1.2一定是直角三角形吗 练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.2一定是直角三角形吗 练习 一、单选题 1．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 3．将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 8．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 9．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B． C． D．6，8，10 10．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 二、填空题 11．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 12．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 13．用6个小正方形构造如图所示网格图（每个小正方形的边长为1），设经过M，P，H三点的圆弧与交于点R，则劣弧的长为 ． 14．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 15．A、B、C三地两两之间的距离如图所示，B地在A地的正西方向，则C地在B地的 方向． 三、解答题 16．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 17．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 18．如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 19．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 20．如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 《1.2一定是直角三角形吗 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B C A B D B 1．A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，解答即可． 【详解】解：A、，是勾股数，故符合题意； B、∵，，不是整数，不是勾股数，故不符合题意； C、，不是勾股数，故不符合题意； D、，不是勾股数，故不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 将化为，根据勾股定理逆定理即可判定． 【详解】由可得，， 是直角三角形，且是直角． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足，根据勾股定理逆定理可判定将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形． 【详解】设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足， 将该直角三角形的三边扩大2倍，三边长变为，，， ，， ， 将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键． 根据勾股定理逆定理分别计算并判断． 【详解】解：A、∵， ∴能组成直角三角形，符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 6．C 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可． 【详解】解：连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是判断每组数中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 对每个选项，确定最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则不能构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长a、b、为最长边）满足则该三角形为直角三角形． A.边长为，最长边为8． 计算 ∵， ∴不能构成直角三角形． B.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． C.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． D.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，无法构成三角形，故本选项不符合题意； D、∵6，8，10是正整数，且满足，∴6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 10．B 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 11．25 【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 解得， 不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 12．直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 13．/ 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．连接，，先判断是等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理得到为该圆弧的直径，进而得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由网格特点得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，又经过M，P，H三点的圆弧与AH交于点R， ∴为该圆弧的直径，取的中点为O，则， ∴，则， ∴劣弧HR的长为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 15．正北 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，方位角，根据勾股定理的逆定理可证明，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∵B地在A地的正西方向， ∴C地在B地的正北方向， 故答案为：正北． 16．(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 17．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可； （2）根据等积法求出线段的长即可． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：在中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知是直角三角形，且， 因为， 所以． 18．(1)5 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【详解】（1）， ， ． （2）是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 19．(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$