第23章图形的相似练习2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第23章 图形的相似 练习 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．，为边，上的两点，，，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 3．在中，，分别为边，上的点，，若，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，当时，的长度为（   ） A．4 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，则周长的最小值是(　　) A．5 B．8 C．9 D． 7．如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，对角线，相交于点，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．6 9．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 二、填空题 11．已知，则 ． 12．点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为 ． 13．如图，在中，分别是，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积为 ． 14．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 15．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法．如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物，已知大多数人的眼距长约为，而手臂长约为．若的估测长度为，那么的大致距离为 ． 三、解答题 16．（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 17．如图，在平面直角坐标系中，中A点的坐标为，B点的坐标为． (1)将绕点O顺时针旋转得到，请你画出旋转后的图形； (2)请用无刻度直尺作的角平分线，交x轴于点E，并求出的长． 18．如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 19．如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点． (1)当直线经过点C时，点O到直线的距离是 ； (2)设点P为线段的中点，连接，，若，求m的值． (3)如图2，D为A点右侧x轴上一点，E为x轴负半轴上一点，连接，，于点F，线段与相交于点G，恰有．若，，求G点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第23章 图形的相似 练习2025-2026学年华东师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D C C B B C B 1．A 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质． 先由推出，再代入即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，正确理解相似三角形的性质是关键．根据，即可证得，然后利用相似三角形的面积的比等于相似比，即可证得两个三角形的面积的比，根据比例的性质即可求解． 【详解】解：， ． ， ． ．， ，． ． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行得到，由得到，再代入求值即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．由勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质求出，根据直角三角形性质得出即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ， ，点H是线段的中点， 在中，， ， 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形中位线定理及轴对称-最短路线问题，熟知一次函数的图象与性质及根据轴对称寻找最短路径是解题的关键． 由题中条件发现C，D为定点，所以周长的最小值就转化为的最小值，再结合轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：连接， 将代入得，， 所以点B的坐标为． 将代入得，， 解得， 所以点A的坐标为， 则． 因为点C，D分别为线段的中点， 所以是的中位线， 所以，，则． 因为， 所以当取得最小值时，最小． 作点D关于x轴的对称点E，连接，则当点P在与x轴的交点处时，取得最小值． 因为点D的坐标为， 所以点E的坐标为， 则． 在中，， 即的最小值为5，则此时， 所以周长的最小值是9． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等．利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C ． 10．B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即可求的面积， 故选：B． 11． 【分析】此题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解决此题的关键． 将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴，． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．本题不妨令，根据黄金分割的定义先计算出，再计算出，然后利用进行计算． 【详解】解：如图， 是线段的两个黄金分割点，设， 根据题意得， 则， 所以． 故答案为：． 13．12 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 先利用中位线定理求出，再由的面积等于矩形面积进行求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：12． 14．或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 15．500 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ， ， 根据题意得，，，， ． 即的大致距离为． 故答案为：500． 16．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的辅助线问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、中位线的性质是解题的关键．连接，并延长交于点G，易证得，即可求得，继而可得是的中位线，则可推知结论． 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 17．(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】此题考查旋转作图，旋转的性质， （1）根据旋转的性质作图即可； （2）选取格点C，连接即为的角平分线，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质求出的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，取格点C，连接交x轴于点E，即为的角平分线， ∵，， ∴， ∴与都是直角三角形，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 20．(1) (2)m的值为12 (3) 【分析】（1）求出直线解析式为，可得，设点O到直线的距离是h，由面积法知； （2）在y轴负半轴上取点D，使，连接，则，，求出，，可知，再证，可得，解得； （3）过G作轴于K，设，证明，可得，再证，即可得，解得（负值已舍去），从而可求出． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 在中，令得，令得， ∴， ∴， 设点O到直线的距离是h， ∵， ∴， ∴点O到直线的距离是； 故答案为：； （2）解：在y轴负半轴上取点D，使，连接，则，如图， 由可得， ∴ ∴， 当时，B在y轴负半轴，，此时不成立， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴m的值为12； （3）解：过G作轴于K，如图： 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，三角形面积的求法等知识点，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$