精品解析：四川省遂宁市蓬溪县蓬南中学2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

2025年蓬南中学九年级下期5月月考数学试题卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂相除，单项式乘以多项式，合并同类项等知识点化简，然后判断即可． 【详解】解：A. ，故选项错误； B. ，故选项错误； C. ，故选项错误； D. ，故选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂相除，单项式乘以多项式，合并同类项等知识点，熟悉相关知识点是解题的关键． 3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解答：解：160万=1600000=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从正面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形；据此可画出图形． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图是 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 5. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可． 【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 7. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接OB，OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3， 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 8. 某中学随机抽取了该校53名学生，他们的年龄如表所示：这53名学生年龄的众数和中位数分别是（　　） 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 人数 12 14 18 9 A. 13岁、14岁 B. 14岁，14岁 C. 14岁，13岁 D. 14岁，15岁 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：这53名学生年龄中14岁的学生人数最多，故众数是14岁； 把这53名学生年龄从小到大排列，排在最中间的数是14岁，故中位数为14岁． 故选：B． 【点睛】本题考查了众数，中位数的概念．掌握这些基本概念是解题关键． 9. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据旋转的性质，， ∴， 则 ， ∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴， 设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)， ∴OP2=， OQ2=， ， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 10. 已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论： 若，则； 若时，则； 若点，，在抛物线上，，且，则； 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据和过点，可得，根据，列不等式组可解答； 根据对称轴是直线，计算，最后将点的坐标代入抛物线的解析式可解答； 计算对称轴，确定，可知：点到对称轴的距离点到对称轴的距离，开口向下时可得的大小； 列方程计算可解答； 根据已知确定解析式，列方程计算可解答． 【详解】解：若，则， 抛物线过， ， ， ， 当时，；当时，； 联立此两个不等式，将代入以上不等式， 可解得；故错误； 当时，对称轴是直线， ， 当时，， ，即， ，故错误； 由题意，抛物线的对称轴是直线， ， ，即， 点，在抛物线上，，且， 点到对称轴的距离点到对称轴的距离， ，故正确； 设抛物线的解析式为， 方程， 整理得，， ， ，， ， 关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确， 如果，则， 如果，根据，则； 又抛物线过，， ， ， 当时，，当时，， 根据图象知，直线与该二次函数有一个公共点， 则， ， 故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则ab=________． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴a−2=0，a+b=0， 解得a=2，b=-2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键． 12. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解： ①-②，得 ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 14. 如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别过作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设，，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示的纵坐标，逐步代入抛物线中，求的值，得出规律进行求解即可． 【详解】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，，由勾股定理则， 同理，， ∴，，， 把，代入中，得，解得，即， 把，代入中，得，解得，即， 把，代入中，得，解得，即， …， 依此类推由此可得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律． 15. 如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A1H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， 由旋转知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B， ∴∠ABA1=∠CBA2， ∴△ABA1≌△CBA2， 故①正确； 过D作DM⊥CA1于M，如图所示， 由折叠知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE， ∴DM平分∠CDA1， ∴∠ADE+∠CDM=45°， 又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°， ∴∠BCA1=∠CDM， ∴∠ADE+∠BCA1=45°， 故②正确； 连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA， 即PA1+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为， 故③正确； 过点A1作A1H⊥AB于H，如图所示， ∵∠ADE=30°， ∴AE=tan30°·AD=，DE=， ∴BE=AB-AE=1-， 由折叠知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=， ∴∠A1EH=60°， ∴A1H=A1E·sin60°=， ∴△A1BE的面积=， 故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直角三角形等知识点，综合性较强． 三、计算或解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值，二次根式，绝对值等的运算方法计算即可． 【详解】原式= = =； 【点睛】此题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，二次根式，绝对值等的运算方法． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入x的值进行计算即可． 【详解】 = = = =． 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 19. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是_________，请补全条形统计图； （2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数． 【答案】（1）100， 补全条形统计图如下： （2）P(恰好回访到一男一女)；（3）700人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知C等级的人数与所占比例，即可求出样本容量，根据B所占百分比求出B等级的人数，再求出D等级的人数即可； （2）画出表格，利用概率公式即可求解； （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】解：（1）（人）， B等级的人数为（人）， D等级的人数为：（人）； （2）列表如下： 男 男 男 女 女 男 男男 男男 女男 女男 男 男男 男男 女男 女男 男 男男 男男 女男 女男 女 男女 男女 男女 女女 女 男女 男女 男女 女女 P(恰好回访到一男一女)； （3）（人）． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． （1）求，的值； （2）请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积． 【答案】（1），； （2）一次函数的取值范围为，反比例函数的取值范围为； （3）8 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式即可求出； （2）分别求出解析式，再利用随的增大而变化的情况得到的范围； （3）利用翻折得到，再使用割补法求出三角形的面积． 【小问1详解】 将代入，得， 该反比例函数解析式为， 将代入，得； 【小问2详解】 将，代入得： ，解得， ， 当时，一次函数中，随的增大而减小， 时，最大；时，最小， 故的取值范围为， 当时，反比例函数中，随的增大而增大， 时，最小；时，最大， 故反比例函数的取值范围为； 【小问3详解】 一次函数与轴交于点C，得，故， 点沿轴翻折至点，作于，作于，如下图： 由图形可知：， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，计算点的坐标，范围，任意3点构成三角形的面积，根据条件逐步计算是解题的关键． 21. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【答案】（1）A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）本次购买至少准备229元，最多准备290元 【解析】 【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解； （2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解． 【详解】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得， 答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元； （2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元， 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（1≤x≤11，x为整数）， ∵-1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝11时，w的最小值为229， 故本次购买至少准备216元，最多准备229元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键. 22. 如图，修筑铁路时需打通小山修一条隧道.测绘时用一架无人机沿直线飞行，飞行高度为1200米，在处测得隧道一端处的俯角为37°，飞行2800米后到达处测得隧道另一端处的俯角为76°，已知，，，四点在同一平面内，且，求隧道的长．（参考数据：，，，） 【答案】隧道的长约为1500米 【解析】 【分析】作，，垂足分别为，，则，在中 得到，；在中得到，从而有． 【详解】解：作，，垂足分别为，，如图所示： ， 在中，，则， （米）， 在中，，则， （米）， 答：隧道的长约为1500米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用题，读懂题意，根据条件选择恰当的三角函数求出相应线段长是解决问题的关键． 23. 如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）证明：∵中，， ∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°， ∵， ∴∠B=∠BCF， ∴∠A=∠ACF； （2）BF=5， 【解析】 【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF； （2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF ∴AF=CF，BF=CF， ∴AF=BF= AB， ∵，AC=8， ∴AB=10， ∴BF=5， ∵， ∴， 连接CD，∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴， ∴， ∴， ∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE， ∴∠FDE=∠B， ∴DE∥BC， ∴△FDE∽△FBC， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求△ABC的面积； （2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM=∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标； （3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为，新抛物线与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5，（2）当P点坐标为（，）时，PG最大，最大值为；Q点坐标为（，）或（，）或（，）； 【解析】 【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，应用三角形面积公式可求； （2）过P点作x轴平行线，交CM于点H，过点G作GD⊥PH，垂足为D，设PG与AC、x轴交点分别为N、F，设P（m，），则H（，），表示出PD长，求最值即可； （3）求出E点坐标为（-1，3），设F（，n），表示出AE、AF、EF的平方，再分类讨论，根据腰相等列方程即可． 【详解】解：把y=0代入得， ， 解得，，A、B两点坐标分别为（-4，0），（1，0）， 把x=0代入得，y=2， C点坐标为（0，2）， S△ABC=； （2）过P点作x轴平行线，交CM于点H，过点G作GD⊥PH，垂足为D，设PG与AC、x轴交点分别为N、F， 由（1）得，， ∵∠AOC=∠COB=90°， ∴△AOC∽△COB， ∴∠OAC=∠BCO=∠OCM， 易得OM=OB=1， 根据M（-1，0）C（0，2）， 可得CM解析式为：y=2x+2； ∵DGOC， ∴∠DGH=∠OCM， ∵∠ANF=∠FEG=90°，∠NFA=∠EFG， ∴∠NAF=∠FGE， ∵∠OCM=∠OAC ∴∠DGH =∠FGE， ∵∠GDP=∠GDH=90°，GD=GD， ∴△GDP≌△GDH， ∴PD=DH， 设P（m，），则H（，）， DP=， tan∠OCB= tan∠PGD=，可得，PG=DP， 当DP最大时，PG就最大，所以，当m=，DP最大，最大值为， 故当P点坐标为（，）时，PG最大，最大值为； （3）抛物线化为顶点式为：，该抛物线沿射线AC方向平移个单位，实际上就是向右平移2个单位，向上平移1个单位，平移后的解析式为，对称轴为， 两个抛物线交于E点，所以， 解得，x=-1，代入得y=3，E点坐标为（-1，3），设F（，n）， ，，， 当AE=AF时，18=，无实数根； 当AE=EF时，18=， 解得，， 则（，），对应的 （，）； （，），对应的（，）； 当AF=EF时，=， 解得，n=， （，），对应的（，） 综上所述，Q点坐标为（，）或（，）或（，）； 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解题关键是树立数形结合思想，分类讨论思想，熟练运用二次函数的性质求最值，通过设点的坐标，建立起图形与数据的联系． 25. 如图．已知为等腰直角三角形，，D、E分别为上的两点，，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接与交于点M． （1）如图1，当时，若，求的长； （2）如图2，连接，N为的中点，连接，求证：； （3）如图3，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接、，过点作，垂足为，如图2所示： 由旋转可得，且， ， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 又， ，即， 和所对的边均为， 由圆周角定理及圆的性质可知，的外接圆与的外接圆是同一个，则、、、四个点在同一个圆上，即四边形为圆内接四边形， ， ， ， 又， （等腰三角形三线合一性）， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据，构造直角三角形和，设，根据以及构造出的直角三角形，可以用含的式子表示出，再根据求出的值，从而求出； （2）结合以及问题要证的，可以知道就是要证，而点是中点，所以要证点是中点，即证明是的中位线，利用三角形全等、圆的性质、等腰三角形的性质解决即可； （3）以为边向外作等边三角形，连接，证明，说明点的运动轨迹是一条经过点且与夹角大小为的直线，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，此时的周长最小，求出，可得结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，如图1所示： 设，则， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以为边向外作等边三角形，连接，如图3所示： 由旋转可得，且， 为等边三角形， 为等边三角形， ，且， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）可知， ， ， 是一条定线段，，则、运动时，随之运动，也随之运动，由于始终在与线段成角的直线上运动，或者说点的运动轨迹是一条经过点且与夹角大小为的直线，即图中的直线， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，此时的周长最小， 设交于点，延长、交于点，过点作，垂足为，过点作，垂直为，如图4所示： 是等边三角形， ，且， ， ， ，且， ，， ， ，且， 设，则， ， ， ， 在中，，即， ，解得， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，且， ， 作于点，如图5所示： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角直角三角形边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年蓬南中学九年级下期5月月考数学试题卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 6. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 某中学随机抽取了该校53名学生，他们的年龄如表所示：这53名学生年龄的众数和中位数分别是（　　） 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 人数 12 14 18 9 A. 13岁、14岁 B. 14岁，14岁 C. 14岁，13岁 D. 14岁，15岁 9. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（） A. B. C. D. 10. 已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论： 若，则； 若时，则； 若点，，在抛物线上，，且，则； 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则ab=________． 12. 因式分解：_______． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 14. 如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是______． 15. 如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号） 三、计算或解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 计算： 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是_________，请补全条形统计图； （2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． （1）求，的值； （2）请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积． 21. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 22. 如图，修筑铁路时需打通小山修一条隧道.测绘时用一架无人机沿直线飞行，飞行高度为1200米，在处测得隧道一端处的俯角为37°，飞行2800米后到达处测得隧道另一端处的俯角为76°，已知，，，四点在同一平面内，且，求隧道的长．（参考数据：，，，） 23. 如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求△ABC的面积； （2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM=∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标； （3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为，新抛物线与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图．已知为等腰直角三角形，，D、E分别为上的两点，，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接与交于点M． （1）如图1，当时，若，求的长； （2）如图2，连接，N为的中点，连接，求证：； （3）如图3，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $