第4章 相似三角形 综合能力提升卷2025—2026学年浙教版数学九年级上册

第 1页，共 8页 第 4 章 相似三角形 综合能力提升卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果�� = � �，那么下列各式一定成立的是( ) A. �� = � � B. �� �� = � � C. �+1 � = �+1 � D. �+2� � = �+2� � 2.如图，�1//�2//�3，两条直线与这三条平行线分别交于点�，�，�和�，�，�.已知 �� �� = 3 2，则 �� ��的值为( ) A. 32 B. 2 3 C. 2 5 D. 3 5 3.用一把剪刀将一张顶角为 36°的等腰三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是( ) A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形 C.两个全等三角形 D.两个相似三角形(相似比� ≠ 1) 4.如图，在 4 × 1 的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三 角形，△ ���就是一个格点三角形，现从△ ���的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格 点连结成格点三角形，其中与△ ���相似的有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、 镜和旗杆底端在同一条直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 1.6�， 同时量得小菲与镜子的水平距离为 2�，镜子与旗杆的水平距离为 10�，则旗杆高度为( ) A. 6.4� B. 8� C. 9.6� D. 12.5� 6.对于题目：“在边长为 6 和 2 的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似， 请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满 第 2页，共 8页 足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图 1 所示，最大值为 16；乙方案：如图 2 所示，最 大值为 16.下列选项中说法正确的是( ) A.甲方案正确，周长和的最大值错误 B.乙方案错误，周长和的最大值正确 C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 7.如图，△ ���与△ ���是位似图形，点�是位似中心．若�� = 2��，△ ���的周长为 4，则△ ���的周长 为( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 8.如图，在菱形����中，�� = 6，∠� = 30°，点�是��边上的动点，连接��，��，过点�作�� ⊥ ��于点 �.设�� = �，�� = �，则�与�之间的函数解析式为(不考虑自变量�的取值范围)( ) A. � = 9� B. � = 12 � C. � = 18 � D. � = 36 � 9.如图，平行线�1，�2分别经过⊙�的直径��的两个端点，�为⊙�上一点，过点�作�3//�1交��于点�.若�1， �2之间的距离为 16， �� �� = 1 3，�� = 20，则��的长为 ( ) A. 4 26 B. 21 C. 5 17 D. 7 10 10.题目“如图，在矩形����中，�� = 9，�� = 15，�，�分别是��，��上的点．”张老师要求添加条件 后，编制一道题目并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是( ) 第 3页，共 8页 甲：若�� = 4，则在��上存在 2 个点�，使△ ���与△ ���相似； 乙：若�� ⊥ ��，则��的最大值为254． A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.已知�−2�� = 2 5，则 � �的值为 ． 12.如图，▵���和▵���是以点�为位似中心的位似图形．若��: �� = 2: 3，则▵���与▵���的周长比 是 ． 13.如图，小明在�时测得某树的影长为 8 �，�时又测得该树的影长为 2 �，若两次日照的光线互相垂直， 则树的高度为 �. 14.如图，矩形����内接于▵���，且边��落在��上．若�� = 3，�� = 2，�� = 23��，则��的长为 ． 第 4页，共 8页 15.在平面直角坐标系中，四边形����是边长为 2 的正方形，顶点�，�分别在�，�轴的正半轴上．点�在 对角线��上，且�� = ��，连结��并延长��交边��于点�，则点�的坐标为 ． 16.如图，▵���的顶点�在函数� = �� � > 0 的图象上，∠��� = 90 ∘，过��边的三等分点�，�分别作� 轴的平行线交��于点�，�.若四边形����的面积为 3，则�的值为 ． 17.如图，∠��� = 50∘，�为∠���平分线��上一点，以点�为顶点的∠���的两边分别与射线��，��相 交于点�，�.如果∠���在绕点�旋转时始终满足�� ⋅ �� = ��2，那么∠���的度数为 ． 18.如图，在▱����中，�� = 13，�� = 20，��边上的高为 12，且∠�是锐角，�是��边上的动点，连接��， 作∠��� = ∠�，��与��边交于点�，则经过点�，�，�的⊙�的半径最小值为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分)如图，�/ ​ /�/ ​ /�，�� = 1，�� = 4.5，�� = 1.5，求��的长． 第 5页，共 8页 20.(本小题 8 分) 如图，在����中，点�是边��上的一点． (1)请用尺规作图法，在����内，求作∠���，使∠��� = ∠�，��交��于�；(不要求写作法，保留作图痕 迹) (2)在(1)的条件下，若���� = 2，求 �� ��的值． 21.(本小题 8 分) 如图，直线�和⊙�相交，交点分别为�，�． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点�作直线�的垂线(保留作图痕迹，不写作法)． (2)点�是⊙�外一点，分别连接��，��，��交⊙�于点�，连接��. (1)中所作垂线和⊙�交于点�，若�� = ��， 且△ ���∽△ ���，求∠���的度数． 第 6页，共 8页 22.(本小题 8 分) 完成下列各题． (1)课本中有一道练习题：如图 1，一块材料的形状是锐角三角形( △ ���)，边�� = 120��，高�� = 80��. 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在��上，其余两个顶点分别在��，��上，则这个正方形零件的边 长是______��． 拓展应用 (2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边��：�� = 5：2，如图 2 所示，求此时��的长． 23.(本小题 8 分) (1)模型探究：如图 1，�，�，�分别为▵���三边��，��，��上的点，且∠� = ∠� = ∠��� = �．▵���与 ▵���相似吗？请说明理由． (2)模型应用：▵���为等边三角形，其边长为 8，�为��边上一点，�为射线��上一点，将▵���沿��翻 折，使�点落在射线��上的点�处，且�� = 2． ①如图 2，当点�在线段��上时，求����的值． ②如图 3，当点�落在线段��的延长线上时，求����的值． 第 7页，共 8页 24.(本小题 8 分) 如图，在正方形����中，点�在��边上，连结��，∠���的平分线��与��边交于点�，与��的延长线交于 点�.设���� = � � > 0 ． (1)若�� = 2，� = 1，求线段��的长． (2)连结��，若�� ⊥ ��， ①求证：点�为��边的中点； ②求�的值． 25.(本小题 8 分) 如图，已知抛物线经过点�( − 2,0)，�( − 3,3)及原点�，顶点为�． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)连结��，交�轴于点�.问�轴上是否存在点�，使得△ ���与△ ���相似?若存在，求出点�的坐标;若不存 在，请说明理由． 第 8页，共 8页 26.(本小题 8 分) 【问题发现】 如图 1，△ ���和△ ���都是等边三角形，��和��在同一直线上，�是��的中点，�� = ��，连接��，则 下列结论正确的是________(填序号即可)． ①�� = ��；②�� = ��；③�� ⊥ ��；④整个图形是轴对称图形． 【数学思考】 将图 1 中的△ ���绕着点�旋转，△ ���不动，连接��和��，如图 2，则��和��具有怎样的数量和位置关 系？判断并说明理由． 【拓展应用】 已知�� = 8，�� = 4，在图 1 中的△ ���绕着点�旋转的过程中，当�� ⊥ ��时，求线段��的长度． 第4章 相似三角形 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列各式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.用一把剪刀将一张顶角为的等腰三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是(    ) A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个全等三角形 D. 两个相似三角形相似比 4.如图，在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连结成格点三角形，其中与相似的有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一条直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为(    ) A. B. C. D. 6.对于题目：“在边长为和的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图所示，最大值为；乙方案：如图所示，最大值为下列选项中说法正确的是(    ) A. 甲方案正确，周长和的最大值错误 B. 乙方案错误，周长和的最大值正确 C. 甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D. 甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 7.如图，与是位似图形，点是位似中心．若，的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点设，，则与之间的函数解析式为不考虑自变量的取值范围(    ) A. B. C. D. 9.如图，平行线，分别经过的直径的两个端点，为上一点，过点作交于点若，之间的距离为，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 10.题目“如图，在矩形中，，，，分别是，上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是(    ) 甲：若，则在上存在个点，使与相似； 乙：若，则的最大值为． A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知，则的值为          ． 12.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是          ． 13.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为           14.如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，则的长为          ． 15.在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点，分别在，轴的正半轴上．点在对角线上，且，连结并延长交边于点，则点的坐标为          ． 16.如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点，分别作轴的平行线交于点，若四边形的面积为，则的值为          ． 17.如图，，为平分线上一点，以点为顶点的的两边分别与射线，相交于点，如果在绕点旋转时始终满足，那么的度数为          ． 18.如图，在中，，，边上的高为，且是锐角，是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图，，，，，求的长． 20.本小题分 如图，在中，点是边上的一点． 请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；不要求写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，求的值． 21.本小题分 如图，直线和相交，交点分别为，． 请用无刻度的直尺和圆规过点作直线的垂线保留作图痕迹，不写作法． 点是外一点，分别连接，，交于点，连接中所作垂线和交于点，若，且∽，求的度数． 22.本小题分 完成下列各题． 课本中有一道练习题：如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是______． 拓展应用 若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边：：，如图所示，求此时的长． 23.本小题分 模型探究：如图，，，分别为三边，，上的点，且．与相似吗？请说明理由． 模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且． 如图，当点在线段上时，求的值． 如图，当点落在线段的延长线上时，求的值． 24.本小题分 如图，在正方形中，点在边上，连结，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设． 若，，求线段的长． 连结，若， 求证：点为边的中点； 求的值． 25.本小题分 如图，已知抛物线经过点，及原点，顶点为． 求该抛物线的函数表达式． 连结，交轴于点问轴上是否存在点，使得与相似若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 26.本小题分 【问题发现】 如图，和都是等边三角形，和在同一直线上，是的中点，，连接，则下列结论正确的是________填序号即可． ；；；整个图形是轴对称图形． 【数学思考】 将图中的绕着点旋转，不动，连接和，如图，则和具有怎样的数量和位置关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 已知，，在图中的绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 相似三角形 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列各式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 2.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.用一把剪刀将一张顶角为的等腰三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是(    ) A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个全等三角形 D. 两个相似三角形相似比 【答案】D  【解析】如图，过点作于，  则和都是直角三角形，故A选项不符合题意．  如图，作平分交于，，，平分，，，为等腰三角形．，，为等腰三角形，和都是等腰三角形，故B选项不符合题意．  如图，在和中，   ，故 C选项不符合题意．  如图，∽且相似比为，  用其他方法也剪不出相似比不为的两个相似三角形，故D选项符合题意． 4.如图，在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连结成格点三角形，其中与相似的有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】如图，设小正方形的边长均为． 根据勾股定理得，，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，∽，∽，∽，故选C． 5.如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一条直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的应用．证明三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．证明∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】 解：如图： ，， ， ， ∽， ， 即， ． 6.对于题目：“在边长为和的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图所示，最大值为；乙方案：如图所示，最大值为下列选项中说法正确的是(    ) A. 甲方案正确，周长和的最大值错误 B. 乙方案错误，周长和的最大值正确 C. 甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D. 甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D  【解析】解：如图中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为，；，， 则有， ， 两个矩形的周长的和为， 甲的方案正确，周长和的最大值正确， 如图中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为，；，， 则有， 两个矩形的周长的和为， 如果小矩形抵得长为，则宽为，在小矩形的旁边剪下长矩形，则长矩形的最长边为，宽为，则这两个矩形周长为 所以甲乙两个方案均错了 选D 利用相似多边形的性质分别求出甲乙的方案中，的两个矩形的周长，即可判断． 本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，学会利用参数解决问题吗，属于中考常考题型． 7.如图，与是位似图形，点是位似中心．若，的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 8.如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点设，，则与之间的函数解析式为不考虑自变量的取值范围(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 过作交的延长线于，在菱形中，，，，，根据平行线的性质得到，，根据直角三角形得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】 解：过作交的延长线于， 在菱形中，，，，， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， 故选：． 9.如图，平行线，分别经过的直径的两个端点，为上一点，过点作交于点若，之间的距离为，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 10.题目“如图，在矩形中，，，，分别是，上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是(    ) 甲：若，则在上存在个点，使与相似； 乙：若，则的最大值为． A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】B  【解析】解：甲：与相似，， 分∽与∽两种情况求解： 当∽时，设，则， ，即， 解得：或， 当∽时，设，则， ，即， 解得：， 综上所述，当，在上存在个点，使与相似，故甲错误； 乙：， ， ， 又， ， ∽， ， 设，则， 即， ， ， 当时，最大，且，故乙正确． 故选：． 由与相似，，分∽与∽两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证∽，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误． 本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为           【答案】  【解析】略 14.如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 15.在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点，分别在，轴的正半轴上．点在对角线上，且，连结并延长交边于点，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点，分别作轴的平行线交于点，若四边形的面积为，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，，为平分线上一点，以点为顶点的的两边分别与射线，相交于点，如果在绕点旋转时始终满足，那么的度数为          ． 【答案】  【解析】略 18.如图，在中，，，边上的高为，且是锐角，是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为          ． 【答案】  【解析】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，，，，，求的长． 【答案】解：， ， 即 解得， ．  【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 20.本小题分 如图，在中，点是边上的一点． 请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；不要求写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，求的值． 【答案】(1)如图所示；   (2)∵， ∴. ∴.   【解析】  以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点、，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以为圆心，以长为半径画弧，与前弧交于点，过点、作射线，交于点，由此即可得；   由可知，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 21.本小题分 如图，直线和相交，交点分别为，． 请用无刻度的直尺和圆规过点作直线的垂线保留作图痕迹，不写作法． 点是外一点，分别连接，，交于点，连接中所作垂线和交于点，若，且∽，求的度数． 【答案】解：如图，直线即为所求； 如图，连接，由知； ， ， ，对应的是， ， ， ， ∽， ．  【解析】以为圆心，任意长为半径画弧交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作直线，直线即为所求； 连接，得到，根据同圆或等圆种，同弧所对的圆周角相等，求出，利用∽即可求出的度数． 本题考查了尺规作图、相似三角形的性质、补角以及圆周角定理，解题的关键在于正确画图． 22.本小题分 完成下列各题． 课本中有一道练习题：如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是______． 拓展应用 若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边：：，如图所示，求此时的长． 【答案】；   ．  【解析】解：设正方形零件的边长为， ， ∽， ， 四边形是矩形， ，， ，即， 解得． 故答案为． ：：， ， ， ， ∽， ， ，即， 解得． 答：的长为． 设正方形零件的边长为，则，，根据，得到∽，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可； 由：：可得，，根据，得到∽，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23.本小题分 模型探究：如图，，，分别为三边，，上的点，且．与相似吗？请说明理由． 模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且． 如图，当点在线段上时，求的值． 如图，当点落在线段的延长线上时，求的值． 【答案】(1)解：，理由：，可证， 又，．   (2)①设，，同（1）可证，， ，，，，，． ②设，，同（1）可证，，，，，，．．   【解析】 略  略 24.本小题分 如图，在正方形中，点在边上，连结，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设． 若，，求线段的长． 连结，若， 求证：点为边的中点； 求的值． 【答案】(1)解：可证，．  (2)①证明：可证，，即点为的中点； ②设，则，由①知，，可证，，，，，，，，．   【解析】 略  略 25.本小题分 如图，已知抛物线经过点，及原点，顶点为． 求该抛物线的函数表达式． 连结，交轴于点问轴上是否存在点，使得与相似若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】 存在或  【解析】 26.本小题分 【问题发现】 如图，和都是等边三角形，和在同一直线上，是的中点，，连接，则下列结论正确的是________填序号即可． ；；；整个图形是轴对称图形． 【数学思考】 将图中的绕着点旋转，不动，连接和，如图，则和具有怎样的数量和位置关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 已知，，在图中的绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长度． 【答案】解：【问题发现】； 【数学思考】，． 理由：如图，连接，， 由题图可得，，，故，绕着点旋转，仍然成立， 是等边三角形， ，， ，， 根据勾股定理可得，，即， ， 同理，，，， ，， ，即， ∽， ，， ， 延长交的延长线于点，交于点， ，， ∽， ， ． 【拓展应用】 由可知，，， 当时， ， ，，三点共线， 如图， 设，则， ，， ，， ，， ， 在中，，即， 解得， 又， ， 即． 如图， 设，则， 易得，， ， 在中，，即， 解得， 又， ， 即， 综上所述，  【解析】【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称图形的概念，含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法． 【问题发现】根据线段中点的概念对作出判断；过点作交于，得出四边形是平行四边形，再利用“大角对大边”的性质，进行解答，对结论作出判断；利用线段垂直平分线的判定定理对结论作出判断；根据轴对称图形的概念对结论作出判断，即可得出正确的结论； 【数学思考】连接，，由题图可得，，，故，绕着点旋转，仍然成立，根据是等边三角形，得出，，进一步得出，，根据勾股定理可得，，即，得出，同理，，，，进而得出，，，即，证明∽，得出，，进一步得出，延长交的延长线于点，交于点，证明∽，得出，即可证明成立； 【拓展应用】由可知，，，当时，根据，得出，，三点共线，分两种情况画出图形，第一种情况是点在的左边，第二种情况是点在的右边，结合图形，利用的结论，勾股定理求出的长即可． 【解答】 解：【问题发现】是的中点， ， 又， ， ，结论正确； 过点作交于，如图： 和都是等边三角形，和在同一直线上， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 由图可知，， ， ，结论错误； 和都是等边三角形，和在同一直线上， ，， 在线段的垂直平分线上，在线段的垂直平分线上，、、三点共线， ，结论正确； 整个图形是轴对称图形，对称轴是直线，故结论正确； 综上所述，正确结论是． 故答案为：． 【数学思考】见答案； 【拓展应用】见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$