精品解析：江苏省扬州市邗江区实验学校蒋王分校2024-2025学年下学期第二次月考数学试卷

邗江区实验学校蒋王分校八年级下学期数学限时作业 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（ ） A. 1月平均气温在以下，降水量多 B. 从4月到10月，气温逐渐升高 C. 7月份以后，降水量逐渐减少 D. 冬冷夏热，7、8月份的降水较多 3. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 4. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（ ） A. B. C. D. 5. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 10. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 射中九环以上次数 18 68 82 166 330 664 832 射中九环以上的频率 0.90 0.85 0.82 0.83 0.825 0.83 0.832 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是_______.（精确到0.01） 11. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________． 12. 计算的结果为______． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 _____． 14. 定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则_______． 15. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是_______． 16. 比较下列实数的大小___________． 17. 若直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 18. 如图，双曲线（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（1，2），B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接AC并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段AD的中点，则n的值为 _____． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1） （2） 20. （1）计算：； （2）解方程：． 21. 某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼、饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生，请补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数； （3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同．王颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 480 600 1800 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为　 　； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出； （3）观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由； （4）请求出的面积． 24. 如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． （1）求证：； （2）若与交于点O，求证：． 25. 无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速． 26. （1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，的取值范围为________； （3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 28. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． （1）如图1，已知，， ①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） ②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； （2）如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为； （3）如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邗江区实验学校蒋王分校八年级下学期数学限时作业 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法相加减，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的乘除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（ ） A. 1月平均气温在以下，降水量多 B. 从4月到10月，气温逐渐升高 C. 7月份以后，降水量逐渐减少 D. 冬冷夏热，7、8月份的降水较多 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，频数分布直方图，根据统计图所给的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可得，1月平均气温在以下，降水量少，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可得，从4月到10月，气温先升高，后降低，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可得，7月份以后，降水量先增加，再逐渐减少，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可得，冬冷夏热，7、8月份的降水较多，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选C． 5. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 6. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角板的较长的直角边长为， ， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】 7. 如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，由四边形是正方形，得，轴，设，则，，，再根据中点坐标可得，最后代入解析式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，轴， 设，则，，， ∵是中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：，， 故选：． 8. 如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明是解题的关键． 由“”可证，可得，可得，由，可得当有最小值时，有最小值，即可求的值． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴两个正方形重叠部分形成图形的面积， ， ∵的周长为， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∵， ， ∴当时，有最小值为3， ∴的最小值为， 因为点不与点重合，所以不存在最大值，所以不存在最大值，所以不存在最大值， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】##x<0.5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．注意当单独的二次根式在分母时，被开方数应大于0． 10. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 射中九环以上次数 18 68 82 166 330 664 832 射中九环以上的频率 0.90 0.85 0.82 0.83 0.825 0.83 0.832 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是_______.（精确到0.01） 【答案】0.83 【解析】 【分析】根据大量的试验结果稳定在0.83左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83． 故答案为：0.83． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 11. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形和勾股定理求出对应线段的长度，再根据象限内点的坐标特点得出点的坐标 【详解】如图，过点D，作于点E ∵、，四边形是菱形 ∴, ∴ ∵在和中 ∴ ∵ ∴, ∴ ∵点D在第二象限 ∴点D的坐标为 【点睛】本题考查坐标系内点的坐标的求法，菱形的性质，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理求出对应线段的长是关键 12. 计算的结果为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】 ． 故答案为：7． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主经考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数上的点的坐标适合解析式，从而确定比例系数，是解决本题的关键． 将点代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：5 14. 定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 15. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程；客车由高速公路从甲地到乙地需小时，则走普通公路需小时，结合两条路的全长可得到各自的速度；接下来，根据“某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快”可得到方程． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 16. 比较下列实数的大小___________． 【答案】 【解析】 【分析】由算术平方根的含义可得，可得，再利用不等式的性质可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是无理数的大小比较，算术平方根的含义，掌握无理数的大小比较的方法是解本题的关键． 17. 若直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知，，代入代数式解题即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，双曲线（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（1，2），B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接AC并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段AD的中点，则n的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出k及m的值得到函数解析式，由点C恰好是线段AD的中点，得到点C的坐标，代入平移后的解析式求出n的值． 【详解】解：将A（1，2）代入得k=2， ∴， 将A（1，2）代入y＝mx得m=2， ∴y=2x， ∵点C恰好是线段AD的中点， ∴点C的纵坐标为1， 将y=1代入，得x=2， ∴C（2，1）， 将直线AB向下平移n个单位，得到y=2x-n， ∵过点C， ∴4-n=1， 解得n=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，线段中点的性质，这是一道基础的综合题，确定点C的坐标是解题的关键． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，负整数指数幂，以及二次根式性质计算即可求出值； （2）原式利用二次根式乘法法则，以及平方差公式计算即可求出值． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了乘方，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简及乘法，平方差公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】此题考查分式的混合运算，解分式方程： （1）先计算括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法； （2）先去分母化为整式方程，求出方程的解再检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得 去括号得， 移项，合并得， 解得， 检验：当时，，故不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 21. 某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼、饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生，请补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数； （3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数． 【答案】（1）80； 补充的频数分布直方图如下：   （2）扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为 （3）400名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图的圆心角，画频数分布直方图，作样本估计总体数量等知识点，从两个统计图中获取信息是关键． （1）根据优秀的频数及其占比可求得抽取的总人数，则可求得良好的频数，进而可补充完整频数分布直方图； （2）由合格的频数及抽取的总人数即可求得其占比，进而求得圆心角的度数； （3）根据“合格”和“待合格”的占比与1600的积，即可估计出“合格”和“待合格”的总人数． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：（名）， 则良好的人数为：（名）； 故答案为：80； 【小问2详解】 解：，； 即扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（名）； 即估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为400名． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同．王颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 480 600 1800 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为　 　； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只 【解析】 【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可； （2）概率接近于（1）得到的频率； （3）白球个数＝球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解． 【详解】（1）∵摸到白球的频率约为0.6， ∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）∵摸到白球的频率为0.6， ∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6； （3）黑白球共有20只， 白球为：50×0.6＝30（只）， 黑球为：50﹣30＝20（只）． 答：盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只． 【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出； （3）观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由； （4）请求出的面积． 【答案】（1） 根据平移的性质，作图如下， （2）根据旋转的性质，作图见图示； （3）是中心对称，对称中心为 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转，中心对称的性质，割补法求面积的方法是解题的关键． （1）根据图形的平移规律作图即可； （2）根据图形旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称图形的定义和性质即可求解； （4）运用割补法求几何图形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点， ∴与是中心对称图形，对称中心的坐标为； 【小问4详解】 解：， ∴的面积为． 24. 如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． （1）求证：； （2）若与交于点O，求证：． 【答案】（1） 证明：， ，即， ，， ， ， ； （2） 证明：连接，交于点O， ≌， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质． （1）由，可得，由，，可得，又由，即可证得≌； （2）由≌可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，则可得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速． 【答案】“信鸽”仿生飞行器的时速为30千米/小时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据“云鸮”仿生飞行器所用的时间减去“信鸽”仿生飞行器所用的时间等于列出方程，再求出解即可． 【详解】解：设“云鸮”仿生飞行器的时速为x千米/小时，则“信鸽”仿生飞行器的时速为千米/小时．根据题意，得 ， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：“信鸽”仿生飞行器的时速为30千米/小时． 26. （1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4 【解析】 【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）①当时，分式方程为：， 去分母得到， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； ②， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，的取值范围为________； （3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． 【小问3详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 28. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． （1）如图1，已知，， ①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） ②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； （2）如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为； （3）如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹） 【答案】（1） ①如图，直线l即为所求： ②过点C不能作出的“紫金线”，理由如下： 设过点C能作直线“紫金线”交于点D，如图： 则点D为中点，满足平分面积， ∵， ∴， ∴与周长不相等，故不能平分该图形周长， ∴不能能作出的“紫金线”； （2） （3） 如图，直线即为所求： 【解析】 【分析】（1）①作出线段的垂直平分线即可，②如果是的“紫金线”，能平分面积但不能平分周长； （2）由题意得是的垂直平分线才符合题意，由直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义即可求解； （3）作出的垂直平分线即可． 【小问1详解】 ①∵直线l是的垂直平分线，则记与直线l与交于点E，点E为的中点， ∴与等底同高，故面积一样， ∵，， ∴l平分周长， 故直线l是的一条“紫金线”； ②略； 【小问2详解】 解：由题意得平分， 当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线， ∵是的垂直平分线 ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，左右两部分梯形面积也一样， ∴即平分周长也平分面积， ∴是矩形的“紫金线”， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：记直线与分别交于点F、E，连接， ∵直线是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴直线平分该图形周长， ， ∴， ∴直线平分该图形面积， ∴直线四边形的“紫金线”． 【点睛】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，中线平分三角形面积，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $