重庆育才中学教育集团2025——2026学年九年级上学期第一次自主作业数学试题（模拟一）

答案第 1页，共 23页 重庆育才中学教育集团 2026 届初三（上）第一次自主作业数学试题（模拟一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C B C B B A B 1．A 【分析】本题考查了相反数的定义，直接根据“只有符号不同的两个数是相反数”判断即可． 【详解】解： 6 的相反数为6． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查 的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或 价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根 据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结 果比较近似判断即可． 【详解】解：A 中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽 样调查，故本选项不合题意； B 中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C 中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题 意； D 中，调查全班观看电影《哪吒 2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式 2 4b ac   来判断即 可，当 0  时，方程有两个不相等的实数根，当 0  时，方程有两个相等的实数根，当 0  时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程 22 4 3 0x x   ， ∴ 2a  ， 4b   ， 3c  ， ∴  22Δ 4 4 4 2 3 16 24 8 0b ac            ， ∴一元二次方程 22 4 3 0x x   没有实数根． 故选：D． 答案第 2页，共 23页 4．C 【分析】本题考查了相似比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握面积比与相 似比之间的关系． 由面积比可得相似比，以及对应边的位置关系，根据平行线的性质，可得角相等，从而可证 三角形相似，对应边成比例，进一步计算可得 :OA AD的值． 【详解】解：∵ ABC 与 DEF 是以点O为位似中心的位似图形， ABC 与 DEF 的面积之 比为 4 :9， ∴ ABC 与 DEF 的相似比为 2 :3， AC DF ， ∴ : 2 :3AC DF  ， OAC ODF  ， OCA OFD  ∴ OAC ODF ∽ ， ∴ : : 2 :3OA OD AC DF  ， ∴ : 2 :1OA AD  ， 故选： C． 5．B 【分析】本题考查了无理数的估算．先展开表达式，利用乘法分配律进行计算，再估算结果 的范围． 【详解】解： 2 22 3 2 2 3 2 2 24 1 2 2               ∵ 16 24 25  ， ∴ 4 24 5  ， ∴3 24 1 4   故选：B． 6．C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有 4 个黑色圆点，第②个图案 中有 8 个黑色圆点，第③个图案中有 12 个黑色圆点，则可以总结出第 n个图形中黑色圆点 的个数，代入 6n  计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变 化规律． 【详解】解：第①个图案中有 4 个黑色圆点， 第②个图案中有 8 个黑色圆点， 答案第 3页，共 23页 第③个图案中有 12 个黑色圆点， 第④个图案中有 16 个黑色圆点，  则第 n个图案中有4n个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是 4 6 24  个， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为 x, 利用该景区 2024 年接待游客人次数 该景区 2022年接待游客人次数 (1 该景区这两年接待 游客的年平均增长率 2) ，可列出关于 x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出 结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为 x， 可得方程 225(1 ) 36x  ， 解得 0.2x  或 2.2x   （舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为 20%， 故选：B 8．B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握菱形的性质是解 题的关键．根据菱形的性质可得 BDC DBC  ，由 BD BE 可得 BDC BED  ，设 DBE x  ，再由 180DBE BDC DEB    ，即可解答． 【详解】解：在菱形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点O，  BDC DBC  ，  BD BE ，  BDC BED  ， 设 DBE x  ， ∵ BD BE ， 12EBC  ， 12BDC BED x    ， 180DBE BDC DEB     ， 12 12 180x x x      ， 答案第 4页，共 23页  52x  ， ∴ 52 12 64BDC     ， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的 性质，连接GE，证明  Rt Rt HLEFG EBG△ ≌ △ ，可得GF GB ，设GB GF x  ，则 2 , 2AG x DG x    ，根据勾股定理可得 1 2 x  ，再利用角平分线的性质得到点H到 , ,AD AG GD的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程 解得 1 2 GB  是解题的关键． 【详解】解：如图，连接GE， ，四边形 ABCD是正方形， 90B C BAC ADC     ， 2AB BC CD DA    ， 点 E是 BC边的中点， 1BE CE   , 将 DCE△ 沿直线DE翻折得 DFE△ ， 90 , 1EFD C CE FE BE        ， 2DC DF  , 90GFE GBE   ， GE GE ，  Rt Rt HLEFG EBG △ ≌ △ ， GF GB  ， 设GB GF x  ，则 2 , 2AG x DG x    ， 根据勾股定理可得 2 2 2AG AD DG  , 即    2 222 2 2x x    ， 解得 1 2 x  ， 答案第 5页，共 23页 5 3, 2 2 DG AG   ， ADG 和 DAG 的平分线DH AH， 相交于点 H， 点 H 到 , ,AD AG GD的距离相等， 5 1 3 52 25 3 2 2 82 2 2 GDH ADG GDS S GD AG AD               ， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入 2k   ，验 证根的和是否为 6；③计算判别式Δ，分析 k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数 k， 验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数 1 0k   ，即 1k   ，故说法①正确； ②当 2k   时，方程化简为 ² 7 6 0x x   ，根的和为 7 6  ，故说法②错误； ③判别式       2 23 1 4 1 2 2 3k k k k        ，当 3k  时， 0  ，但需 1k   （否则方 程非二次），题目未排除 1k   ，故说法③错误； ④解方程得根为 1 1x   ，   2 2 1 1 k x k     ，要求 2x 为整数，得 1k  （唯一正整数解），故说法 ④正确． 综上，正确的为①④，共 2 个， 故选：B． 11． 10 3 【分析】本题考查线段成比例，比例的基本性质，解题的关键是根据题意列出比例关系． 根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵ a，b，c， d四条线段成比例， ∴ a c b d  ， ∵ 3a cm 、 5b cm ， 2c cm ， ∴  5 2 10 3 3 d cm  故答案为： 10 3 ． 12． 2029 答案第 6页，共 23页 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 的解的含义． 将 x m 代入方程得到关于 m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵m是方程 22 3 1015 0x x   的一个根， ∴ 22 3 1015 0m m   22 3 1015m m  ， ∴ 21 4 6m m   21 2 2 3m m  1 2 1015   2029  ． 13． 1 3 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性， 得到 2 0x y   ， 4 0x y   ，进而得到 4y   ，进而得到关于 y的一元一次方程，求 出 y的值，进而求出 x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵ 2x y  ， 4x y  ， ∴ 2 0x y   ， 4 0x y   ， ∴ 4y   ， ∴ 2 4x x y y     ， 当 0y  时，方程无解， 当 4 0y   时， 2 4y y    ， ∴ 1y   ， ∴ 2 3x y   ， ∴ 1 13 3 yx   ； 故答案为： 1 3 ． 14． 2 1 3y y y  【分析】本题考查判断二次函数的函数值大小，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行 答案第 7页，共 23页 判断即可． 【详解】解：∵ 22 4y x x c    ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 4 1 2 2 x      ， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点  1 12,M y 、  2 23,M y 、  3 35,M y 在二次函数 22 4y x x c    的图像上，且 5 1 2 1 3 1      ， ∴ 2 1 3y y y  ； 故答案为： 2 1 3y y y  15． 45 /45 度 5 2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形 的性质与判定，由正方形的性质可得 90AB AD BC BAD    ， ，设 2BAE x  ，则 90 2DAE x  ∠ ，由等边对等角和三角形内角和定理可得 90AEB x  ∠ ， 45AED x   ， 据此由平角的定义可得 BEF 的度数；连接 BD，由勾股定理得 2BD DA ；证明 AF 垂直 平分 BE，得到 BF EF ，则 45FBE FEB    ，同理可得 2BE BF ，证明 EBD FBC△ ∽△ ， 得到 2 DE BD CF BC   ，则 2 5 2DE CF  ． 【详解】解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 90AB AD BC BAD    ， ， 设 2BAE x  ，则 90 2DAE BAD BAE x    ∠ ∠ ∠ ， ∵ AE AB ， ∴ AE AB AD  ， ∴ 180 90 2 BAEAEB ABE x     ∠∠ ∠ ， 180 45 2 DAEAED ADE x        ， ∴ 180 45BEF AEB AED      ； 如图所示，连接 BD， 在Rt ABD△ 中，由勾股定理得 2 2 2BD AB AD AD   ； ∵ AE AB ， AF BE⊥ ， ∴ AF 垂直平分 BE， ∴ BF EF ， 答案第 8页，共 23页 ∴ 45FBE FEB    ， ∴ 180 45 45 90BFE        ∠ ， 同理可得 2BE BF ， 由正方形的性质可得 45CBD FBE  ∠ ∠ ， ∴ CBD CBE FBE CBE  ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ EBD FBC  ， 又∵ 2 BD BE BC BF   ， ∴ EBD FBC△ ∽△ ， ∴ 2 DE BD CF BC   ， ∴ 2 5 2DE CF  ． 故答案为： 45；5 2． 16． 3991 2652 【分析】本题考查了新定义各数字的取值范围最值问题，熟练掌握各位数上数字的取值范围 是解答本题的关键． 根据新定义和各个数位上数字的取值范围进行解答即可． 【详解】解：∵满足百位数字是千位数字的 3 倍， ∴千位数字只能是 1、2、3， 要保证“可乐数”最大，∴此时千位数字只能是 3， 故百位数为 9， ∴千位和百位数字组成的两位数为 39， 设十位数字为 y，个位数字为 z，要使  39 10 39 10y z y z     能被 13 整除，且要求四位 数最大， ∴10y z 也为 13 的整数倍， ∵13 7 91,13 8 104    ， 答案第 9页，共 23页 ∴10y z 最大为 91， 故最大的“可乐数”为3991， ∵一个“可乐数”N的千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d， ∴ 3b a ， a的值为1, 2,3， ∴   5 100 10 5 130 5G N abc d a b c d a c d         ， ∴当 N取最小值时， 1a  ，此时   130 5G N c d   ，且  G N 为 17 的整数倍， 当 0c  时，130 5d 为 17 的整数倍，因为17 5 85  ，∴此时 9d  ，此时 1309N  ，但不 是“可乐数”，故舍去， 当 1c  时，   130 5 131 5G N c d d     ，d取整数时，不可能为 17 的整数倍，故舍去， 当 2c  时，   130 5 132 5G N c d d     ，因为17 6 102  ，∴此时 6d  ，此时 1326N  ， 满足“可乐数”，故 N的最小值为1326， ∴当 N取最大值时， 3a  ，此时   390 5G N c d   ，且  G N 为 17 的整数倍， 当 9c  时，   390 5 399 5G N c d d     ，因为17 22 374  ，∴此时 5d  ，此时 3995N  ， 但不是“可乐数”，故舍去， 当 8c  时，   390 5 398 5G N c d d     ，d取整数时，不可能为 17 的整数倍，故舍去， 当 7c  时，   390 5 397 5G N c d d     ，因为17 21 357  ，∴此时 8d  ，此时 3978N  ， 是“可乐数”，故 N的最小值为3978， 故满足条件的 N的最大值与最小值之差为3978 1326 2652  ， 故答案为： 3991，2652． 17．（1）1；（2） 1 2 2 21 1 2 2 x x   ， 【分析】本题考查求算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，解一元二次方程，解题的关键 是熟练掌握运算法则和一元二次方程的解法． （1）先计算每一部分，再进行合并即可． （2）用求根公式解方程即可． 【详解】（1）解： 2 0 21 1( 4) 2 ( 2024) ( ) 4 2        916 1 4 4     答案第 10页，共 23页 34 1 4 2     1 ； （2）解：∵ 22 4 1x x   ， ∴ 22 4 1 0x x   ， 由求根公式可得，   24 4 4 2 1 21 2 2 2 x          ∴ 1 21 2 x   ， 2 21 2 x   18． ( 2) 2 x x x   ；3 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计 算． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除号后的项根据平方差公式约分得 到最简结果，选择合适的 x的值代入计算即可求出值，注意 x的取值范围． 【详解】解： 2 2 3 4 41 1 x xx x x x         2 ( 1)( 1) 3 ( 1) 1 1 ( 2) x x x x x x x           2 2 1 3 ( 1) 1 ( 2) x x x x x        2 2 4 ( 1) 1 ( 2) x x x x x       2 ( 2)( 2) ( 1) 1 ( 2) x x x x x x        ( 2) 2 x x x    ； 当 2 1x   ，且 x为整数， ∴ 2 1 0 1x   ， ，， ∵ 2 0 1x   ，， 时分式无意义， ∴ 1x   带入得：原式 1 ( 1 2) 3 1 2         . 19．(1)见解析 (2) D ， DFM ， AME ， DFM AME   ， MAE 【分析】此题考查了垂线的作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明 FDM MAE ∽ 是关键． 答案第 11页，共 23页 （1）按照垂线的作图方法作图即可； （2）证明 FDM MAE ∽ ，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：四边形 ABCD是矩形 90A D     90DMF DFM    EFM 是以 EF为斜边的直角三角形 90EMF   90DMF AME     DFM AME   D A   FDM MAE ∽ FD FM MA ME   ； 故答案为： D ， DFM ， AME ， DFM AME   ， MAE 20．(1)9.4；9.3；10； (2)上午的观众对电影的评分较高．理由见解析 (3) 720名．． 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体，读懂图表，获取信息，掌握知识点 的应用是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出 a和b的值，先求出下午A 组的人数所占百分比， 即可求出m的值； （ 2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 答案第 12页，共 23页 【详解】（1）解：在上午 20名学生的评分中，9.4出现的次数最多，故众数 9.4a  ； 下午 20 名学生的评分在 C组百分比为： 8 100% 40% 20   ， ∴下午 20名学生的评分在 A组百分比为： % 1 40% 30% 20% 10%m      ， 即 10m  ， 下午 20名学生的评分在 A组的人数为 20 10% 2  名，B组的人数为20 20% 4  名， 把下午 20名学生的评分从小到大排列，排在中间的两个数是第 10 和 11 名学生的成绩即在 C组中的分别是：9.3，9.3，故中位数 9.3 9.3 9.3 2 b   ； 故答案为：9.4；9.3；10； （2）解：上午的观众对电影的评分较高， 理由如下：因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的 高，所以上午的观众对电影的评分较高； （3）解： 15 8400 600 30% 300 420 720 20 20            （名）， 答：估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀  9x  的观众人数一共是720名． 21．(1)当天可盈利 1692 元 (2)每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利 润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“盈利 单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利 单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再根据尽快减少库存即可确定 x的值． 【详解】（1）解：某天该商品每件降价 3 元，则每件商品盈利为：  50 3 元，销售数量  30 2 3  件， 当天可盈利    50 3 30 2 3 1692     （元） 答：当天可盈利 1692 元； （2）解：根据题意得，   50 30 2 2000x x   整理，得 2 35 250 0x x   解得， 1 210 25x x ， 答案第 13页，共 23页 为了尽快减少库存， 25x  答：每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 元. 22．(1)    2 3 0 4 7 4 7 t t y t t t        (2)图象见解析；当0 4x  时，y随着 x的增大而增大，当 4 7x  时，y随着 x的增大而 减小； (3) 2.7 5.5x  ． 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：矩形 ABCD中， 8AB CD  ， 6BC AD  ， 90ABC BCD ADC     当点 Q在CD上运动时，即0 4x  时， APQ△ 的面积为 1 1 6 3 2 2 y AP BC t t      ， 当点 Q在 BC上运动时，即 4 7x  时， APQ△ 的面积为   21 1 14 2 7 2 2 y AP BQ t t t t         ， ∴    2 3 0 4 7 4 7 t t y t t t        （2）函数图象如图所示， 答案第 14页，共 23页 当0 4x  时，y随着 x的增大而增大，当 4 7x  时，y随着 x的增大而减小； （3）根据图象可知，当函数值 8y  时，自变量 x的取值范围为 2.7 5.5x  ． 23．(1) 2.94km (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用 解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点 B、C作 BE AD 于 E，CF AD 于 F，得到四边形 BEFC是矩形，BE CF ， 利用 3.6kmAB  ， 45BAE  求出 BE，即CF，从而利用 30DCF  求出CD； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与 16 分钟比较即可得解． 【详解】（1）分别过点 B、C作 BE AD 于 E，CF AD 于 F， 依题意可知： BC AD∥ ， 45BAE  ， 30DCF  ， 3.6kmAB  ， 2.4kmBC  ， ∴ 90CBE AEB BEF EFC CFD BCF           ， ∴四边形 BEFC是矩形， BE CF ， ∵ 3.6kmAB  ， 45BAE  ， 答案第 15页，共 23页 ∴  2 9sin 3.6 = 2 km 2 5 BE CF AB BAE     又∵ 30DCF  ， ∴   9 2 9 2 6 65 2 1.2 2.449 2.9388 2.94 km cos 5 533 2 CFCD DCF                 （2）16 分钟 960 秒， ∵ 3.6kmAB  ， 2.4kmBC  ， 2.94kmCD  ， ∴  3.6 2.4 2.94 8.94 kmAB BC CD      ， ∴从 A点运送到 D点的时间为：     8.94 1000 894 s 960 s 10 AB BC CD v       送 ， ∴送货司机按既定路线 A B C D   进行运送能按时送达． 24．(1) 2 2 3y x x   (2) 3 15, 2 4      ； 3 61 4 (3) 1 3, 2 4      或 7 45, 2 4      【分析】（1）由对称轴计算公式得到 2b a  ，再把点 A坐标代入解析式中计算求解即可； （2）先求出 B、C坐标，进而求出直线 BC解析式为 3y x  ；设  2, 2 3P p p p  ，则  , 3H p p  ，可得 23 9 2 4 PH p        ，则当 3 0 2 p   ，即 3 2 p  时，PH的长度最大；如 图所示，作点 B关于 y轴的对称点 T，连接TN TP， ，则  3,0T  ，当 P、T、N三点共线时， TN PN 有最小值，即此时 BN PN 有最小值，最小值为TP的长，据此求解即可； （3）求出 2 2 10AC OA OC   ，则将抛物线 2= 2 3y x x  沿射线CA方向平移 10 个单 位得新抛物线 y，相当于将抛物线 2= 2 3y x x  向左平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位 长度得到新抛物线 y，即新抛物线解析式为 2 1y x  ；如图所示，过点 F作 FH x 轴于 H， 可导角证明 EFH ACO  ，则 PE AC∥ ，据此可求出直线 PE解析式为 33 4 y x   ，联立 2 33 4 1 y x y x         ，解得 1 2 3 4 x y        或 7 2 45 4 x y        ，则点 E的坐标为 1 3, 2 4      或 7 45, 2 4      ． 答案第 16页，共 23页 【详解】（1）解：∵抛物线  2 3 0y ax bx a    的对称轴为直线 1x  ， ∴ 1 2 b a   ， ∴ 2b a  ， 把  1,0A  代入 2 23 2 3y ax bx ax ax      中得 2 3 0a a   ，解得 1a  ， ∴抛物线解析式为 2 2 3y x x   ； （2）解：在 2 2 3y x x   中，当 2 2 3 0y x x    时，解得 1x   或 3x  ， 当 0x  时， = 3y  ， ∴    3,0 0, 3B C ， ； 设直线 BC解析式为 y kx b  ， ∴ 3 0 3 k b b        ， ∴直线 BC解析式为 3y x  ； 设  2, 2 3P p p p  ，则  , 3H p p  ， ∴   2 2 2 3 93 2 3 3 2 4 PH p p p p p p                ， ∴当 3 0 2 p   ，即 3 2 p  时，PH的长度最大， ∴ 2 152 3 4 p p    ， ∴此时点 P的坐标为 3 15, 2 4      ； 如图所示，作点 B关于 y轴的对称点 T，连接TN TP， ，则  3,0T  ， ∴TN BN ， ∴ BN PN TN PN   ， 答案第 17页，共 23页 ∴当 P、T、N三点共线时，TN PN 有最小值，即此时 BN PN 有最小值，最小值为TP的 长， ∵ 223 15 3 613 0 2 4 4 TP                    ， ∴ BN PN 的最小值为 3 61 4 ； （3）解：∵  1,0A  ，  0, 3C  ， ∴ 1 3OA OC ， ， ∴ 2 2 10AC OA OC   ， ∴将抛物线 2= 2 3y x x  沿射线CA方向平移 10 个单位得新抛物线 y，相当于将抛物线 2= 2 3y x x  向左平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位长度得到新抛物线 y， ∴新抛物线解析式为    2 21 2 1 3 3 1y x x x        ； 如图所示，过点 F作FH x 轴于 H， ∵ 90OB OC BOC   ， ， ∴ 45OBC  ， ∴ 180 90 45 45BFH        ∠ ， ∵ 180BFP ACO ABC     ， 180BFP EFB   ， ∴ 45EFB ACO  ∠ ， ∴ 45EFB ACO  ∠ ∠ ， ∴ EFB BFH ACO ∠ ∠ ∠ ， ∴ EFH ACO  ， ∵HF x 轴，即HF OC∥ ， ∴ PE AC∥ ， 答案第 18页，共 23页 同理可得直线 AC解析式为 3 3y x   ， ∴可设直线 PE解析式为 3y x b   ， ∴ 15 33 4 2 b     ， ∴ 3 4 b  ， ∴直线 PE解析式为 33 4 y x   ， 联立 2 33 4 1 y x y x         ，解得 1 2 3 4 x y        或 7 2 45 4 x y        ， ∴点 E的坐标为 1 3, 2 4      或 7 45, 2 4      ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形 的性质与判定等待，解（2）的关键在于听过设出点 P的坐标，进而用点 P的横坐标表示出 线段PH的长；解（3）的关键在于证明 PE AC∥ ． 25．(1)线段 EA的长度为 29 ； (2)证明过程见解析； (3) CMN 的面积为 189 10 ． 【分析】（1）通过推导角度得出等腰三角形，判定三角形全等，对应边相等，用勾股定理解 三角形即可； （2）由三角形外角的性质可导出等腰三角形，构造等腰直角三角形，可得边之间的数量关 系，综合全等三角形的判定和性质，进行等量代换即可； （3）通过相似三角形的判定和性质，确定MN最大时点M 的位置，综合应用正方形的性质， 三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定和性质，可导出线段长度，用勾股定理解三角 形，借助三角形的面积公式可得点C到MN的距离，代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵ 90ABC  ，点 E在线段CB的延长线上， AB BC ， 5CB  ， ∴ 90ABE  ， 45BAC BCA   ， 5AB  ， ∵DF BC 于点 F， ∴ 90DFE DFC    ， ∴ 45CDF DCF     ， ∴ FC FD ， 答案第 19页，共 23页 ∵ 2 2CD  ， ∴  222 2 2FC  ， ∴ 2FC FD  ， ∴ 5 2 3BF    ， ∵ BAE CED   ， 设 BAE   ，则 CED   ， ∴ 45EAD EDA     ， ∴ EA ED ， 在 ABE 和 EFD 中， ABE EFD BAE FED AE DE         ， ∴ ABE EFDV V≌ ， ∴ AB EF ， ∴ 5EF  ， ∴ 5 3 2EB    ， 在Rt ABE 中， 2 2 2EA AB EB  ， ∴ 2 25 2 29EA    ， 答：线段 EA的长度为 29 ． （2）证明：∵CH CG ， ∴ 90GCH  ， ∵ 90ABC  ， AB BC ， ∴ 45BAC BCA   ， ∴ 45ACG ECH    ∵ CEH ACG  ， ∴ 45CEH ECH   ， ∴ 135CHE  ， 设 CFH   ， ∵ 2 45CFH CEH   ， 45CEH ECH   ， 答案第 20页，共 23页 ∴ 2 2ECH CFH     ， ∴ CFH CHF    ， 45 2CEH ACG     ， ∴CH CF ， 在CB上截取CR CF ，连接 AR，作 PR AB 交 AC于点 P，则 90PRC  ， 又∵ 45PCA  ， ∴ 45CPR  ， ∴ PR CR ， 135APR  ， ∴ PR CR CF CH   ， ∵点G是线段 AF 的中点， ∴CG AR ， ∴ 45 2PAR ACG     ， ∴ PAR CEH  ， 45 2 45 90 2ARB         ， 在 APR△ 和 EHC△ 中， PAR HEC APR EHC PR HC         ， ∴ APR EHC ≌ ， ∴ AR EC ， 作 ET CH 延长线于点T ，则 90T  ， 180 135 45EHT     ， ∴ 45HET  ， 90 2CET    ， ∴TH TE ∴ 2 22·TH EH ， ∴ 2 2 TH EH ， 在 ABR△ 和CTE中， ABR CTE ARB RET AR CE       ， ∴ ABR CTE ≌ ， ∴ AB CT ， 答案第 21页，共 23页 ∵ 2 2 CT CH TH CF EH    ， ∴ 2 2 AB CF EH  （3）解：如图，过点A 作 AB的垂线，过点C作 BC的垂线，交于点S，连接 SM ，则四边 形 ABCS为正方形， ∴ 45ACS  ， 2AC SC ， ∵Rt CMD 为等腰直角三角形， ∴ 45DCM  ， 2CD CM  ， ∴ 45ACD DCS SCM     ， ' 2CD AC CM CS   ， ∴ 'ACD SCM ∽ ， ∴ 2 AD SM   ， ∵ 6AB  ，BC AB ，点D是线段 AC的中点，点K是线段 AB的中点， ∴ 3AK DK  ，KD BC ， ∵ 90ABC  ， ∴ 90AKD  ， ∴ ' 3 2AD  ， ∴ 3SM  ， 如图，当点M 在 NS的延长线上时 NM最大，最大值为 3NS  作DW BC 于点W，交CK 于点 L，则 3DW CW  ， ∵DN CK 于点Q ∴ 90NDW DNC NCL    在 KDL 和 CWL 中， 答案第 22页，共 23页 KLD CLW KDL CWL KD CW         ， ∴ KDL CWL ≌ ∴ 3 2 DL WL  ， 在 NDW 和 LCW 中， NDW LCW DW CW DNW CWL         ， ∴ DNW CLW ≌ ， ∴ 3 2 WN WL  ， ∴ 3 93 2 2 CN    ， ∴ 2 29 156 2 2 NS        ， ∴MN的最大值为 15 213 2 2   ， 设点C到 NS的距离为 h，则 · ·SN h CN CS ∴ 15 9 6 2 2 h   ， ∴ 18 5 h  ， ∴ S  1 21 18 189 2 2 5 10    ， 答：当MN的长度最大时， CMN 的面积为 189 10 ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形，三角形外角的 答案第 23页，共 23页 性质，勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的 关键是熟练掌握全等和相似的判定方法，能够正确作出辅助线． 重庆育才中学教育集团2026届初三（上）第一次自主作业 数学试题（模拟一） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的相反数为（    ） A．6 B． C． D． 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况 3．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（   ） A． B． C． D．4题图 5．估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 7．某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．8题图 9．如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D．9题图 10．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．已知，，，四条线段成比例，其中、，，则 ． 12．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 13．若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 14．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为 ．（用“”符号连接） 15．如图，为正方形内一点，，连接，过点作交直线于点，则 ．连接，若，则 ．15题图 16．对于任意一个四位数M，若M满足百位数字是千位数字的3倍，千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数之差能被13整除，则称M为“可乐数”．例如：，因为，所以2665是“可乐数”，最大的“可乐数”是 ；一个“可乐数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当为整数时，满足条件的N的最大值与最小值之差为 ． 三、解答题：（本大题共8小题，17、18题8分，19－25题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）计算： （2）解方程： 18． 先化简，再求值：，其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 19．如图，在矩形中，点、分别在边、上，连接，点是线段上的一点． (1)用尺规作图，完成以下基本作图：过点作交于点，交于点，连接、． (2)若是以为斜边的直角三角形，求证： 证明：四边形是矩形 ① ② 是以为斜边的直角三角形 ③ ④ 19题图 ⑤ 20．周末休闲放松，观影是个好选择．为了解大家对某部电影的喜爱情况，一天小美同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影进行评分（十分制），并收集、整理数据如下．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 上午、下午所抽取观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上午、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若这天上午有名观众，下午有名观众观看了这部电影，请估计上午、下午的观众中给电影评分在9分以上的总人数是多少人？ 21．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 22．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) (1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) (2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．其中点的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点．当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值： (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 25．在中，，，点在线段的延长线上，连接．    (1)如图1，点在线段上，连接，过点作于点．若，，，求线段的长度； (2)如图2，点是线段延长线上一点，连接，点是线段的中点．连接，过点作，连接，．若，，求证：； (3)如图3，点是线段的中点，点是线段的中点，连接、，过点作于点，交于点．将绕点逆时针旋转得，连接，以为斜边在右侧作等腰，连接．若，当的长度最大时，请直接写出的面积． 命题人：肖桂松 审 核：肖桂松 校 对：肖桂松 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 重庆育才中学教育集团 2026 届初三（上）第一次自主作业 数学试题（模拟一） （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答 案所对应的方框涂黑． 1． 6 的相反数为（ ） A．6 B． 1 6 C． 1 6  D． 6 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒 2》的情况 3．一元二次方程 22 4 3 0x x   的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如图， ABC 与 DEF 是以点O为位似中心的位似图形，若 ABC 与 DEF 的面积之比为 4 :9，则 :OA AD的值是（ ） A．4 :9 B． 2 :3 C． 2 :1 D．1: 2 5．估计 22 3 2 2         的值在（ ） A．2到 3之间 B．3到 4之间 C．4到 5之间 D．5到 6之间 6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有 4个圆点，第②个图中有 8个圆点，第③个图中有 12 个圆点，第④个图中有 16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A．32 B．28 C．24 D．20 7．某景区 2022年接待游客 25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024年接待游客达到 36万 人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A．10% B． 20% C． 22% D． 44% 8．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，点 E在边CD上， 且 BD BE ，若 12EBC  ，则 BDC 的度数为（ ） A．66 B．64 C．56 D．52 9．如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E是 BC边的中点，连接DE，将 DCE△ 沿直线DE翻折到正方 形 ABCD所在的平面内，得 DFE△ ，延长DF交 AB于点 G． ADG 和 DAG 的 平分线DH AH， 相交于点 H，连接GH，则 DGH 的面积为（ ） A． 5 8 B． 5 4 C． 5 5 8 D． 5 5 4 10．已知关于 x的方程    21 3 1 2 2 0k x k x k      ，则下列说法正确的个数为（ ） ①若该方程为一元二次方程，则 1k   ； ②当 2k   时，该方程有两实数根 1 2x x， ，且 1 2 6x x  ； ③当 3k  ，该方程总有两不相等的实数根； ④若 k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 1k  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4 题图 8题图 9题图 2 二、填空题（本大题 6个小题，每小题 4分，共 24分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11．已知 a，b， c， d四条线段成比例，其中 3a cm 、 5b cm ， 2c cm ，则 d  cm． 12．若m是方程 22 3 1015 0x x   的一个根，则代数式 21 4 6m m  的值为 ． 13．若实数 x，y同时满足 2x y  ， 4x y  ，则 yx 的值为 ． 14．若点  1 12,M y 、  2 23,M y 、  3 35,M y 在二次函数 22 4y x x c    的图 像上，则 1y 、 2y 、 3y 的大小关系为 ．（用“ ”符号连接） 15．如图，E为正方形 ABCD内一点， AE AB ，连接 BE，过点A作 AF BE⊥ 交直线DE于点 F ，则 BEF  ．连接CF，若 5CF  ，则DE  ． 16．对于任意一个四位数 M，若 M满足百位数字是千位数字的 3倍，千位和百位数字组成的两位数与 十位和个位数字组成的两位数之差能被 13整除，则称 M为“可乐数”．例如： 2665M  ，因为  6 2 3 26 65 13 3     ， ，所以 2665是“可乐数”，最大的“可乐数”是 ；一个“可乐数”N的千位 数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记   5G N abc d  ，当   17 G N 为整数时，满足 条件的 N的最大值与最小值之差为 ． 三、解答题：（本大题共 8小题，17、18题 8分，19－25题各 10分，共 86分）解答时 每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答 过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）计算： 2 0 21 1( 4) 2 ( 2024) ( ) 4 2        （2）解方程： 22 4 1x x   18．先化简，再求值： 2 2 3 4 41 1 x xx x x x         ，其中 x满足： 2 1x   ，且 x为整数，选择一个你 认为合适的 x的值代入求值． 19．如图，在矩形 ABCD中，点 E、 F 分别在边 AB、CD上，连接 EF，点G是线段 EF上的一点． (1)用尺规作图，完成以下基本作图：过点G作MN EF 交 AD于点M ，交 BC于点 N，连接 EM 、FM ． (2)若 EFM△ 是以 EF为斜边的直角三角形，求证： FD FM MA ME  证明：四边形 ABCD是矩形 A  ① 90  DMF  ② 90  EFM 是以 EF为斜边的直角三角形 90EMF   DMF  ③ 90   ④ D A   FDM∽ ⑤ FD FM MA ME   20．周末休闲放松，观影是个好选择．为了解大家对某部电影的喜爱情况，一天小美同学从某电影院上 午、下午观影后的观众中各随机抽取 20名观众对电影进行评分（十分制），并收集、整理数据如下．所 有观众的评分均高于 8分（电影评分用 x表示，共分成四组： .8 8.5A x  ； .8.5 9B x  ； .9 9.5C x  ； .9.5 10D x  ），下面给出了部分信息： 上午 20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8， 9.9，10，10，10． 下午 20名观众的评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 上午、下午所抽取观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 b 众数 a 9.3 15 题图 19 题图 3 (1)上述图表中a ________，b  ________，m  ________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上午、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理 由；（写出一条理由即可） (3)若这天上午有 400名观众，下午有600名观众观看了这部电影，请估计上午、下午的观众中给电影评 分在 9分以上  9x  的总人数是多少人？ 21．商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利 50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降 价措施，经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件． (1)若某天该商品每件降价 3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价 x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000元？ 22．如图，矩形 ABCD中， 8AB  ， 6BC  ，P、Q两点分别从点A、点D同时出发，点 P以每秒钟 1 个单位的速度沿 A B 运动，点Q以每秒钟 2个单位的速度沿 D C B  运动，当点Q到达点 B时，点 P也随之停止运动，设 APQ△ 的面积为 y， P、Q两点的运动时间为 x． (1)直接写出 y关于 x的函数表达式，并注明自变量 x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 y的图象，并写出函数 y的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值 8y  时，自变量 x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误 差不超过 0.2） 23．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A B C D   ．已知点 B在点 A的北偏东 45 方向3.6km处，点 C在点 B的正东方 2.4km处，点 D在点 C的南偏东30方向，点 D在点 A的正东方．(参 考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 6 2.449 ) (1)求线段 CD的长度；(结果精确到 0.01km) (2)已知送货司机在送货过程中全程保持 10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在 16分钟内从 A点 运送到 D点，则送货司机按既定路线 A B C D   进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的 时间忽略不计) 4 24．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线  2 3 0y ax bx a    与 x轴交于 A B， 两点，与 y轴交于C点， 连接 BC．其中点A的坐标为  1,0 ，对称轴为直线 1x  ． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P是直线 BC下方抛物线上的一个动点，点 N为 y轴上的一个动点，过点 P作PH y∥ 轴交 BC于 点 H ．当 PH的长度最大时，求出此时点 P的坐标及 BN PN 的最小值： (3)如图 2，在（2）的条件下，连接 AC，将该抛物线沿射线CA方向平移 10 个单位得新抛物线 y，点 E为新抛物线 y上的一个动点，连接 PE交线段 BC于点 F ，且满足 180BFP ACO ABC     ， 请直接写出符合条件的点 E的坐标． 25．在Rt ABC△ 中， 90ABC  ， AB BC ，点 E在线段CB的延长线上，连接 EA． (1)如图 1，点D在线段 AC上，连接 ED，过点D作DF BC 于点 F ．若 BAE CED   ， 2 2CD  ， 5CB  ， 求线段 EA的长度； (2)如图 2，点 F 是线段 BC延长线上一点，连接 AF ，点G是线段 AF 的中点．连接CG，过点C作CH CG ， 连接 EH ，FH ．若 CEH ACG  ， 2 45CFH CEH   ，求证： 2 2 AB CF EH  ； (3)如图 3，点D是线段 AC的中点，点K是线段 AB的中点，连接DK、CK ，过D点作DN CK 于点Q， 交 BC于点 N．将 AKD 绕点A逆时针旋转得 AK D  ，连接CD，以CD为斜边在CD右侧作等腰 Rt CMD ，连接MN．若 6AB  ，当MN的长度最大时，请直接写出 CMN 的面积． 命题人：肖桂松 审 核：肖桂松 校 对：肖桂松 18 19． ① ② ③ ④ ⑤ 20． （1） a  ________，b  ________，m  ________； （2） （3） 贴 条 形 码 区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 21． 22． （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．计算： （1） 2 0 21 1( 4) 2 ( 2024) ( ) 4 2        （2）解方程： 22 4 1x x   1 5 2 3 4 6 7 一、选择题 8 姓名： 班级： 准考 证号： A B C D 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 正确填涂 错误填涂 自主作业（一）数学答题卡 注意事项 填 涂 样 例 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；综 合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 9 A B C D 10 A B C DA B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 24． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23． 25． 自主作业（一）数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 21． 22． （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 18 19． ① ② ③ ④ ⑤ 20． （1） ________，________，________； （2） （3） 20． 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 2、 填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．计算： （1） （2）解方程： 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24． 23． 25． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团2026届初三（上）第一次自主作业数学试题（模拟一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C B C B B A B 1．A 【分析】本题考查了相反数的定义，直接根据“只有符号不同的两个数是相反数”判断即可． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了相似比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握面积比与相似比之间的关系． 由面积比可得相似比，以及对应边的位置关系，根据平行线的性质，可得角相等，从而可证三角形相似，对应边成比例，进一步计算可得的值． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的面积之比为， ∴与的相似比为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选： ． 5．B 【分析】本题考查了无理数的估算．先展开表达式，利用乘法分配律进行计算，再估算结果的范围． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ 故选：B． 6．C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 8．B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质可得，由可得，设，再由，即可解答． 【详解】解：在菱形中，对角线、相交于点， ， ， ， 设， ∵ ，， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 11． 【分析】本题考查线段成比例，比例的基本性质，解题的关键是根据题意列出比例关系． 根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵，，，四条线段成比例， ∴， ∵、，， ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的含义． 将代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 13． 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查判断二次函数的函数值大小，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、在二次函数的图像上，且， ∴； 故答案为： 15． /45度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，设，则，由等边对等角和三角形内角和定理可得，，据此由平角的定义可得的度数；连接，由勾股定理得；证明垂直平分，得到，则，同理可得，证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 16． 【分析】本题考查了新定义各数字的取值范围最值问题，熟练掌握各位数上数字的取值范围是解答本题的关键． 根据新定义和各个数位上数字的取值范围进行解答即可． 【详解】解：∵满足百位数字是千位数字的3倍， ∴千位数字只能是1、2、3， 要保证“可乐数”最大，∴此时千位数字只能是3， 故百位数为9， ∴千位和百位数字组成的两位数为39， 设十位数字为y，个位数字为z，要使能被13整除，且要求四位数最大， ∴也为13的整数倍， ∵， ∴最大为91， 故最大的“可乐数”为， ∵一个“可乐数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， ∴，的值为， ∴， ∴当N取最小值时，，此时，且为17的整数倍， 当时，为17的整数倍，因为，∴此时，此时，但不是“可乐数”，故舍去， 当时，，d取整数时，不可能为17的整数倍，故舍去， 当时，，因为，∴此时，此时，满足“可乐数”，故的最小值为， ∴当N取最大值时，，此时，且为17的整数倍， 当时，，因为，∴此时，此时，但不是“可乐数”，故舍去， 当时，，d取整数时，不可能为17的整数倍，故舍去， 当时，，因为，∴此时，此时，是“可乐数”，故的最小值为， 故满足条件的N的最大值与最小值之差为， 故答案为： ，． 17．（1）1；（2） 【分析】本题考查求算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则和一元二次方程的解法． （1）先计算每一部分，再进行合并即可． （2）用求根公式解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 由求根公式可得， ∴， 18．； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除号后的项根据平方差公式约分得到最简结果，选择合适的x的值代入计算即可求出值，注意x的取值范围． 【详解】解： ； 当，且为整数， ∴ ∵ 时分式无意义， ∴ 带入得：原式. 19．(1)见解析 (2)，，，， 【分析】此题考查了垂线的作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是关键． （1）按照垂线的作图方法作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：四边形是矩形 是以为斜边的直角三角形 ； 故答案为：，，，， 20．(1)；；； (2)上午的观众对电影的评分较高．理由见解析 (3)名．． 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体，读懂图表，获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中位数，众数的定义，即可求出和的值，先求出下午组的人数所占百分比，即可求出的值； （）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【详解】（1）解：在上午名学生的评分中，出现的次数最多，故众数； 下午名学生的评分在C组百分比为：， ∴下午名学生的评分在A组百分比为：， 即， 下午名学生的评分在A组的人数为名，B组的人数为名， 把下午名学生的评分从小到大排列，排在中间的两个数是第10和11名学生的成绩即在C组中的分别是：9.3，9.3，故中位数； 故答案为：；；； （2）解：上午的观众对电影的评分较高， 理由如下：因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的高，所以上午的观众对电影的评分较高； （3）解：（名）， 答：估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是名． 21．(1)当天可盈利1692元 (2)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【详解】（1）解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件， 当天可盈利（元） 答：当天可盈利1692元； （2）解：根据题意得， 整理，得 解得， 为了尽快减少库存， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 22．(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3)． 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ （2）函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 23．(1) (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解． 【详解】（1）分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ （2）16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 24．(1) (2)； (3)或 【分析】（1）由对称轴计算公式得到，再把点A坐标代入解析式中计算求解即可； （2）先求出B、C坐标，进而求出直线解析式为；设，则，可得，则当，即时，的长度最大；如图所示，作点B关于y轴的对称点T，连接，则，当P、T、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）求出，则将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到新抛物线，即新抛物线解析式为；如图所示，过点F作轴于H，可导角证明，则，据此可求出直线解析式为，联立，解得或，则点E的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， 当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴， ∴当，即时，的长度最大， ∴， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作点B关于y轴的对称点T，连接，则， ∴， ∴， ∴当P、T、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，过点F作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， 同理可得直线解析式为， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，解（2）的关键在于听过设出点P的坐标，进而用点P的横坐标表示出线段的长；解（3）的关键在于证明． 25．(1)线段的长度为； (2)证明过程见解析； (3)的面积为． 【分析】（1）通过推导角度得出等腰三角形，判定三角形全等，对应边相等，用勾股定理解三角形即可； （2）由三角形外角的性质可导出等腰三角形，构造等腰直角三角形，可得边之间的数量关系，综合全等三角形的判定和性质，进行等量代换即可； （3）通过相似三角形的判定和性质，确定最大时点的位置，综合应用正方形的性质，三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定和性质，可导出线段长度，用勾股定理解三角形，借助三角形的面积公式可得点到的距离，代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，点在线段的延长线上，，， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：线段的长度为． （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在上截取，连接，作交于点，则， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 作延长线于点，则， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接，则四边形为正方形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在的延长线上时最大，最大值为 作于点，交于点，则， ∵于点 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 设点到的距离为，则 ∴， ∴， ∴， 答：当的长度最大时，的面积为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形，三角形外角的性质，勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等和相似的判定方法，能够正确作出辅助线． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$