1.1探索勾股定理 练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.1探索勾股定理 练习 一、单选题 1．一个直角三角形的周长为48，一条直角边与斜边长度的比值是，则另一条直角边的长度为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 2．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 4．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 5．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 7．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 8．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 9．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 10．如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 二、填空题 11．在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则 ． 12．已知直角三角形的两条直角边长为16和30，则第三边的长度是 ． 13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 14．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 15．如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 三、解答题 16．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 17．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 18．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 19．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，求正方形b的面积． 《1.1探索勾股定理 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B B C B D C A 1．C 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的周长，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设该直角三角形的斜边为，则其中一条直角边为，利用勾股定理求出另一条直角边长，再利用直角三角形的周长为48，列方程求解． 【详解】设该直角三角形的斜边为，则其中一条直角边为， 由勾股定理可求得另一条直角边长为， 由直角三角形的周长为48，可得，解得，， 另一条直角边的长度为16． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律： ， ， ， ， ∴． 当时，， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 10．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴树顶端落在离树底部处， 故选：A． 11．6 【分析】本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 12．34 【分析】本题考查勾股定理，掌握该知识点是解题的关键． 根据勾股定理，即可求出第三边的长度． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为16和30， ∴第三边是斜边， 由勾股定理，得 第三边的长度是． 故答案为：34． 13．9π． 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×， ∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3， ∵S3＝9π， ∴S1+S2＝9π， 故答案为：9π． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 14．乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 15．5 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理，得． 故答案为：5． 16．(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 17．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 18．14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 19．鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 20．16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明可得，，进而由勾股定理得到，即得即可． 【详解】解：∵都是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 即：． 答：正方形b的面积为16． 学科网（北京）股份有限公司 $$