向量问题的常见解题策略讲义-2026届高三数学一轮复习

向量问题的常见解题策略 课前学习任务 一、必备知识 基底法：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系． 建立坐标系： (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系并写出相应点的坐标； (2) 将平面向量的运算坐标化； (3) 运用适当的数学方法(如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等)求解． 构造图形 (1) 先确定向量所表达的点的轨迹； (2) 根据直线与曲线位置关系列式，再解得结果． 课堂核心考点 考点一 基底法 例1　(1) (2024·上饶一模)在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝2，〈，〉＝，点M，N分别是CD，BC的中点，则·＝_3_． 【解析】 如图，＝＋＝＋，＝＋＝－，则·＝·＝2－2＋·.又2＝16，2＝4，·＝4×2×＝4，则·＝×16－×4＋×4＝3. (例1(1)答) (2) 如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且＝m＋，则实数m＝__． (例1(2)) 【解析】 由题意，＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋.由E，F，G三点共线，可设＝λ＋(1－λ)，则＝λ＋(1－λ)＝＋.又＝m＋，根据向量相等的原则得解得λ＝，m＝. 变式1　(1) (2024·淮安、连云港期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，A＝，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则·＝(　D　) A. 2 B. －2　 C. 6 D. －6 【解析】 如图，因为AD为边BC上的中线，所以＝(＋).又BE为边AC上的高，所以·＝0，且在Rt△ABE中，||＝||cos ∠BAE＝4×cos ＝2，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·(－)＝·－2＝||||cos －||2＝×4×2×－×16＝－6. (变式1(1)答) (2) 已知点G为△ABC的重心，A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　C　) A. B. 　 C. D. 【解析】 如图所示，设BC的中点为M，由三角形重心性质可得＝，又M为BC中点，所以＝(＋)，所以＝＝(＋)，则||＝.又·＝－2，A＝120°，由向量的数量积定义可得·＝||||cos 120°＝－2，所以||||＝4.所以||＝≥＝，当且仅当||＝||＝2时等号成立，即||的最小值为. (变式1(2)答) 考点二 建立坐标系 例2　(1) (2024·山西省二模)(多选)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形组成)，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部(包括边界)的动点，则(　AD　) 　　 (例2(1)) A. ＝－ B. ·＝ C. 若P为EF的中点，则在上的投影向量为－ D. |＋|的最大值为 【解析】 设正六边形ABCDEF的中心为O，对于A，因为＝－＝－，故A正确；对于C，由题意可知CE⊥EF，若P为EF的中点，所以在上的投影向量为－，故C错误；对于BD，如图，建立平面直角坐标系，则A，B，C(1，0)，D，E，F(－1，0)，可得＝，＝(0，)，所以·＝，故B错误；设P(x，y)，可知－1≤x≤，0≤y≤，则＝，＝(x＋1，y)，＋＝，则|＋|＝，可知当x＝，y＝，即点P与点D重合时，|＋|取得最大值，故D正确． (例2(1)答) (2) (2025·烟台期中)已知平行四边形ABCD中，B＝45°，AB＝2，AD＝，P是BC边上的动点，则·的取值范围为_[－6，－2]_． 【解析】 以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，C(，0)，A(，)，D(2，).因为点P在边BC上，所以设点P的坐标为(a，0)(0≤a≤)，·＝(a－，－)·(2－a，)＝－a2＋3a－6＝－－，则当0≤a≤时，－－∈[－6，－2]，即·的取值范围为[－6，－2]. (例2(2)答) 变式2　(1) (2024·景德镇三检)(多选)若等边三角形ABC的边长为2，＝2，＝，BD与CE交于点F，则(　BD　) A. ＝＋ B. ＝ C. ·＝－1 D. 在上的投影向量为 【解析】 对于A，由平面向量线性运算得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A错误．对于B，以E为坐标原点，，分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D.设F(0，y)，y∈(0，)，所以＝(1，y)，＝.因为∥，所以y－＝－y，解得y＝，所以＝，故B正确．对于C，由B可知，＝，＝(0，－)，所以·＝×0＋×(－)＝－2，故C错误；对于D，＝，＝(1，)，所以·＝×1＋×＝，所以在上的投影向量为＝×＝，故D正确． (变式2(1)答) (2) 已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||＝1，点D是线段BC上一动点，则·的最小值是(　C　) A. － B. －　 C. － D. － 【解析】 因为2＝＋，可知O为BC的中点，因为O为△ABC的外接圆圆心，则AB⊥AC，且||＝||＝1，即||＝||＝||＝1，可知△OAC为等边三角形，即∠ACB＝.如图，建立平面直角坐标系，则B(－1，0)，A，设D(a，0)，a∈[－1，1]，可得＝，＝(－1－a，0)，则·＝(－1－a)＝a2＋a－，可知当a＝－时，·取到最小值－. (变式2(2)答) 考点三 构造图形 例3　(2024·潍坊二模)(多选)已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则(　BCD　) A. 1≤|c|≤ B. (c－a)·(c－b)的最大值为 C. －1≤b·c≤1 D. 若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－ 【解析】 对于A，设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根据|c－a|＝有＝，即(x－1)2＋y2＝，是圆心为(1，0)，半径为的圆，如图．又|c|＝的几何意义为原点到圆(x－1)2＋y2＝上点(x，y)的距离，则≤|c|≤，故A错误；对于B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y＝＋(y－1)2－，当圆(x－1)2＋y2＝上的点(x，y)到点的距离最大时，(c－a)·(c－b)取最大值，为－＝－＝，故B正确；对于C，b·c＝2y，因为－≤y≤，故－1≤b·c≤1，故C正确；对于D，因为(x－1)2＋y2＝，故可设x＝＋1，y＝，因为c＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝，λ＋μ＝＋1＋＝＋1＝sin (θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)，故当sin (θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取得最小值1－，故D正确． (例3答) 变式3　(1) 已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a＋b|＝2，则|c|的最大值为_2＋_． 【解析】 由a，b是单位向量，且a·b＝0，则可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，所以c－a＋b＝(x－1，y＋1).因为向量c满足|c－a＋b|＝2，所以＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝4，它表示圆心为C(1，－1)，半径为r＝2的圆．又|c|＝表示圆上的点(x，y)到坐标原点O(0，0)的距离，|OC|＝＝，所以|c|max＝|OC|＋r＝2＋. (2) 设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝，则|c|的最大值为(　A　) A. 2 B. 　 C. D. 1 【解析】 由题意可得|a|＝|b|＝1，a·b＝－，所以1×1×cos 〈a，b〉＝－，所以cos 〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c，又〈a－c，b－c〉＝，所以∠ACB＋∠AOB＝π，所以A，O，B，C四点共圆．如图，当|c|最大时，有|c|＝||＝2R，R为该圆的半径．由2＝(b－a)2＝a2＋b2－2a·b＝3，得||＝.在△AOB中，由正弦定理可得2R＝＝＝2，故|c|的最大值为2R＝2. (变式3(2)答) 课后提升练 1. (2024·滨州二模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则c·(b－a)＝(　A　) (第1题) A. 4　 B. 1　 C. －1　 D. －4 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，可知a＝(－1，－2)，b＝(－2，1)，c＝(2，2)，则b－a＝(－1，3)，所以c·(b－a)＝－2＋6＝4. (第1题答) 2. (2024·湖北七市州3月调研)已知正方形ABCD的边长为2，若＝，则·＝(　B　) A. 2　 B. －2　 C. 4　 D. －4 【解析】 以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，由＝可得P为BC的中点，所以P(2，1)，易知A(0，0)，D(0，2)，B(2，0)，可得＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2. (第2题答) 3. 若·＝2＝4，且||＝1，则·的最大值为(　A　) A. －2　 B. －4　 C. 2　 D. 4 【解析】 因为·＝2＝4，所以||2＝4，||＝2.设向量与夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1，1]，所以·＝(－)·＝·－·＝||||cos θ－·＝2cos θ－4.因为cos θ∈[－1，1]，所以当cos θ＝1时，·的最大值为2－4＝－2. 4. (2024·烟台、德州二模)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，＝3，＝，AE，CF交于点D，则||＝(　C　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 【解析】 由题可建立如图所示的平面直角坐标系，则可得A(0，0)，B(3，0)，C(1，).又＝3，＝，故F(1，0)，E，故直线AE的方程为y＝x，则可得D，所以||＝＝. (第4题答) 5. 在△ABC中，AB＝4，AC＝4，BC＝8，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍．若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止运动，则该过程中·的最大值是(　C　) A. 　 B. 44　 C. 　 D. 23 【解析】 方法一：因为AB＝4，AC＝4，BC＝8，所以AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°.如图，以点A为坐标原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设||＝t，则||＝2t，且0≤2t≤8，即0≤t≤4，则A(0，0)，Q(t，4－t)，P，＝(t，4－t)，＝，所以·＝t＋t(4－t)＝－2t2＋14t＝－2＋(0≤t≤4)，当t＝时，·取得最大值，且最大值为. (第5题答) 方法二：因为AB＝4，AC＝4，BC＝8，所以AB2＋AC2＝BC2，△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，∠C＝30°，∠B＝60°.设CP＝t，则BQ＝2t，且0≤2t≤8，即0≤t≤4，与的夹角为30°，与的夹角为60°，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝4×2t×cos 30°＋4×t×cos 60°－2t2＝－2t2＋14t＝－2＋(0≤t≤4)，当t＝时，·取得最大值，且最大值为. 6. (2024·邵阳二联)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°.若点P在线段AB与线段BL上运动，则·的取值范围为(　C　) (第6题) A. [－4，6]　 B. [0，6] C. [0，8]　 D. [4，8] 【解析】 如图，以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，易知A(－2，1)，B(0，1)，F(0，－1)，E(－1，－2)，H(1，0)，L(1，2)，当点P在线段AB上运动时，设P(x，1)，其中－2≤x≤0，所以＝(2，2)，＝(x，2)，则·＝2x＋4.因为－2≤x≤0，所以·∈[0，4].当点P在线段BL上运动时，设P(x，y)(0≤x≤1)，则＝(x，y－1)，＝(1，1)，且∥，则x＝y－1，故P(x，x＋1)(0≤x≤1)，＝(x，x＋2)，则·＝4x＋4，因为0≤x≤1，所以·∈[4，8].综上，·的取值范围为[0，8]. (第6题答) 7. (2024·永州三模)在△ABC中，∠ACB＝120°，||＝3，||＝4，·＝0，则|＋|的最小值为(　A　) A. 6－2　 B. 2－4 C. 3－1　 D. －2 【解析】 由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过点C且垂直于CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B(4，0).由·＝0，可得点D在以BC为直径的圆上，所以点D的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4.取BD的中点M，设M(x，y)，D(x0，y0)，可得所以所以(2x－6)2＋(2y)2＝4，所以点M的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，圆心为H(3，0)，半径为1.由＋＝2，所以|＋|＝2||，所以|＋|min＝2||min，所以||min＝||－1＝－1＝3－1，所以|＋|min＝6－2. (第7题答) 8. 设平面向量a，b满足|a|＝4，a与a－b的夹角为135°，记m＝ta＋(1－t)b(t∈R)，当|m|取最小值时，a·m＝_8_． 【解析】 设＝a，＝b，则a－b＝，如图，因为a与a－b的夹角为135°，所以∠OAB＝135°，∠OAC＝45°.因为m＝ta＋(1－t)b(t∈R)且t＋(1－t)＝1，所以m，a，b起点相同时，终点共线，即在直线AB上，所以当m⊥时，|m|最小．又|a|＝4，所以|m|min＝2，此时a与m的夹角为45°，所以a·m＝4×2cos 45°＝8. (第8题答) 9. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则＝__． (第9题) 【解析】 由A，O，D三点共线，可设＝λ＝(＋).由E，O，C三点共线，设＝μ＋(1－μ)＝＋(1－μ).根据向量相等原则得解得所以＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝6·(＋)·＝－2＋·＋2＝·，所以2＝2，则＝. 10. 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝4，〈a，b〉＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为_2＋2_． 【解析】 因为|a|＝4，|b|＝4，〈a，b〉＝，所以a·b＝|a||b|cos ＝4×4×＝16，所以|a＋b|＝＝＝4.如图，作＝a，＝b，＝c，因为(a－c)·(b－c)＝·＝0，所以⊥，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E，则||＝|a＋b|＝2.因为||＝＝＝4，所以圆E的半径为2，所以2－2≤||≤2＋2，所以|c|的最大值为2＋2. (第10题答) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 向量问题的常见解题策略 课前学习任务 一、必备知识 基底法：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系． 建立坐标系： (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系并写出相应点的坐标； (2) 将平面向量的运算坐标化； (3) 运用适当的数学方法(如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等)求解． 构造图形 (1) 先确定向量所表达的点的轨迹； (2) 根据直线与曲线位置关系列式，再解得结果． 课堂核心考点 考点一 基底法 例1　(1) (2024·上饶一模)在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝2，〈，〉＝，点M，N分别是CD，BC的中点，则·＝_____________． (2) 如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且＝m＋，则实数m＝_____________． (例1(2)) 变式1　(1) (2024·淮安、连云港期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，A＝，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则·＝(　　) A. 2 B. －2　 C. 6 D. －6 (2) 已知点G为△ABC的重心，A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　) A. B. 　 C. D. 考点二 建立坐标系 例2　(1) (2024·山西省二模)(多选)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形组成)，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部(包括边界)的动点，则(　AD　) 　　 (例2(1)) A. ＝－ B. ·＝ C. 若P为EF的中点，则在上的投影向量为－ D. |＋|的最大值为 (2) (2025·烟台期中)已知平行四边形ABCD中，B＝45°，AB＝2，AD＝，P是BC边上的动点，则·的取值范围为______________． 变式2　(1) (2024·景德镇三检)(多选)若等边三角形ABC的边长为2，＝2，＝，BD与CE交于点F，则(　　) A. ＝＋ B. ＝ C. ·＝－1 D. 在上的投影向量为 (2) 已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||＝1，点D是线段BC上一动点，则·的最小值是(　　) A. － B. －　 C. － D. － 考点三 构造图形 例3　(2024·潍坊二模)(多选)已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则(　　) A. 1≤|c|≤ B. (c－a)·(c－b)的最大值为 C. －1≤b·c≤1 D. 若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－ 变式3　(1) 已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a＋b|＝2，则|c|的最大值为_______________． (2) 设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝，则|c|的最大值为(　　) A. 2 B. 　 C. D. 1 课后提升练 1. (2024·滨州二模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则c·(b－a)＝(　　) (第1题) A. 4　 B. 1　 C. －1　 D. －4 2. (2024·湖北七市州3月调研)已知正方形ABCD的边长为2，若＝，则·＝(　　) A. 2　 B. －2　 C. 4　 D. －4 3. 若·＝2＝4，且||＝1，则·的最大值为(　　) A. －2　 B. －4　 C. 2　 D. 4 4. (2024·烟台、德州二模)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，＝3，＝，AE，CF交于点D，则||＝(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 5. 在△ABC中，AB＝4，AC＝4，BC＝8，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍．若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止运动，则该过程中·的最大值是(　　) A. 　 B. 44　 C. 　 D. 23 6. (2024·邵阳二联)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°.若点P在线段AB与线段BL上运动，则·的取值范围为(　　) (第6题) A. [－4，6]　 B. [0，6] C. [0，8]　 D. [4，8] 7. (2024·永州三模)在△ABC中，∠ACB＝120°，||＝3，||＝4，·＝0，则|＋|的最小值为(　　) A. 6－2　 B. 2－4 C. 3－1　 D. －2 8. 设平面向量a，b满足|a|＝4，a与a－b的夹角为135°，记m＝ta＋(1－t)b(t∈R)，当|m|取最小值时，a·m＝______________． 9. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则＝_______________． (第9题) 10. 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝4，〈a，b〉＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为______________． 学科网（北京）股份有限公司 $$