第一章 勾股定理 单元测试题 2025—2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 单元测试题 2025—2026学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组数是勾股数的一组是（　　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．3, 4, 7 2．若中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（   ） A．3 B．9 C．6 D．36 3．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三边之比为 B．三内角之比为3：4：5 C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差 D．三边长分别为40、9、41 4.如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝(　　) A．9 B．5 C．53 D．45 5.北京冬奥会期间，中国运动健儿取得优异成绩．冬奥会的志愿者团队，给人留下了深刻印象，人人都是志愿者．作为志愿者的小颖，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B，C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．化归思想 7.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　） A．1 B． C． D．2 8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 　 　． 10. 如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要　　　　米长.   11.已知三角形的三边长分别是m2+1，2m，m2-1（n为正整数），则最大角等于__________度． 12.一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过小时后，它们相距　　海里． 13.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积等于　　． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14.如图，长方形ABCD为一个花园，其中AB＝15米，BC＝8米，在花园内修一条长13米的笔直小路EF，小路出口一端E选在AD边上距D点3米处，另一端出口F应选在AB边上距B点几米处？ 15.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．） 16.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的） 17．如图，在△ABC中，，，，于．求：   (1)的长和△ABC的面积； (2)的长． 18．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19.如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 　 　． 20．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 　 　． 21．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计） 22.我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺． 23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC∥BD，BC=BD，在AB上截取BE，使BE=BD，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，BC=7，BG=4，则AB=　 　. 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）求修建的公路CD的长； （2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 25.如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证： （1）△ACE≌△BCD；（2）2. 26．某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合） （1）如图（1），将△BCE沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长； （2）如图（2），将△BCE沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长； （3）如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将△BCE沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长． 参考答案 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组数是勾股数的一组是（　A　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．3, 4, 7 2．若中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（  C   ） A．3 B．9 C．6 D．36 3．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　B　） A．三边之比为 B．三内角之比为3：4：5 C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差 D．三边长分别为40、9、41 4.如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝(　A　) A．9 B．5 C．53 D．45 5.北京冬奥会期间，中国运动健儿取得优异成绩．冬奥会的志愿者团队，给人留下了深刻印象，人人都是志愿者．作为志愿者的小颖，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B，C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（　D　） A．3 B．4 C．5 D．6 6.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（  A  ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．化归思想 7.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　C　） A．1 B． C． D．2 8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为(　D　) A．8 B．16 C．32 D．64 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 　 30 　． 10. 如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要　　17　　米长.   11.已知三角形的三边长分别是m2+1，2m，m2-1（n为正整数），则最大角等于_____90_____度． 12.一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过小时后，它们相距　30　海里． 13.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积等于　36　． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14.如图，长方形ABCD为一个花园，其中AB＝15米，BC＝8米，在花园内修一条长13米的笔直小路EF，小路出口一端E选在AD边上距D点3米处，另一端出口F应选在AB边上距B点几米处？ 解： 15.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．） 解： 16.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的） 解： 17．如图，在△ABC中，，，，于．求：   (1)的长和△ABC的面积； (2)的长． 解： 18．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 解： B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19.如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 　 6 　． 20．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 　 20π 　． 21．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　 cm．（杯壁厚度不计） 22.我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长______13______尺． 23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC∥BD，BC=BD，在AB上截取BE，使BE=BD，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，BC=7，BG=4，则AB=　 　. 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）求修建的公路CD的长； （2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 解： 25.如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证： （1）△ACE≌△BCD；（2）2. 解： 26．某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合） （1）如图（1），将△BCE沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长； （2）如图（2），将△BCE沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长； （3）如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将△BCE沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长． 解： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$