精品解析： 重庆市丰都县平都中学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

平都中学2025年春期八年级第二次定时作业 数学试题 （全卷共八个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上、不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 的三条边分别为，三个内角分别为，则满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 如图是一台自动测温记录仪测得西安市冬季某天的气温与时间的图像，观察图像得到下列信息，其中错误的是（ ） A. 从14时至24时，气温随时间增长而下降 B. 凌晨4时气温最低，为 C. 从0时至14时，气温随时间增长而上升 D. 14时气温最高，为 4. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第2个图有8条线段，第3个图有15条段线，则第7个图中线段的条数为( ) A. 35 B. 48 C. 63 D. 65 8. 若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点E，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 10. 若x，y任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中： ①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 计算：_______． 12. 如图，一次函数与图象相交于点，则方程组的解是_______． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的周长是52，则的长为_______． 14. 关于y的分式方程有整数解，且关于x的一次函数在自变量取值范围内y随x增大而增大，则满足条件的所有整数a的和为_______． 15. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O．，E是上一点，连接交于点F，，连接交于点P，，若，则_______，_______． 16. 对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则值为________；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：（1）； （2）． 18. 先化简，再求值，，其中a是使得一次函数的图像经过第一、三、四象限的整数． 19. 在学习了菱形的相关知识后，智慧学习小组想在一张三角形纸板上画出一个以为内角的菱形，他们发现，由于菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，所以可以通过作角平分线和中垂线的方式，画出符合条件的菱形．请根据他们的想法与思路，完成下面的作图与填空： （1）如图，在中，的角平分线交边于点D，用尺规作的垂直平分线，分别交边，于点E，F，交于点O．连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问的条件下，求证：四边形为菱形． 证明：∵平分，∴ ① ． ∵，∴ ② ． ∵在和中，， ∴≌（ASA），∴ ③ ． ∵是的中垂线，∴． ∴四边形为平行四边形． ∵ ④ ，∴四边形为菱形． 进一步思考：若中，，那么四边形的形状为 ⑤ ． 20. 如图，四边形中，，上一点，与交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 端午将近，某超市计划购进鲈鱼和鲢鱼．已知每斤鲢鱼进价比每斤鲈鱼的进价多6元，超市第一次用175元购进的鲢鱼数量和用100元购进的鲈鱼数量相同． （1）求每斤鲈鱼的进价是多少元？ （2）由于鲢鱼和鲈鱼畅销，超市决定再次用不超过3600元的资金购进鲢鱼和鲈鱼共300斤，其中鲈鱼的数量不多于鲢鱼数量的2倍，且鲢鱼和鲈鱼的进价保持不变若每斤鲢鱼的售价为20元，每斤鲈鱼的售价为12元，若第二次购进的鲢鱼和鲈鱼全部售出，请问当第二次购进鲢鱼多少斤时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，． （1）请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； （2）在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 23. 如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点的西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． （1）求的长； （2）若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 24. 如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点． （1）求a的值和一次函数的表达式； （2）如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； （3）如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． （1）如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． （2）如图2，连接交于点H，求证：． （3）如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平都中学2025年春期八年级第二次定时作业 数学试题 （全卷共八个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上、不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含有能开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有能开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 的三条边分别为，三个内角分别为，则满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 是直角三角形； B、，即， 是直角三角形； C、， ， 不直角， 不是直角三角形； D、，， ， 是直角三角形， 故选：C． 3. 如图是一台自动测温记录仪测得西安市冬季某天的气温与时间的图像，观察图像得到下列信息，其中错误的是（ ） A. 从14时至24时，气温随时间增长而下降 B. 凌晨4时气温最低，为 C. 从0时至14时，气温随时间增长而上升 D. 14时气温最高，为 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的图像进行逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由图像可知从14时至24时，气温随时间增长而下降，故A不符合题意； 凌晨4时气温最低，为−3°C，故B不符合题意； 从0时至14时，气温随时间增长先下降后上升，故C符合题意； 14时气温最高，为8°C，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了从图像获取信息，解题的关键在于能够准确根据图像进行求解． 4. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及二次根式的混合运算，先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算出其取值范围即可．熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， 代数式的值应在6和7之间． 故选：B． 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，本选项不符合题意． B、矩形的对角线互相垂直，是假命题，本选项符合题意． C、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，是真命题，本选项不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题，本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握特殊四边形的性质解决问题． 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围． 【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则OA=3，AB=4，由勾股定理得：， ∴a=10-5=5； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理实际应用，根据情况进行分类讨论、及勾股定理的应用是本题的关键． 7. 如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第2个图有8条线段，第3个图有15条段线，则第7个图中线段的条数为( ) A. 35 B. 48 C. 63 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的图形，找出各个图形中线段条数的变化规律即可得． 【详解】第1个图形中有条线段， 第2个图形中有条线段， 第3个图形中有线段， 观察规律可得：第n个图形中有条线段， 所以当时，第7个图形中有条线段， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形中线段的条数问题，根据前几个图形中线段的条数归纳出变化规律是解题关键． 8. 若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 9. 如图，在中，于点E，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明，得出，由直角三角形的性质得出，则，证出，则可得出结论． 【详解】解：连接， 点F为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 若x，y为任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中： ①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简、代数式的运算及整数解的探究，解题的关键是先列出所有操作结果，再结合条件逐一分析各说法的正确性． 先列出A、B、C、D两两作差的绝对值结果；对于①，观察结果中是否存在比值为常数的两个代数式；对于②，当时，代入结果并化简和式，结合整数y的取值判断是否存在满足和为的情况；对于③，明确M、N的表达式，结合方程及整数x、y的条件，求出可能的M、N值，进而判断的可能值． 【详解】解：根据题意可得，，，，，，， ∴，为常数，故①正确； 当时，，，， ，，， ∴所有操作结果的和为： ， 分情况讨论： 当时，， 当时，， 当时，， 令，得（非整数）， ∴无整数y满足所有操作结果的和为52，故②错误； ∵，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵为正数且均为整数， ∴必为4的倍数且， ∴或5或9， 当时，，代入得, ∴， 当时，，代入得， ∴， 当时，，代入得， ∴， ∴的值为842或389或386，故③错误． 综上，正确结论为①，共1个． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 计算：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简和零次幂的运算．熟练掌握绝对值和零次幂的运算是解决本题的关键． 根据绝对值的化简结果和零次幂的运算计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解决本题的关键是两函数图象的交点坐标就是对应方程组的解． 一次函数的图象交点坐标与对应的方程组的解之间存在着紧密的联系．两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个一次函数表达式组成的方程组的解． 【详解】解： 已知一次函数和图象相交于点． 所以方程组的解就是． 即方程组的解是． 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的周长是52，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用菱形的性质求出，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的周长是52， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 14. 关于y的分式方程有整数解，且关于x的一次函数在自变量取值范围内y随x增大而增大，则满足条件的所有整数a的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解、一次函数的性质以及二次根式有意义的条件．解决本题的关键是通过综合以上条件，确定符合要求的参数并计算其和． 先求解分式方程得到y关于a的表达式，根据分式方程有整数解确定a的可能取值范围；再根据一次函数的性质，由y随x增大而增大确定a的取值范围，最后找出同时满足两个条件的整数a并求和． 【详解】解：， ， ， ． 因为分式方程有整数解，所以能被2整除． 对于一次函数，因为y随x增大而增大， 所以一次项系数，即． 同时，在中，， 所以． 由是整数，可得a为偶数， 且 ∵，∴， 综上，满足条件整数a为．即， 满足条件的所有整数a的和为． 故答案为：． 15. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O．，E是上一点，连接交于点F，，连接交于点P，，若，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是通过构造辅助线，构造直角三角形使用勾股定理求解边长． 通过构造辅助线得到为等腰直角三角形，求解边长和角度，再结合直角三角形中边长的关系求解边长即可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，过点E作交于点H，如图， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：① ；②2． 16. 对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为________；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. 3 ②. 10917 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减运算．根据“临风数”的定义可得，解方程求出的值即可；根据“临风数”定义得，得出是4的倍数，是5的倍数，设，分，，讨论求出最大数和最小数即可． 【详解】解：对于四位数有：， ∵， ∴中，，， ∴， 解得：； ∵ ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴是4的倍数，是5的倍数， ∵，， ∴； 设， 则当时，； 当时，，； 当时，； 要使四位自然数最大，则，都要尽可能地大，且能被7整除， 当，时，， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时成立； ∴满足条件的最大数为：9738； 要使四位自然数最小，则，都要尽可能地小，且能被7整除， 当，时， 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 当，时， 若， 此时，此时成立； ∴满足条件的最小数是1179， ∴满足条件的四位数最大值与最小值的和为， 故答案为：10917． 三、解答题：（本大题9个小题，17题18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案； （2）根据二次根式的加减法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查的是二次根式的运算，比较简单，需要熟练掌握相关运算法则． 18. 先化简，再求值，，其中a是使得一次函数的图像经过第一、三、四象限的整数． 【答案】，当时，原式的值为1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数的图象和性质，分式有意义的条件， 先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，计算分式减法化简，然后根据分式有意义的条件和一次函数经过的象限得到a的值，代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵一次函数的图像经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∵a是整数， ∴， ∴原式． 19. 在学习了菱形的相关知识后，智慧学习小组想在一张三角形纸板上画出一个以为内角的菱形，他们发现，由于菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，所以可以通过作角平分线和中垂线的方式，画出符合条件的菱形．请根据他们的想法与思路，完成下面的作图与填空： （1）如图，在中，的角平分线交边于点D，用尺规作的垂直平分线，分别交边，于点E，F，交于点O．连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问的条件下，求证：四边形为菱形． 证明：∵平分，∴ ① ． ∵，∴ ② ． ∵在和中，， ∴≌（ASA），∴ ③ ． ∵是的中垂线，∴． ∴四边形为平行四边形． ∵ ④ ，∴四边形为菱形． 进一步思考：若中，，那么四边形的形状为 ⑤ ． 【答案】（1）见解析 （2），，，，正方形 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图、菱形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可 （2）先证明四边形为平行四边形．再由即可证明四边形为菱形，再根据正方形的判定证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵在和中，， ∴≌（ASA）， ∴． ∵是的中垂线， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 若中，，则四边形为正方形 故答案为：，，，，正方形 20. 如图，四边形中，，为上一点，与交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形判定即可得出结论； （2）过点作于点，证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，求出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明： 在和中， 又 ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 端午将近，某超市计划购进鲈鱼和鲢鱼．已知每斤鲢鱼的进价比每斤鲈鱼的进价多6元，超市第一次用175元购进的鲢鱼数量和用100元购进的鲈鱼数量相同． （1）求每斤鲈鱼的进价是多少元？ （2）由于鲢鱼和鲈鱼畅销，超市决定再次用不超过3600元的资金购进鲢鱼和鲈鱼共300斤，其中鲈鱼的数量不多于鲢鱼数量的2倍，且鲢鱼和鲈鱼的进价保持不变若每斤鲢鱼的售价为20元，每斤鲈鱼的售价为12元，若第二次购进的鲢鱼和鲈鱼全部售出，请问当第二次购进鲢鱼多少斤时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一次函数的知识点．解决本题的关键是由数量相同这一条件建立等式并熟练掌握一次函数的性质． （1）通过设未知数，根据数量相同建立分式方程求解进价； （2）根据资金和数量关系建立不等式组确定购进数量的范围，再根据利润公式建立一次函数，根据函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：设每斤鲈鱼的进价是x元， 因为每斤鲢鱼的进价比每斤鲈鱼的进价多6元， 所以每斤鲢鱼的进价是元． 可列出方程：， 解得：， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 故每斤鲈鱼的进价是8元． 【小问2详解】 由（1）可知每斤鲢鱼的进价为元． 设购进鲢鱼y斤，则购进鲈鱼斤． 可列不等式： 解得：， 可列不等式：，解得：， 所以． 利润， 可得：， 因为，所以W随y的增大而增大． 所以当时，W有最大值，, 即当第二次购进鲢鱼200斤时，可获得最大利润1600元． 22. 如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，． （1）请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； （2）在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 【答案】（1） （2）作图见详解；性质，当0≤x<2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤8时，y随x的增大而增大； （3）自变量的取值范围为： 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）运用描点，连线的方法即可求解； （3）根据图示即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴是直角三角形，且， 设，， ①当点在线段上时，即， ∵， ∴， ∴； ②当点与点重合时，即，如图所示， ∴，即； ③当点在线段上时，即，如图所示， ∵，， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：； 【小问2详解】 解：根据（1）函数关系式描点如下， 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下， 性质，当0≤x<2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤8时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：如图所示， 根据图示，交点坐标为，， ∴当时，， ∴自变量的取值范围为：． 23. 如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点的西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． （1）求的长； （2）若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）40米 （2）小明先到达，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意，综合运用相关知识是解题关键． （1）首先根据题意可得，，，进而可得，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得米，然后理由勾股定理计算的长即可； （2）首先利用勾股定理解得的长度，设两人的速度均为米/分钟（），分别求得两人到达点所用时间，比较即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图， 根据题意，点在点的西北方向上，点在点的东北方向上， ∴，， ∵点在点的北偏西方向上，即， ∴， 又∵米， ∴米， ∵，米， ∴米； 【小问2详解】 由（1）可知，，米，米， ∴米， 设两人的速度均为米/分钟（）， 则到达点，小明用时， 小亮用时， ∵， ∴小明先到达点． 24. 如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点． （1）求a的值和一次函数的表达式； （2）如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； （3）如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，点M的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点代入正比例函数中可求解a的值，再将点A与点B代入一次函数中，由此可求； （2）先求出的面积，设出点C的坐标，由面积之间的关系可求解点C的坐标，再由“三点共线”即可求解最小值； （3）当点在轴的正半轴时，过作轴于，轴于，连接，四边形是正方形，在轴上取，连接，则，，分别求出，，再由，求出即可求点的坐标为；当点轴负半轴上时，作关于直线的对称点，由对称性可知点在轴上，则，直线的解析式为，直线与轴的交点为． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数上， ∴，即， ∴点， ∵点与点在一次函数上， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴，点A的纵坐标为4， ∴， 设点， ∵， ∵的面积是的面积的2倍， ∴, ∴， 即， ∴， 解得， ∴点， 作点关于x轴的对称点， 过点A作轴交y轴于点D，连接交x轴于点M，如图， 当点A，点M，点三点共线时，最小，即， ∵，， 在中，， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在， 当点在轴的正半轴时，过作轴于，轴于，连接， ， 点在直线上， ， 四边形是正方形， ， 在轴上取，连接， 则， ，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； 当点轴负半轴上时，作关于直线的对称点， ， ， 点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， 直线与轴的交点为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，包括一次函数表达式的求解，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用一次函数的性质与全等三角形的性质找到边与角的关系，在根据边与角的关系求出点的坐标． 25. 如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． （1）如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． （2）如图2，连接交于点H，求证：． （3）如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明是等边三角形，是等边三角形，然后可得，然后在中，，则，而，同理在中，，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，通过全等三角形的性质求证即可； （3）过点作于点，连接，先证明，然后得到点三点共线，可得为定值，故取最大值时取最小值即可，设菱形边长为，则，故当最小时，取最小值，当时，最小，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴同理在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在上截取，连接， 由(1)知是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点，连接， 由上知，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理为等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵菱形中，， ∴以为底的高与相等，且为定值， ∴为定值， ∴取最大值时，取最小值即可， ∵菱形， ∴，， 设菱形边长为， 由是等边三角形得， ∴， ∵， ∴当最小时，取最小值， ∴当时，最小， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵菱形中， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $