精品解析：重庆市丰都县融智学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

丰都县融智教育集团2024春第三次定时作业质量监测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试题卷上直接作答． 2．考生务必将自己姓名、准考证号用铅笔涂写在答题卡上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上． 4．考试结束后，考生将答题卡交回，试卷自行带走． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知函数，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0且x-1≥0，解可得答案． 【详解】解：根据题意，得：x-2≠0且x-1≥0， 解得：x≥1且x≠2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的值，再利用不等式的性质即可求出的范围． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，知道是解题的关键． 3. 若函数是一次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键． 由一次函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】是一次函数， 且， 解得且， 故选：A． 4. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，根据题意找出边长之间的数量关系是解题关键．根据正方形①的面积，得到，再根据勾股定理，分别求出，，即可求解． 【详解】解：如图标记各点， 正方形①的面积为16， ， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 即正方形③的边长是2， 故选：A 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； D．对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相符合，故A符合题意; B、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故B不符合题意; C、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故C不符合题意; D、由的图象得， ∴， ∴的图象过一、三象限，与选项中的图象相矛盾，故D不符合题意; 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，于点，点为中点，则的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：设与交于点O， ∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴点E是的中点， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴， 故选A． 8. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可． 【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离， ∴①正确； ∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时， ∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ∴②正确； 设， ∴300=5m， 解得m=60， ∴； 设， ∴ 解得， ∴； ∴ 解得t=2.5， ∴2.5-1=1.5， ∴乙车出发后1.5小时追上甲车； ∴③错误； 当乙未出发时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲后面时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲前面时，， 解得t=； 当乙到大目的地，甲自己行走时，， 解得t=； ∴④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，对角线上任意一点，连接，过点作交于点，连接．若，则可以用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，射线交于点，由正方形的性质得又证四边形是矩形，得，再证，得，从而利用平行线的性质及三角形的内角和定理即可得解。 【详解】解：过点作于点，射线交于点， ∵四边形是正方形， ∵ ∵ ∴四边形是矩形，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，构造辅助线证明是解题的关键． 10. 有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】当时，再根据条件分别求解，，，，从而可判断甲；当时，再根据条件分别求解，，，，从而可判断乙；当是4的倍数，设，再根据条件分别求解，，，，可判断丙；设（k是正整数），再同时满足三个条件的情况下分别求解，，，，可判断丁；设（m是正整数），同时满足三个条件的情况下分别求解，，，，可得，，的平均数为，，的平均数为，得到，，的平均数与，的平均数之和为，从而可判断戊． 【详解】解：甲：若， 由条件①可得： ，， 由条件②得： ， 由条件③得： ， 解得：， 而是奇数， ∴“甲：取，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确； 乙：若， 由条件①可得： ，， 由条件②得： ， 由条件③得： ， 解得：，，符合题意， ∴“乙：取，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确； 丙：若是4的倍数，设 （n是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ， 由条件③，得 ， 解得：， 是奇数，符合题意， ∴“丙：当满足是4的倍数时，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确； 丁：设（k是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ，、是奇数， 由条件③，得 ， 解得：， ∵k是正整数， ∴也是正整数， ∴“丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）”，结论正确； 戊：设（m是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ，、是奇数， 由条件③，得： ， 解得：， ∴， ∴，，的平均数为， ，的平均数为为偶数， ∴，，的平均数与，的平均数之和为， ∵m是正整数， ∴是5的倍数，也是10的倍数， ∴“戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与， 的平均数之和是（p为正整数）”结论正确． 综上所述，结论正确的个数有5个． 故选：D． 【点睛】本题考查的是数字规律的探究，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，平均数的含义，理解题意，确定探究方法与解题思路是解本题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：7． 12. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案：． 13. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与两个函数图象交点坐标的关系，根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：观察图象可知两个函数图象交于点， 即同时满足两个函数解析式， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出，，，，在中，由勾股定理得到，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为20， ∴，，，． 在中， 由勾股定理得， ∴． ∵于E， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：3 15. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为____________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则． 又因为，所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 故答案为：25． 16. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质易得，则，由及折叠性质得；在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ，， ， 在矩形中，， ， ； ， ； 中，， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识；由折叠的性质求得是解题的关键． 17. 数使关于的方程的解是整数，且使一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的值的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于的方程解是整数，且一次函数的图象不经过第三象限，可以求得满足条件的的值，从而可以得到满足条件的所有整数的和． 【详解】解：由分式方程得，， 分式方程程的解是整数， 是整数且不等于， 一次函数的图象不经过第三象限， ， 解得：， 是整数且不等于， ，， ， 满足条件的所有整数的值的和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答． 18. 对于四位数，若千位上数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则______；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为______． 【答案】 ①. 82 ②. 6939 【解析】 【分析】①根据题目所给“双倍差数”的定义，以及的运算法则，计算出的值即可；②将M化为，即可得出各个数位上的数字，再得出的表达式，根据“双倍差数”的定义，得出，根据 除以13余1，得出能被13整除，进而得出能被13整除，根据a和b的取值范围，得出a关于b表达式，进行分类讨论，当a取最大值时，M才取最大值，最后逐个求出各个字母即可． 【详解】解：①，， ∴， ∵该四位数为“双倍差数”， ∴，解得：， ∴； ② ∵，，，， ∴，，，， ∴M个位上的数字为，十位上的数字为，百位上的数字为，千位上是数字为， ∵，， ∴， ∵M是“双倍差数”， ∴，整理得：， ∴ ， ∵除以13余1， ∴能被13整除， 即能被13整除， ∵ ， ∴能被13整除， ∵，， ∴，，则 ∴， ∴， （1）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； （2）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴， （3）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； （4）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； （5）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； 综上：， ∵千位上数字为， ∴当时，M取最大值， 把代入，解得：， ∵， ∴，则， ∵， ∴当时，取最大值，则 综上：当M取最大值时，，，，， ∴满足条件的M的最大值为． 故答案为：82，6939． 【点睛】本题主要考查了新定义下是实数运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算法则． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，零整数指数幂以及绝对值的意义计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，点E在线段上，，完成下列作图和证明过程． （1）尺规作图：作的角平分线交线段于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 证明：∵，∴①______． 又平分 ∴②______． ∴③______． 又∵，∴且． ∴④______． 又∵，∴四边形为菱形． ∴（⑤______）． 【答案】（1）见解析 （2）；；；四边形为平行四边形；菱形对角线互相垂直 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质；会用尺规作图作角平分线，读懂每步推理，弄清证明过程中逻辑关系是解答本题的关键． （1）按照尺规作图作角平分线的方法进行即可； （2）读懂每步推理，从推理看，先证明四边形为平行四边形，再证明此四边形为菱形，由菱形对角线互相垂直即可得证； 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 证明：， ． 又平分， ， ． ． 又， 且． 四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为菱形． ∴（菱形的对角线互相垂直）． 故答案为：；；；四边形为平行四边形；菱形的对角线互相垂直； 21. 如图，点E是正方形的边上的一点，的平分线交的延长线于点F，交于点G． （1）若，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出，设，则， ，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可； （2）根据平行线性质得出， 证，推出 ，求出，推出即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点M，使， 连结， 四边形是正方形， ， ， 平分， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用了方程思想． 22. 如图，点是矩形的边的中点，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线——向终点（不与点重合）运动，若点运动时间为（秒），的面积为． （1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时t的值（精确到，误差不超过）． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的综合运用，涉及一次函数的图像与性质，矩形的性质，解题的关键是分类讨论，数形结合． （1）当时，点在上，根据题意得，，，，根据求解；当时，点在上，，根据三角形的面积公式即可求解； （2）当时，；当时，；当时，；描点即可画出图像，根据图像即可写出函数的性质； （3）分别在和中，令，求出值，即可求解． 【小问1详解】 当时，点在上，如图： 根据题意可得：，，，， 当时，点在上，如图： 根据题意得：， ， ； 【小问2详解】 当时，；当时，；当时，；画出的图像如下： 由图像可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 在中，令时， ， 解得：； 在中，令时， ， 解得：； 由图像可知，当时，． 23. 冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元；顾客乙买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元． （1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ （2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共斤，且羊腿的重量不少于斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利元，每斤羊排可盈利元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）羊腿和羊排的售价分别是元，元 （2）超市老板应该购进斤羊腿，斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出二元一次方程组，解方程组即可求出羊腿和羊排的售价； （2）设购进羊腿斤，这批羊肉卖完时总获利为元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设羊腿的售价每斤为元，羊排的售价每斤为元，根据题意，得： ， 解得， 答：羊腿和羊排的售价分别是元，元； 【小问2详解】 解：设购进羊腿斤，这批羊肉卖完时总获利为元， 根据题意，得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，， 此时，斤， 答：超市老板应该购进斤羊腿，斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 24. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求的长度； （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 【答案】（1）米 （2）骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理： （1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点K作于H， 由题意得，， ∴ 在中，米， 米， 在中，由勾股定理得米， ∴米； 【小问2详解】 解：在中，米， 米， ∴米， ∴路线②的时间为分钟； ∵米， ∴路线①的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数表达式； （2）如图2，若点P是x轴上的一个动点，连接PB，PC，当最小时，求的最小值及此时点P的坐标； （3）将（2）问中最小时的P点向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得点M，点N是坐标平面内的一个点，当以点A，M，N，B为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点N的坐标，并选其中一个写出求解过程． 【答案】（1）2， （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）将点代入可得m的值，进而求得，再将点、代入，进而求得一次函数表达式； （2）先求点，作点B关于x轴对称点，则点，连接交x轴于点，当点P与点重合时，值最小，最小值为线段的长，可求出，，然后由勾股定理可求得线段的长，进而得值最小值，根据可求得的长，即得点P坐标； （3）先求得，再分三种情况进行讨论：①当为平行四边形对角线时，先由中点坐标公式求出点E坐标，进而求出点N坐标；②当、均为平行四边形一边时，③当为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式可求得点N坐标． 【小问1详解】 解：将点代入可得：， 点 ， 将点、代入， 得：， 解得：， 一次函数表达式为：； 故：，一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ， 作点B关于x轴对称点，则点，连接交x轴于点，连接、，过点C作轴于点D，当点P与点重合时，值最小，最小值为线段的长， 理由如下： 点B、关于x轴对称， ，， ，， 根据两点之间线段最短得： ， 当点P与点重合时，值最小，最小值为线段的长， ，， ，，， ， 在中，，， ， 最小值为， ， ， ，即， ， 点坐标为， 当值最小时，点坐标为． 【小问3详解】 解：符合条件的点N的坐标：或或 理由如下： 由（2）可知：点坐标为， 由平移性质得，设点N坐标为， 以点A，M，N，B为顶点的四边形是平行四边形， 有以下三种情况： ①当为平行四边形对角线时，连接交于点E，则点E是、的中点， ，， 由中点坐标公式得：点E横坐标为：，纵坐标为， 点， 又， ，， 解得：，， ； ②当、均为平行四边形一边时， 同理得：； ③当为平行四边形对角线时， 同理得： 综上所述，符合条件的点N的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数图象、点的坐标平移、平行四边形性质等知识，解决（1）关键是掌握待定系数法求函数表达式，解答（2）关键是利用轴对称求最短路线，解答（3）关键是分类讨论，漏解是解答此题易错点之一． 26. 如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接． （1）如图1，点在线段上，若，求的长； （2）如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：； （3）如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解； （2）过点作于点，证明，得出，，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据已知，可得，过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形，得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则四边形是菱形，根据题意将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则关于对称，得出是直角三角形，当在上时，取得最小值，勾股定理求得的最小值为，过点作于点，连接，进而等面积法得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵，则 在中，， ∵，则 在中， 【小问2详解】 证明：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 即是的中点， 过点作交的延长线于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接， 则， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，则， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴关于对称， ∴关于对称， ∵ ∴是直角三角形， ∴ 当在上时，取得最小值， ∵， ∴，则， 在中， ∴的最小值为 如图所示，过点作于点，连接， ∵是的中点，，则 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴当取最小值时， 的面积为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，熟练掌握以上知识是是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰都县融智教育集团2024春第三次定时作业质量监测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试题卷上直接作答． 2．考生务必将自己姓名、准考证号用铅笔涂写在答题卡上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上． 4．考试结束后，考生将答题卡交回，试卷自行带走． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知函数，自变量x取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 3. 若函数是一次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 4. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 6. 一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C D. 7. 如图，在平行四边形中，于点，点为中点，则的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后25小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在正方形中，是对角线上任意一点，连接，过点作交于点，连接．若，则可以用表示为（ ） A. B. C. D. 10. 有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 13. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为_______． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________． 15. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为____________． 16. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为______． 17. 数使关于的方程的解是整数，且使一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的值的和是______． 18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则______；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在平行四边形中，点E在线段上，，完成下列作图和证明过程． （1）尺规作图：作的角平分线交线段于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 证明：∵，∴①______． 又平分 ∴②______． ∴③______． 又∵，∴且． ∴④______． 又∵，∴四边形为菱形． ∴（⑤______）． 21. 如图，点E是正方形的边上的一点，的平分线交的延长线于点F，交于点G． （1）若，求的长； （2）求证：． 22. 如图，点是矩形的边的中点，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线——向终点（不与点重合）运动，若点运动时间为（秒），的面积为． （1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时t的值（精确到，误差不超过）． 23. 冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元；顾客乙买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元． （1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ （2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共斤，且羊腿的重量不少于斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利元，每斤羊排可盈利元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 24. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求的长度； （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数表达式； （2）如图2，若点P是x轴上的一个动点，连接PB，PC，当最小时，求的最小值及此时点P的坐标； （3）将（2）问中最小时的P点向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得点M，点N是坐标平面内的一个点，当以点A，M，N，B为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点N的坐标，并选其中一个写出求解过程． 26. 如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接． （1）如图1，点在线段上，若，求的长； （2）如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：； （3）如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$