精品解析：2025年4月辽宁省抚顺市新宾县永陵镇白家中学九年级模拟数学测试题　

2025年新宾县永陵镇白家中学九年级4月模考数学测试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个几何体按照如图所示的方式水平放置，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ） A. -25 B. -5 C. 10 D. 20 3. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，我国科学家在多个领域探索人工智能驱动的科学研究，其中“人工智能辅助的基因组选择”能在几周内分析上百万基因型，有效开发全球植物种质库里超700万份种质资源，极大提升了育种流程效率和精度，应用潜力巨大．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，．以点为圆心、的长为半径作弧交边于点，连接；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，若，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线与相交于点O，点E在上，且，连接并延长交的延长线于点F，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______． 13. 如图，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点且满足，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，若的面积为，则的值为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，是等腰直角三角形的一条直角边，且点位于第一象限，若抛物线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是______． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，且，是边上一动点，沿将翻折，点翻折后落在点，连接，．若的面积为28，则的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 西藏日喀则地震期间，政府急需将一批医疗物资运往灾区，某车队打算用两种货车来运送这批医疗物资．已知种货车比种货车每辆多装40件医疗物资，且种货车装运1200件医疗物资所用的车辆数与种货车装运1000件医疗物资所用的车辆数相等． （1）求两种货车每辆可装多少件医疗物资； （2）现有、两种货车共10辆，要运送2200件医疗物资，求至少需要种货车多少辆． 18. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）______，______，______； （3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 19. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 y（） 2700 2600 2500 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 20. “1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） （1）求此时液压杆的长度；（结果保留根号） （2）通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 21. 如图，以的边为直径作分别交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点，是劣弧的中点． （1）求证：为的切线． （2）若，求的长． 22. 截长补短是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． 例如：如图1，，都是等边三角形，与交于点，连接，探究、、之间的数量关系． 思路梳理： 截长法：易证≌，∴．易得．在线段上截取，则可求得之间的数量关系为． 补短法：易证≌，∴．易得．在的延长线上截取，连接，则可求得之间的数量关系为． （1）如图2，是等边三角形，为线段上任意一点，连接，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且．请猜想线段之间存在的数量关系，并说明理由． （2）如图3，在中，，若是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图4，是等腰直角三角形，，为边的中点，连接，过点作于点，交于点，连接． ①请猜想线段之间的数量关系，并说明理由； ②若，则的长为___________． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． （1）点的“纵横值”为___________． （2）已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”． （3）若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上． ①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年新宾县永陵镇白家中学九年级4月模考数学测试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个几何体按照如图所示的方式水平放置，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，从上面观察组合体得出平面图形，再画出图形即可． 【详解】解：从上面观察组合体是一个正方形，正方形内部有两条纵向虚线． 故选：D． 2. 古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ） A. -25 B. -5 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据指针指向的数字，结合正负数表示的含义即可求得答案． 【详解】指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，则所选的数字为负数，-5离0最近， 最接近标准音的是 故选B 【点睛】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题的关键． 3. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 4. 近年来，我国科学家在多个领域探索人工智能驱动的科学研究，其中“人工智能辅助的基因组选择”能在几周内分析上百万基因型，有效开发全球植物种质库里超700万份种质资源，极大提升了育种流程效率和精度，应用潜力巨大．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时， 是负数． 【详解】解：万= 故选：C 5. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则．由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，．以点为圆心、的长为半径作弧交边于点，连接；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，若，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得平分，是等边三角形，由，得到，可得是等腰三角形，由勾股定理求得． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，求得是等腰三角形是解题的关键． 7. 已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是根据概率公式列出方程求解． 先确定摸出一个黑球和一个白球后剩余球的总数以及红球的数量，再根据概率公式列方程求解． 【详解】解：袋子中原本有5个红球，个黑球，10个白球，那么球的总数是个， 摸出一个黑球和一个白球后（不放回），此时剩余球的总数为个，红球的数量始终是5个， 已知再摸出一个球是红球的概率为， 根据概率公式，可得． 解得：． 故选：B． 8. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“每人出五元，还差九十元；每人出五十元，刚好够”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵每人出五元，还差九十元， ∴； ∵每人出五十元，刚好够， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，正方形的对角线与相交于点O，点E在上，且，连接并延长交的延长线于点F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．设交于点H，由正方形的性质得，从而得到，则，再由，证明，求得，则，从而得到，由，证明，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点H， ∵四边形是正方形，对角线与相交于点O， ∴， ∵点E在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F在的延长线上，， ∴， ∴，即， 故选：C． 10. 如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过作交轴于点，作轴于点，作轴于点，证明，，则，设，则，，又，，故有，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交轴于点，作轴于点，作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法等． 直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：. 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ， 一束平行于主光轴的光线， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 13. 如图，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点且满足，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．作轴于点，轴于点，利用相似三角形的性质得出，设点的坐标为，据此表示出点和点的坐标，进而表示出点的坐标，再利用的面积得出的面积，并据此列出算式即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，连接， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， 则点的坐标为， 关于原点对称， 点的坐标为， 连接， 的面积为， 的面积为， 作轴于点； ，， ， ， 解得：， 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，是等腰直角三角形的一条直角边，且点位于第一象限，若抛物线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，依据题意，过作轴于，先证明 ，再结合，，可得，又设直线为，则，从而求出直线为，又令 ，则，最后由抛物线与直线有两个不同的交点，可得 ，进而可以判断得解，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，如图，过作轴于， ∵点的坐标为，点的坐标为，是等腰直角三角形的一条直角边， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，,， ∴， 又设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∴令，则， 又∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴且， 故答案为：且． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，且，是边上一动点，沿将翻折，点翻折后落在点，连接，．若的面积为28，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点 ，过点作于点，则四边形是矩形，根据矩形性质，三角形面积公式求出，，由翻折性质：，，再根据勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，过点作于点． 则四边形是矩形， 在矩形中，， ∵ ∴，解得：； ∴ ∵ ∴ 由翻折性质：， 设 ∴ 在中， ∴ 在中，应用勾股定理： ∴ 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的折叠性质，三角形面积，勾股定理，矩形的性质等知识，熟记折叠的性质，矩形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据立方根和绝对值的化简，平方根的化简，即可求解， （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 17. 西藏日喀则地震期间，政府急需将一批医疗物资运往灾区，某车队打算用两种货车来运送这批医疗物资．已知种货车比种货车每辆多装40件医疗物资，且种货车装运1200件医疗物资所用的车辆数与种货车装运1000件医疗物资所用的车辆数相等． （1）求两种货车每辆可装多少件医疗物资； （2）现有、两种货车共10辆，要运送2200件医疗物资，求至少需要种货车多少辆． 【答案】（1）种货车每辆可装240件医疗物资，种货车每辆可装200件医疗物资 （2）5辆 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式解决实际问题． （1）设种货车每辆可装件医疗物资，则种货车每辆可装件医疗物资，根据题意列出分式方程求解即可． （2）设需要种货车辆，则需要种货车辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设种货车每辆可装件医疗物资，则种货车每辆可装件医疗物资． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：种货车每辆可装240件医疗物资，种货车每辆可装200件医疗物资． 【小问2详解】 解：设需要种货车辆，则需要种货车辆． 由题意，得． 解得． 答：至少需要种货车5辆． 18. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）______，______，______； （3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 【答案】（1）①18；② （2）5；；3 （3）估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【解析】 【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图； （2）根据众数、平均数和中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ， 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图如下， ； 【小问2详解】 解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则， 第2小组的平均分为（分）， 则， 第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分）， 则， 故答案为：5；；3； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图，中位数、众数和平均数，样本估计总体．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 y（） 2700 2600 2500 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （2）当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，和，代入得： ， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为19600元． ∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元． 20. “1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） （1）求此时液压杆的长度；（结果保留根号） （2）通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 【答案】（1）米 （2）伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作，分别解和，进行求解即可； （2）过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R，通过解直角三角形可求出和，再相减即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点B作，如， 在中，米，， ∴（米）， 在中，， ∴，即, ∴（米）； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R， 根据题意知，（米） ∵（米） ∴（米） ∵, ∴（米） 由作图知四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 又 ∴ 在中，, ∴米， ∴米， 即伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 21. 如图，以的边为直径作分别交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点，是劣弧的中点． （1）求证：为的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是劣弧的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵为的半径， ∴为的切线． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据是劣弧的中点，得出，根据圆周角定理得出．根据，得出．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半得出，从而得，证出．得出．即可证明为的切线． （2）根据，得出．设，则．证明，根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图．∵， ∴． 设，则． 由（1），得， ∴． ∴， ∴， 解得：． ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理，难度适中，熟练掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解答的关键． 22. 截长补短是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． 例如：如图1，，都是等边三角形，与交于点，连接，探究、、之间的数量关系． 思路梳理： 截长法：易证≌，∴．易得．在线段上截取，则可求得之间的数量关系为． 补短法：易证≌，∴．易得．在的延长线上截取，连接，则可求得之间的数量关系为． （1）如图2，是等边三角形，为线段上任意一点，连接，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且．请猜想线段之间存在的数量关系，并说明理由． （2）如图3，在中，，若是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图4，是等腰直角三角形，，为边的中点，连接，过点作于点，交于点，连接． ①请猜想线段之间的数量关系，并说明理由； ②若，则的长为___________． 【答案】（1） 解： ， 理由：延长到G，使，连结， ∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ，，， ∵， ， ， ，， ，解得：， ， 又， ， ， 又， ， ； （2） ，理由如下： 如图2，在的延长线上截取，连接． 在四边形中， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴≌． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴ ∴， ∴． （3）①．理由如下： 如图3，过点作交的延长线于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴≌． ∴． ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴≌． ∴． ∴． ② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． （1）先利用证明，再利用证明，从而可得，进而可说明； （2）先证明≌，根据全等三角形的性质可得，再说明是等腰直角三角形，从而可得，再利用线段和说明； （3）①先证明≌，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，再利用线段和说明； ②先利用勾股定理求得，再证明，列出比例式，从而可求得，再结合由①得，可求得， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②∵，为边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 由①得， ∴， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． （1）点的“纵横值”为___________． （2）已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”． （3）若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上． ①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值． 【答案】（1）6 （2）“最优纵横值”为10；“最劣纵横值”为 （3）①．②或 【解析】 【分析】该题是自定义类函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的概念解答即可； （2）将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，结合函数图象的性质求出它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； （3）根据二次函数图象的顶点在“纵横值”为5的函数图象上，得到顶点坐标为．由此得到函数解析式． ①根据“最优纵横值”定义求出a的值即可； ②分别计算出当时，当时y的值，得出抛物线的开口向下，进而得到函数的增减性，再分情况解答． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为， 故答案为：6． 【小问2详解】 解：二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为． ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时取最大值，“最优纵横值”为10． 当时，；当时，． ∵， ∴当时取最小值，“最劣纵横值”为． 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为． ∵顶点在“纵横值”为5的函数图象上， ∴顶点在的图象上． ∴顶点坐标为． ∴． ①∵的“最优纵横值”为． ∴，解得． ∴二次函数的表达式为． ②∵， ∴函数的顶点坐标为． 当时，； 当时，． ∵， ∴抛物线的开口向下． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 分以下几种情况： 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时， 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $