方程的方法是_________； A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 他的求解过程从第_________步开始出现错误. （2）解这个方程. 答案：（1）C；② （2）， 解析：（2）， ， ， ， ， ，. 知识点3.配方法的应用 一元二次方程实际应用要点 1.解方程  用于求解标准形式的一元二次方程， 2.求最值 将代数式ax2+bx+c配方为a（x-h）2+k，直接确定最大值或最小值。 3.证明与不等式 通过配方将复杂表达式转化为平方和形式，利用非负数性质证明等式或不等式， 4.比较大小  作差后配方，判断差的正负、 例3-1 .已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解题通法： ①配方：把所满足条件的式子配方成完全平方式 ②利用平方式的非负性确定字母的值 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 例3-2.【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 解题通法： ①将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和 ②利用平方式的非负性确定最值 【答案】(1)当时，的最小值为3 (2)；大；1 (3)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解 ． （1）将原式配方，，根据 ，再根据不等式的性质求解即可 ． （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可． （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，根据栅栏总长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【变式3-1】．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式的最小值. 解： ， 无论x取何实数，总有， ， 即二次三项式的最小值是-10. 问题： （1）已知x可取任意实数，则二次三项式的最值情况是( ) A.有最大值-1 B.有最小值-1 C.有最大值1 D.有最小值1 （2）已知，求证：y是正数. 答案：（1）D （2）证明见解析 解析：（1）， 无论x取何实数，总有， ， 即二次三项式有最小值1，故选D. （2）证明：， ，，即， 是正数. 【变式3-2】．已知.若,,则P与Q的大小关系是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：, , , 即, 故选：A. 【变式3-3】．已知a，b，c满足，，，则等于( ) A. B. C.14 D.2016 答案：B 解析：由题意，知，整理，得，所以，所以，，，所以，，，所以.故选B. 【变式3-4】代数式的最小值是_________. 答案：3 解析： ， ， ， 代数式的最小值是3， 故答案为：3. 1.辨易错 配方时添项错误 例4．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程：. 解：移项，得.① 两边同时除以2，得.② 配方，得，③ 即，所以.④ 故，.⑤ 上述过程中开始出错的步骤是__________（填序号），原因是__________.请写出正确的解答过程. 答案：③，不符合等式的性质；正确的解答过程见解析 解析：解答过程中开始出错的步骤为③，原因是不符合等式的性质. 故答案为③，不符合等式的性质. 正确的解答过程如下：移项，得. 两边同时除以2，得. 配方，得，即， 所以.故，. 【变式4-1】．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：把方程的常数项移到等号的右边可得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得. 故选：B. 【变式4-2】．数学课上，老师讲解配方法解一元二次方程时，让嘉琪在黑板上用配方法解方程，嘉琪在黑板上的书写过程如下： 解：由于，可将方程变形为： ，第一步 ，第二步 ，第三步 .第四步 这位同学第一次出错的步骤是( ) A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 答案：C 解析：， ， ， ， ， 或， ，， 这位同学第一次出错的步骤是第三步， 故选：C. 2.综合应用 例5 .我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 【变式5-1】阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)代数式的最小值为 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）配方得出，结合题意得出，求解即可； （3）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，为， ∵代数式的最小值为2， ∴， 解得：； （3）解：，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∴． 【变式5-2】1．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式的最小值. 解： ， 无论x取何实数，总有， ， 即二次三项式的最小值是-10. 问题： （1）已知x可取任意实数，则二次三项式的最值情况是( ) A.有最大值-1 B.有最小值-1 C.有最大值1 D.有最小值1 （2）已知，求证：y是正数. 答案：（1）D （2）证明见解析 解析：（1）， 无论x取何实数，总有， ， 即二次三项式有最小值1，故选D. （2）证明：， ，，即， 是正数. 例6．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、配方法的应用 【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 【变式6-1】．先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： (1)若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； (2)求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； (3)试比较多项式与的大小． 【答案】(1)9 (2)； (3)当或时，当或时，，当时，． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法的应用，涉及到整式的运算，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）仿照示例，利用配方法，得到，的值，结合已知条件，得到的值，得到结果； （2）化简原式，把看作一个整体，把原式化为，利用配法，得到代数式的最小值； （3）利用作差法，求两个代数式的差，得到，再对其进行讨论，得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ..，， ，， ，， ，，，都是正整数， ， ， △的周长是9， 故答案为：9； （2）解： ， ， ， 代数式的最小值为3， 此时， 即； （3）解： ， 当时，即或时， 当时，或时，即或时，， 当时，时，即时，， 综上，当或时， 当或时，， 当时，． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程的解是( ) A. B.25 C. D. 答案：D 解析：, 直接开平方得,, 故选：D. 2．用配方法解一元二次方程,此方程可变形为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：, , , , 故选：B. 3．已知，（t为任意实数），利用配方法判断M，N的大小关系为( ) A. B. C. D.与t的值有关 答案：B 解析：， ， 故选B. 4．不论x，y取何实数，代数式总是( ) A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数 答案：C 解析：. ，， 即不论x，y取何实数，代数式总是负数， 故选C. 5．用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上的数为( ) A.4 B.9 C.25 D.36 答案：B 解析：，方程两边同时除以2，得，方程两边同时加上9，得， 即. 故选B. 6．解一元二次方程，用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：，， 即或， 故选C. 7．利用配方法解方程时,化成的形式,则n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：C 解析：, , , , , 故选：C. 8．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为( ) A.-3 B.0 C.3 D.9 答案：C 解析：，， ， . ，， 解得，故选C. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若一元二次方程有整数根，则m的值可以是__________.（填一个可能的值） 答案：（答案不唯一） 解析：，，.方程有整数根， 为完全平方数， 的值可以是， 故答案为（答案不唯一）. 10．将一元二次方程配方后得到，则__________. 答案：26 解析：方程，配方，得. 将方程配方后得到， ，，. 故答案为26. 11．规定：，如：.若，则___________. 答案：1或 解析：依题意得，整理，得， 所以， 所以， 所以或. 12．用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为______. 答案：13 解析： , ∴,, ∴； 故答案为13. 13．代数式的最小值是_________. 答案：3 解析： ， ， ， 代数式的最小值是3， 故答案为：3. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．解下列方程： (1)； (2)； 答案：(1)； (2). 解析：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； (2)解析：∵， ∴， 配方得，即， 开方得， 解得. 15．用配方法解下列方程: （1）； （2）. 答案：（1）二次项系数化为1，得.移项，得 配方，得，即. ， . （2）二次项系数化为1，得. 移项，得 配方，得，即 ， . 16．若是的三边长,且满足. (1)求的值; (2)请判断的形状. 答案：(1), . . , , . (2)，， 是直角三角形. 17． 已知实数x满足，求的值. 答案：解：将原方程两边同时加上2， 得 即 设，则方程可化为 配方，得 所以 直接开平方，得 解得 即或 经检验，不存在实数x使，故舍去. 所以. 解析： 18．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题.求代数式的最小值. 解:. , , 的最小值是4. (1)求代数式的最小值; (2)求代数式的最大值. 答案：(1)因为, 所以的最小值是. (2) 因为, 所以的最大值是5. 解析： 19．已知满足x满足,求的值. 答案：, 原方程可变形为. 设,则原方程可变形为, 解得. 或. 解析： 20．观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为，； （3）的解为，； …… 解答下列问题： （1）请猜想：方程的解为____________； （2）请猜想：关于x的方程__________的解为，； （3）以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性. 解：原方程可化为.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 答案：（1）， （2）（或） （3）方程二次项系数化为1，得. 配方，得， 即， 开方，得. 解得，. 经检验，，都是原方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $$